为什么网站数量减少,高端的丹阳网站建设,网站登录按钮点击没反应什么原因,上海it驻场服务外包文章目录 二重积分计算的一般步骤分析积分区域草图积分区域对称性区域分割 可以简化计算的两类情况#x1f47a;利用对称性和奇偶性计算双轴对称变量的对称性轮换对称计算 选择合适的坐标系直角坐标系先 y y y后 x x x先 x x x后y 极坐标系 确定积分区间积分次序积分限 应用例… 文章目录 二重积分计算的一般步骤分析积分区域草图积分区域对称性区域分割 可以简化计算的两类情况利用对称性和奇偶性计算双轴对称变量的对称性轮换对称计算 选择合适的坐标系直角坐标系先 y y y后 x x x先 x x x后y 极坐标系 确定积分区间积分次序积分限 应用例1例2例3例4例5例6 二重积分计算的一般步骤
分析积分区域草图
绘制积分区域D的草图,并考虑多元函数奇偶性的角度化简计算 讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件先定义域区域对称,然后才有函数对称
积分区域对称性
判断积分区域是否具有对称性 如果积分区域不对称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用
区域分割
有时原始的积分区域不对称,但是可能可以通过划分区域,得到多个关于不同坐标轴分别对称的子区域 这时候就可以再次尝试考虑被积分函数的奇偶性化简计算
可以简化计算的两类情况
利用对称性和奇偶性计算 被积区域的对称性,且被积函数奇偶性时有如下结论 若积分区域 D D D关于 y y y轴对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x x x有奇偶性,则 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬f(x,y)dσ 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma 2D1∬f(x,y)dσ, f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y) f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ∬ D f ( x , y ) d σ 0 \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma0 D∬f(x,y)dσ0, f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y) − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y) 其中 D 1 D_1 D1为 D D D在 y y y轴右侧的部分 若积分区域 D D D关于 x x x轴对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 y y y有奇偶性,则 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬f(x,y)dσ 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma 2D1∬f(x,y)dσ, f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y) f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ∬ D f ( x , y ) d σ 0 \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma0 D∬f(x,y)dσ0, f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y) − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y) 其中 D 1 D_1 D1为 D D D在 y y y轴右侧的部分 可见,若被积函数是奇函数,可以大为化简计算,但是被积函数为偶函数时,化简效果就不那么好,但是某些情形下可以将原本要分段积分的式子合并成一个式子,在乘以2,例如后面的例6提到的积分区间:双曲线 x 0 x0 x0部分的关于 x x x轴对称的两点分别和坐标原点连线,构成的封闭区间积分借助对称性可以不用分段写
双轴对称 对称性很强的时候(关于 x , y x,y x,y轴都对称),且被积函数是同时是 x , y x,y x,y的偶函数,可以将积分区域再收缩 比如D: ∣ x ∣ ∣ y ∣ 1 |x||y|1 ∣x∣∣y∣1;又设被积函数为 ∣ x ∣ |x| ∣x∣, ∬ D ∣ x ∣ d x \iint\limits_{D}|x|dx D∬∣x∣dx 4 ∬ D 1 ∣ x ∣ d x 4\iint\limits_{D_1}|x|dx 4D1∬∣x∣dx 4 ∬ D 1 x d x 4\iint\limits_{D_1}x\mathrm{d}x 4D1∬xdx, 此处, D 1 D_1 D1为积分区域在第一象限的部分为 x 0 , y 0 x0,y0 x0,y0, x y 1 xy1 xy1所围成的面积 ∬ D 1 x d σ ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x x d y \iint\limits_{D_1}x\mathrm d\sigma\int_{0}^{1}\mathrm dx\int_{0}^{1-x}x\mathrm dy D1∬xdσ∫01dx∫01−xxdy ∫ 0 1 ( x ( y ∣ 0 1 − x ) ) d x \int_{0}^{1}(x(y|_{0}^{1-x}))\mathrm dx ∫01(x(y∣01−x))dx ∫ 0 1 ( x − x 2 ) ) d x \int_{0}^{1}(x-x^2))\mathrm dx ∫01(x−x2))dx 1 6 \frac{1}{6} 61
变量的对称性轮换对称计算 若积分区域关于直线 y x yx yx对称 则积分区域 D D D的不等式或等式中将 x , y x,y x,y对调后,原等式或不等式不变 这类对称下的积分满足: ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm d\sigma D∬f(x,y)dσ ∬ D f ( y , x ) d σ \iint\limits_{D}f(y,x)\mathrm d\sigma D∬f(y,x)dσ 例如,以下积分区域都是关于 y x yx yx对称的 x 2 y 2 ⩽ R 2 x^2y^2\leqslant R^2 x2y2⩽R2;半径为 R R R的圆域 x , y ∈ [ 0 , 1 ] ; x,y\in[0,1]; x,y∈[0,1];第一象限内的边长为1的正方形 这条性质某些时候很有用,可以求解具有(轮换)对称形式的被积函数
选择合适的坐标系
选择积分坐标系(根据积分区域的特点和被积函数的形式)
直角坐标系
关键是将二重积分化为累次积分 累次积分又有顺序之分 往往根据积分区域和被积函数来确定
先 y y y后 x x x D D D { ( x , y ) ∣ ϕ 1 ( x ) ⩽ y ⩽ ϕ 2 ( x ) ; a ⩽ x ⩽ b } \set{(x,y)|\phi_1(x)\leqslant{y}\leqslant\phi_2(x);a\leqslant{x}\leqslant{b}} {(x,y)∣ϕ1(x)⩽y⩽ϕ2(x);a⩽x⩽b} ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma D∬f(x,y)dσ ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \int_{a}^{b}dx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2{(x)}}f(x,y)dy ∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy
先 x x x后y D D D { ( x , y ) ∣ ψ 1 ( y ) ⩽ x ⩽ ψ 2 ( y ) ; a ⩽ y ⩽ b } \set{(x,y)|\psi_1(y)\leqslant{x}\leqslant\psi_2(y);a\leqslant{y}\leqslant{b}} {(x,y)∣ψ1(y)⩽x⩽ψ2(y);a⩽y⩽b} ∬ D f ( x , y ) d σ ∫ a b d y ∫ ϕ 1 ( y ) ϕ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\int_{a}^{b}dy\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2{(y)}}f(x,y)dx D∬f(x,y)dσ∫abdy∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx
极坐标系 如果积分区域和圆相关 圆/扇环/扇形… 被积函数是复合了下列函数的复合函数 x 2 y 2 , x y , y x \sqrt{x^2y^2},\frac{x}{y},\frac{y}{x} x2y2 ,yx,xy(1) 因为极坐标中 x r cos θ xr\cos\theta xrcosθ y r sin θ yr\sin\theta yrsinθ上述形式的函数可以消去 r r r或者 θ \theta θ,得到一个一元函数 另一类被积函数是仅含 x 2 , y 2 x^2,y^2 x2,y2的情形,虽然不如(1)中列举的那么方便,但是其过渡到三角表达式后可以进行降次,正重要的是积分区间用极坐标表示更简单
确定积分区间
积分次序
确定累次积分的次序,根据积分区域和被积函数综合考虑
积分限
确定累次积分的积分限在累次积分的过程中,每次只对一个变量进行积分其余被视为常数的因子应当提取到外部,降低干扰和犯错误的几率
应用
例1
设 D { ( x , y ) ∣ x 2 y 2 ⩽ r 2 } D\set{(x,y)|x^2y^2\leqslant{r^2}} D{(x,y)∣x2y2⩽r2},则 ∬ D ( x 3 sin y 1 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3\sin{y}1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3siny1)dxdy π r 2 \pi{r^2} πr2 分析积分区域是一个圆,关于 x , y x,y x,y轴都对称,而 x 3 x^3 x3, sin y \sin{y} siny分别是关于 x , y x,y x,y的奇函数,从而 ∬ D ( x 3 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3)dxdy0 ∬ D ( sin y ) d x d y \iint\limits_{D}(\sin{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(siny)dxdy0 ∬ D ( x 3 sin y 1 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3\sin{y}1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3siny1)dxdy ∬ D 1 d x d y \iint\limits_{D}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬1dxdy π r 2 \pi{r^2} πr2
例2
设 D { ( x , y ) ∣ x 2 y 2 ⩽ R 2 } D\set{(x,y)|x^2y^2\leqslant{R^2}} D{(x,y)∣x2y2⩽R2}, f ( x ) f(x) f(x) x 2 a 2 y 2 b 2 \frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2} a2x2b2y2则 ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬f(x,y)dxdy 这个形式适合用极坐标系积分,这样累次积分的积分区间形式简单 x r cos θ xr\cos\theta xrcosθ, y r sin θ yr\sin\theta yrsinθ, r ∈ [ 0 , R ] r\in[0,R] r∈[0,R], θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π] ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬f(x,y)dxdy ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R ( r 2 cos 2 θ a 2 r 2 sin 2 θ b 2 ) r d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{R}(\frac{r^2\cos^2\theta}{a^2}\frac{r^2\sin^2\theta}{b^2})r\mathrm{d}r ∫02πdθ∫0R(a2r2cos2θb2r2sin2θ)rdr R 2 4 ∫ 0 2 π ( 1 cos 2 θ 2 a 2 1 − cos 2 θ 2 b 2 ) d θ \frac{R^2}{4}\int_{0}^{2\pi}(\frac{1\cos2\theta}{2a^2}\frac{1-\cos{2\theta}}{2b^2})\mathrm{d}\theta 4R2∫02π(2a21cos2θ2b21−cos2θ)dθ π 4 R 2 ( 1 a 2 1 b 2 ) \frac{\pi}{4}R^2(\frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2}) 4πR2(a21b21)
例3
设 D D D { ( x , y ) ∣ y x 3 , y 1 , x − 1 围成的区域 } \set{(x,y)|yx^3,y1,x-1围成的区域} {(x,y)∣yx3,y1,x−1围成的区域},令 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y) x y f ( x 2 y 2 ) xyf(x^2y^2) xyf(x2y2),求 ∬ D g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬g(x,y)dxdy 显然 D D D不关于任何坐标轴对称但可以构造辅助线 y − x 3 y-x^3 y−x3,使得 D D D划分成2个分别关于 x , y x,y x,y轴对称的区间 不妨将关于 x x x对称的区间记为 D x D_{x} Dx,将关于 y y y对称的区间记为 D y D_y Dy 观察 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)这是个关于 x , y x,y x,y都是奇函数的函数 ∬ D g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬g(x,y)dxdy ∬ D x g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D_x}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dx∬g(x,y)dxdy ∬ D y g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D_y}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dy∬g(x,y)dxdy 0 0 00 000
例4
设 D : ∣ x ∣ ∣ y ∣ 1 D:|x||y|1 D:∣x∣∣y∣1,上述积分区域下,求解如下积分分析可知该区域同时关于 x , y x,y x,y轴对称 ∬ D y e x 2 d σ 0 \iint\limits_{D}ye^{x^2}\mathrm{d}\sigma0 D∬yex2dσ0 被积函数 y e x 2 ye^{x^2} yex2是关于 y y y的奇函数,区域 D D D关于 x x x轴对称,因此积分结果为0 ∬ D ∣ x ∣ d σ \iint\limits_{D}|x|\mathrm d\sigma D∬∣x∣dσ 4 ⋅ 1 6 2 3 4\cdot\frac{1}{6}\frac{2}{3} 4⋅6132 被积函数 ∣ x ∣ |x| ∣x∣关于 x x x的偶函数,区域 D D D关于 y y y轴对称,积分结果为 2 ∬ D 1 x d σ 2\iint_{D_{1}}x\mathrm{d}\sigma 2∬D1xdσ 2 ∫ 0 1 d x ∫ x − 1 − x 1 x d y 2\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{x-1}^{-x1}x\mathrm{d}y 2∫01dx∫x−1−x1xdy 2 3 \frac{2}{3} 32 ∬ D ( ∣ x ∣ y e x 2 ) d σ \iint\limits_{D}({|x|ye^{x^2}})\mathrm{d}\sigma D∬(∣x∣yex2)dσ 2 3 \frac{2}{3} 32 被积函数关于 x x x的偶函数,区域关于 y y y轴对称,积分结果 2 ∬ D 1 x y e x 2 d σ 2\iint_{D_{1}}{xye^{x^2}}\mathrm{d}\sigma 2∬D1xyex2dσ 2 ∬ D 1 x d σ 2\iint_{D_{1}}{x}\mathrm{d}\sigma 2∬D1xdσ 2 ∬ D 1 y e x 2 d σ 2\iint_{D_{1}}{ye^{x^2}}\mathrm{d}\sigma 2∬D1yex2dσ 2 3 0 \frac{2}{3}0 320 2 3 \frac{2}{3} 32
例5
设两曲面 z 1 2 − x 2 − y 2 z_12-x^2-y^2 z12−x2−y2, z 2 z_2 z2 x 2 y 2 x^2y^2 x2y2;求两曲面所围成的空间区域体积 V V V 先求 V V V的投影 D D D,联立两个曲面方程,消去 z z z,得积分区域应为: 2 − x 2 − y 2 x 2 y 2 2-x^2-y^2x^2y^2 2−x2−y2x2y2,即 x 2 y 2 1 x^2y^21 x2y21记 D { ( x , y ) ∣ x 2 y 2 ⩽ 1 } D\set{(x,y)|x^2y^2\leqslant{1}} D{(x,y)∣x2y2⩽1} V V V ∬ D ∣ z 1 − z 2 ∣ d x d y \iint\limits_{D}|z_1-z_2|\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬∣z1−z2∣dxdy ∬ D ∣ 2 − 2 x 2 − 2 y 2 ∣ d x d y \iint\limits_{D}|2-2x^2-2y^2|\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬∣2−2x2−2y2∣dxdy 由积分区域 D D D可知 1 − x 2 − y 2 ⩾ 0 1-x^2-y^2\geqslant{0} 1−x2−y2⩾0,所以 V V V 2 ∬ D ( 1 − x 2 − y 2 ) d x d y 2\iint\limits_{D}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y 2D∬(1−x2−y2)dxdy该积分适合化为极坐标计算: V V V 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ( 1 − r 2 ) r d r 2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}(1-r^2)r\mathrm{d}r 2∫02πdθ∫01(1−r2)rdr π \pi π
例6
令 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x y ) 3 (xy)^3 (xy)3,区域 D D D由以下3个曲线围成 x 1 y 2 x\sqrt{1y^2} x1y2 , x 2 y 0 x\sqrt{2}y0 x2 y0, x − 2 y 0 x-\sqrt{2}y0 x−2 y0 求 V ∬ D f ( x , y ) d x d y V\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y VD∬f(x,y)dxdy分析 D D D:第一个方程是双曲线 x 2 y 2 1 x^2y^21 x2y21在 x ⩾ 0 x\geqslant{0} x⩾0区间上的部分,而第2,3个方程是关于 x x x轴对称的过原点的直线方程并且联立方程(1,2),(1,3)得到2个方程组,解得两个对称的交点为 ( 2 , 1 ) (\sqrt{2},1) (2 ,1), ( 2 , 1 ) (\sqrt{2},1) (2 ,1),因此可以明确直线和双曲线必相交,能够构成封闭区域观察区域 D D D图形可知, D D D关于 x x x轴对称将 f ( x ) f(x) f(x)展开: f ( x ) f(x) f(x) x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 x^33x^2y3xy^2y^3 x33x2y3xy2y3,所以 V V V ∬ D ( x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^33x^2y3xy^2y^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x33x2y3xy2y3)dxdy 其中 3 x 2 y 3x^2y 3x2y, y 3 y^3 y3都是关于 y y y的奇函数,因此这两项积分结果为0而剩余两项都是关于 y y y的偶函数 x 3 , 3 x y 2 x^3,3xy^2 x3,3xy2都可以视为二元函数, x 3 x 3 y 0 x^3x^3y^{0} x3x3y0,也可以视为关于 y y y的偶函数,积分区域可以再次收缩 V V V ∬ D ( x 3 3 x y 2 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^33xy^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x33xy2)dxdy 2 ∬ D 1 ( x 3 3 x y 2 ) d x d y 2\iint\limits_{D_1}(x^33xy^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y 2D1∬(x33xy2)dxdy 2 ∫ 0 1 d y ∫ 2 y 1 y 2 ( x 3 3 x y 2 ) d x 2\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1y^2}}(x^33xy^2)\mathrm{d}x 2∫01dy∫2 y1y2 (x33xy2)dx 2 [ ∫ 0 1 ( 1 4 x 4 3 2 y 2 x 2 ) ∣ 2 y 1 y 2 d y ] 2[\int_{0}^{1}(\frac{1}{4}x^4\frac{3}{2}y^2x^2)|_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1y^2}}\mathrm{dy}] 2[∫01(41x423y2x2)∣2 y1y2 dy] 2 [ ∫ 0 1 ( − 9 4 y 4 2 y 2 1 4 ) d y ] 2[\int_{0}^{1}(-\frac{9}{4}y^42y^2\frac{1}{4})\mathrm{d}y] 2[∫01(−49y42y241)dy] 14 15 \frac{14}{15} 1514
