做企业的网站的如何推广,网站的需求分析都有哪些内容,福州城市建设规划网站,辽宁省建设工程信息网官网查询文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频#xff0c;本篇文章提供了一些基础知识点#xff0c;比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。 文章全部链接#xff1a; 基础知识点 Part1#xff1a;三角函数系的正交性 Part2#xff1a;T2π的周期函数的傅里叶级数展开 P… 文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频本篇文章提供了一些基础知识点比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。 文章全部链接 基础知识点 Part1三角函数系的正交性 Part2T2π的周期函数的傅里叶级数展开 Part3周期为T2L的函数展开 Part4傅里叶级数的复数形式 Part5从傅里叶级数推导傅里叶变换 总结 文章目录 Part4傅里叶级数的复数形式Part5从傅里叶级数推导傅里叶变换总结 Part4傅里叶级数的复数形式
前面的部分得到了对于周期为 T T T的函数有 L 2 T L \frac{2}{T} LT2其傅里叶级数的展开函数形式 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n ω t b n s i n n ω t ) a 0 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t b n 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t \begin{align} f(t) \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^{\infty} \left( a_n cos n \omega t b_n sin n \omega t \right) \\ a_0 \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \\ a_n \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt \\ b_n \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \end{align} f(t)a0anbn2a0n1∑∞(ancosnωtbnsinnωt)T2∫0Tf(t)dtT2∫0Tf(t)cosnωtdtT2∫0Tf(t)sinnωtdt
在了解傅里叶级数的复数形式之前需要了解欧拉公式 e i θ c o s θ i s i n θ e^{i \theta} cos \theta i sin \theta eiθcosθisinθ
由欧拉公式可以得到 c o s θ e i θ e − i θ 2 s i n θ − i 2 ( e i θ − e − i θ ) \begin{align} cos \theta \frac{e^{i \theta } e^{-i \theta}}{2} \\ sin \theta - \frac{i}{2} (e^{i \theta } - e^{-i \theta}) \end{align} cosθ2eiθe−iθsinθ−2i(eiθ−e−iθ) 计算 c o s θ cos \theta cosθ和 s i n θ sin \theta sinθ的方法令 θ − θ \theta - \theta θ−θ代入欧拉公式组成一个方程组 { e i θ c o s θ i s i n θ e − i θ c o s θ − i s i n θ \left\{\begin{matrix} e^{i \theta} cos \theta i sin \theta \\ e^{-i \theta} cos \theta - i sin \theta \end{matrix}\right. {eiθcosθisinθe−iθcosθ−isinθ 两式相加得到 c o s θ cos \theta cosθ两式相减得到 s i n θ sin \theta sinθ。 将复数形式得到的 c o s θ cos \theta cosθ和 s i n θ sin \theta sinθ代入傅里叶级数展开函数有 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n 2 ( e i n ω t e − i n ω t ) − i b n 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n − i b n 2 e i n ω t a n i b n 2 e − i n ω t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t ∑ n 1 ∞ a n i b n 2 e − i n ω t \begin{align} f(t) \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^{\infty} \left( \frac{a_n}{2} (e^{in \omega t} e^{-i n \omega t}) - \frac{i b_n} {2} (e^{i n \omega t} - e^{-i n \omega t}) \right) \\ \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^{\infty} \left( \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} \frac{a _n i b_n}{2} e^{-i n \omega t}\right) \\ \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^{\infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} \sum_{n1}^{\infty} \frac{a _n i b_n}{2} e^{-i n \omega t} \end{align} f(t)2a0n1∑∞(2an(einωte−inωt)−2ibn(einωt−e−inωt))2a0n1∑∞(2an−ibneinωt2anibne−inωt)2a0n1∑∞2an−ibneinωtn1∑∞2anibne−inωt
对上式第三项令 n − n n-n n−n转换为 f ( t ) ∑ n 0 0 a 0 2 e i n ω t ∑ n 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t ∑ n − ∞ − 1 a − n i b − n 2 e i n ω t f(t) \sum_{n0}^{0} \frac{a_0}{2} e^{i n \omega t} \sum_{n1}^{\infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} \sum_{n- \infty}^{-1} \frac{a _{-n} i b_{-n} } {2} e^{i n \omega t} f(t)n0∑02a0einωtn1∑∞2an−ibneinωtn−∞∑−12a−nib−neinωt
可以发现在区间 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty, \infty) (−∞,∞)之间有共同项 e i n ω t e^{i n \omega t} einωt令共同项的系数为 C n C_n Cn那么就得到 f ( t ) ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t C n { a 0 2 , n 0 1 2 ( a n − i b n ) n 1 , 2 , 3 , . . . 1 2 ( a − n i b − n ) n − 1 , − 2 , − 3 , . . . f(t) \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{in \omega t} \\ C_n \left\{\begin{matrix} \frac{a_0}{2}, n0 \\ \frac{1}{2}\left( a_n - i b_n \right) n 1, 2,3,... \\ \frac{1}{2} \left ( a_{-n} i b_{-n} \right) n -1, -2, -3, ... \end{matrix}\right. f(t)−∞∑∞CneinωtCn⎩ ⎨ ⎧2a0,21(an−ibn)21(a−nib−n)n0n1,2,3,...n−1,−2,−3,...
将 a 0 a_0 a0、 a n a_n an、 b n b_n bn代入到 C n C_n Cn f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n ω t b n s i n n ω t ) a 0 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t b n 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t \begin{align} f(t) \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^{\infty} \left( a_n cos n \omega t b_n sin n \omega t \right) \\ a_0 \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \\ a_n \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt \\ b_n \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \end{align} f(t)a0anbn2a0n1∑∞(ancosnωtbnsinnωt)T2∫0Tf(t)dtT2∫0Tf(t)cosnωtdtT2∫0Tf(t)sinnωtdt
当 n 0 n0 n0时 C n a 0 2 1 2 ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t C_n \frac{a_0}{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)dt \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt Cn2a021⋅T2∫0Tf(t)dtT1∫0Tf(t)dt
当 n 0 , n ∈ Z n0, n \in Z n0,n∈Z时 C n 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t − i 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t ] 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( c o s n ω t − s i n n ω t ) d t c o s n ω t − s i n n ω t c o s ( − n ω t ) s i n ( − n ω t ) e − i n ω t C n 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n \frac{1}{2}\left[ \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt - i \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \right] \\ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \left ( cos n \omega t - sin n \omega t \right) dt \\ cos n \omega t - sin n \omega t cos (- n \omega t) sin (- n \omega t) e^{- i n \omega t} \\ C_n \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} dt Cn21[T2∫0Tf(t)cosnωtdt−iT2∫0Tf(t)sinnωtdt]T1∫0Tf(t)(cosnωt−sinnωt)dtcosnωt−sinnωtcos(−nωt)sin(−nωt)e−inωtCnT1∫0Tf(t)e−inωtdt
当 n 0 , n ∈ Z n0, n \in Z n0,n∈Z时 C n 1 2 ( a − n i b − n ) 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( − n ω t ) d t i ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( − n ω t ) d t ] 1 T ∫ 0 T f ( t ) [ c o s ( − n ω t ) s i n ( − n ω t ) ] d t 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t C_n \frac{1}{2} \left ( a_{-n} i b_{-n} \right) \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos \left( - n \omega t \right) dt i \cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) sin (- n \omega t) dt \right] \\ \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t) \left[ cos (- n \omega t) sin (- n \omega t) \right] dt \\ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} Cn21(a−nib−n)21[T2∫0Tf(t)cos(−nωt)dti⋅T2∫0Tf(t)sin(−nωt)dt]T1∫0Tf(t)[cos(−nωt)sin(−nωt)]dtT1∫0Tf(t)e−inωt
当 n 0 n0 n0时 C n 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} dt CnT1∫0Tf(t)dtT1∫0Tf(t)e−inωtdt
从上面可以看出来在 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty , \infty) (−∞,∞)区间内 C n C_n Cn可以统一到一个形式 C n 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e ^{- i n \omega t}dt CnT1∫0Tf(t)e−inωtdt。 总结对于一个周期为 T T T的函数 f ( t ) f ( t T ) f(t) f(tT) f(t)f(tT)其复数形式的傅里叶展开函数为 f ( t ) ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t C n 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t f(t) \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega t} \\ C_n \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t}dt f(t)−∞∑∞CneinωtCnT1∫0Tf(t)e−inωtdt Part5从傅里叶级数推导傅里叶变换
前面得到了周期函数复数形式的傅里叶展开函数令 ω 0 2 π T \omega _0 \frac{2 \pi}{T} ω0T2π ω 0 \omega_0 ω0被称为基频率。 f T ( t ) ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω 0 t C n 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t 其中 n ∈ Z \begin{align} f_T(t) \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega_0 t} \\ C_n \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) e^{- i n \omega_0 t}dt \\ 其中n \in Z \end{align} fT(t)−∞∑∞Cneinω0tCnT1∫−2T2TfT(t)e−inω0tdt其中n∈Z
对于一个周期函数假设其图示如下横坐标为 t t t纵坐标为对应的值这是在时域空间上的图。 如果采用如下图所示的坐标系以 n ω 0 n \omega_0 nω0为 x x x坐标实轴和虚轴分别为 z z z和 y y y坐标这是在频域空间上的图也称为频谱图。可能其分布如下(如下值是随机绘制的不对应上图假设存在这样的频谱图)。 令两个频率之间的距离为 Δ ω \Delta \omega Δω那么 Δ ω ( n 1 ) ω 0 − n ω 0 ω 0 2 π T \Delta \omega (n1) \omega_0 - n \omega_0 \omega_0 \frac{2 \pi}{T} Δω(n1)ω0−nω0ω0T2π可以得到 1 T Δ ω 2 π \frac{1}{T} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} T12πΔω。
当周期 T T T趋近于 ∞ \infty ∞时周期函数就变为了非周期函数 lim T → ∞ f T ( t ) f ( t ) \lim_{T \to \infty} f_T(t) f(t) limT→∞fT(t)f(t) Δ ω \Delta \omega Δω就变成了0从而离散函数变为了连续函数。
将 C n C_n Cn及 1 T \frac{1}{T} T1代入到傅里叶级数展开函数 f T ( t ) ∑ − ∞ ∞ Δ ω 2 π ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t e i n ω 0 t f_T(t) \sum_{- \infty}^{\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) e^{-i n \omega_0 t} dt e^{i n \omega_0 t} fT(t)−∞∑∞2πΔω∫−2T2TfT(t)e−inω0tdteinω0t
当 T → ∞ T \to \infty T→∞时令 n ω 0 ω n \omega_0 \omega nω0ω ∫ − T 2 T 2 d t → ∫ − ∞ ∞ d t \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} dt \to \int_{- \infty}^{\infty} dt ∫−2T2Tdt→∫−∞∞dt ∑ − ∞ ∞ Δ ω → ∫ − ∞ ∞ d ω \sum_{- \infty}^{\infty} \Delta \omega \to \int_{- \infty}^{\infty} d \omega ∑−∞∞Δω→∫−∞∞dω。代入到上面的式子 lim T → ∞ f T ( t ) f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t ) e i ω t d ω \lim_{T \to \infty} f_T(t) f(t) \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \left( \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{- i \omega t} dt \right) e^{i \omega t} d \omega T→∞limfT(t)f(t)2π1∫−∞∞(∫−∞∞f(t)e−iωtdt)eiωtdω
中间括号括起来的部分就是傅里叶变换函数 F ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega) \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{- i \omega t} dt F(ω)∫−∞∞f(t)e−iωtdt而 f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( T ) e i ω t d ω f(t) \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} f(T) e^{i \omega t} d \omega f(t)2π1∫−∞∞f(T)eiωtdω是傅里叶变换的逆变换。 总结 在Part1中认识到三角函数系的正交性有 ∫ − π π s i n n x c o s m x 0 ∫ − π π c o s n x s i n m x 0 ∫ − π π c o s n x c o s m x { 0 , m ≠ n 2 π , m n 0 π , m n ≠ 0 ∫ − π π s i n n x c o s m x { 0 , m ≠ n 或 m n 0 π , m n ≠ 0 \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} sin n x cos m x 0 \\ \int_{- \pi}^{\pi}cos n x sin m x 0 \\ \int_{- \pi}^{\pi} cos n x cos m x \left\{ \begin{matrix} 0 , m \ne n \\ 2 \pi , m n 0 \\ \pi , m n \ne 0 \end{matrix} \right. \\ \int_{- \pi}^{\pi} sin n x cos m x \left\{ \begin{matrix} 0, m \ne n 或 m n 0 \\ \pi , m n \ne 0 \end{matrix} \right. \end{align} ∫−ππsinnxcosmx0∫−ππcosnxsinmx0∫−ππcosnxcosmx⎩ ⎨ ⎧0,2π,π,mnmn0mn0∫−ππsinnxcosmx{0,π,mn或mn0mn0 在Part2中推导了 T 2 π T 2 \pi T2π的周期函数的傅里叶级数展开为 f ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n x b n s i n n x ) f(x) \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^{\infty}\left( a_n cos nx b_n sin nx \right) f(x)2a0n1∑∞(ancosnxbnsinnx) 计算 a 0 a_0 a0对 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间积分得到 a 0 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0 \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx a0π1∫−ππf(x)dx。 计算 a n a_n an等式两边同乘以 c o s m x cos mx cosmx然后计算在 [ − π , π ] [- \pi, \pi] [−π,π]之间的积分得到 a n 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x a_n \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos nx dx anπ1∫−ππf(x)cosnxdx。 计算 b n b_n bn等式两边同乘以 s i n m x sin mx sinmx然后计算在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间的积分得到 b n 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x b_n \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin nx dx bnπ1∫−ππf(x)sinnxdx。 在Part3中推导了 T 2 L T2L T2L的周期函数的傅里叶级数展开为令 x π L t → t L π x x \frac{\pi}{L}t \to t \frac{L}{\pi}x xLπt→tπLx将 x x x代入Part2中的公式得到 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n c o s n π L t b n s i n n π L t ) a 0 1 L ∫ − L L f ( t ) d t a n 1 L ∫ − L L f ( t ) c o s n π L t d t b n 1 L ∫ − L L f ( t ) s i n n π L d t \begin{align} f(t) \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^{\infty} \left(a_n cos \frac{n \pi}{L}t b_n sin \frac{n \pi}{L}t \right) \\ a_0 \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) dt \\ a_n \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) cos \frac{n \pi}{L}t dt \\ b_n \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) sin \frac{n \pi}{L}dt \end{align} f(t)2a0n1∑∞(ancosLnπtbnsinLnπt)a0L1∫−LLf(t)dtanL1∫−LLf(t)cosLnπtdtbnL1∫−LLf(t)sinLnπdt 在Part4中使用欧拉公式用复指数的形式得到周期为 T T T的周期函数的傅里叶级数展开该形式使得函数看起来更简洁经过一系列变换用 C n C_n Cn替代了上面复杂的系数令 ω 0 2 π T \omega _0 \frac{2 \pi}{T} ω0T2π f ( t ) ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω 0 t C n 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω 0 t d t f(t) \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega_0 t} \\ C_n \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega_0 t}dt f(t)−∞∑∞Cneinω0tCnT1∫0Tf(t)e−inω0tdt 在Part5中从傅里叶级数展开函数推导出傅里叶变换及反变换函数。当周期 T T T趋近于 ∞ \infty ∞时周期函数会变为非周期函数此时从离散数据变为了连续数据令 ω n ω 0 \omega n \omega_0 ωnω0又有 ∑ − ∞ ∞ ω 0 → ∫ − ∞ ∞ d ω \sum_{- \infty}^{\infty} \omega_0 \to \int_{-\infty}^{\infty}d \omega ∑−∞∞ω0→∫−∞∞dω ∫ 0 T d t → ∫ − ∞ ∞ d t \int_{0}^{T} dt \to \int_{- \infty}^{\infty} dt ∫0Tdt→∫−∞∞dt就得到非周期函数的傅里叶级数展开函数为 f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t ) e i ω t d ω f(t) \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left ( \int_{- \infty}^{\infty} f(t)e ^{- i \omega t} dt \right) e^{i \omega t } d \omega f(t)2π1∫−∞∞(∫−∞∞f(t)e−iωtdt)eiωtdω 中间括号部分就是傅里叶变换函数$F(\omega) \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt 而 而 而f(t) \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty}F(\omega) e^{i \omega t} d \omega$是傅里叶变换的逆变换。
