网站建设的主要观点,提高asp.net网站安全性,公司想做网络推广贵不,顺德网站建设制作文章目录 方阵特征值和特征向量的性质#x1f47a;特征值之和特征值之积推论:特征值判定方阵的可逆性 证明小结 导出性质可逆矩阵的特征值性质转置矩阵和特征值矩阵多项式的特征值不同特征值的特征向量线性无关定理推论推广 特征向量线性组合特征值的重数性质 方阵特征值和特征… 文章目录 方阵特征值和特征向量的性质特征值之和特征值之积推论:特征值判定方阵的可逆性 证明小结 导出性质可逆矩阵的特征值性质转置矩阵和特征值矩阵多项式的特征值不同特征值的特征向量线性无关定理推论推广 特征向量线性组合特征值的重数性质 方阵特征值和特征向量的性质
特征值之和 ∑ i 1 n λ i ∑ i 1 n a i i \sum\limits_{i1}^{n}\lambda_i\sum\limits_{i1}^{n}a_{ii} i1∑nλii1∑naii 其中 ∑ i 1 n a i i \sum_{i1}^{n}a_{ii} ∑i1naii称为矩阵的迹,记为 T r ( A ) Tr(\bold A) Tr(A)
特征值之积 ∏ i 1 n λ i ∣ A ∣ \prod_{i1}^{n}\lambda_{i}|A| ∏i1nλi∣A∣
推论:特征值判定方阵的可逆性
方阵 A \bold{A} A可逆的条件是其的特征值不全为0证明: 由特征值之积的性质可知,当方阵 A \bold{A} A的特征值之积不为0,意味着 ∣ A ∣ ≠ 0 |\bold{A}|\neq{0} ∣A∣0从而 A \bold{A} A是可逆的
证明 借助多项式的知识来同时证明上述两条性质(同次项系数相等原理) 对于 f ( λ ) ∣ λ E − A ∣ ∣ λ − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 λ − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ λ − a n n ∣ f(\lambda)|\lambda{E}-A| \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} -a_{12} \cdots-a_{1n} \\ -a_{21} \lambda-a_{22} \cdots-a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ -a_{n1} -a_{n2} \cdots\lambda-a_{nn} \\ \end{vmatrix} f(λ)∣λE−A∣ λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮λ−ann f ( λ ) f(\lambda) f(λ)行列式展开后有 n ! n! n!项(未合并化简同类项前),把它们记为 θ k , k 1 , 2 , ⋯ , n ! \theta_k,k1,2,\cdots,n! θk,k1,2,⋯,n!, θ k ( − 1 ) τ ( p k ) ∏ i 1 n a i , j i \theta_k(-1)^{\tau(p_k)}\prod_{i1}^{n}a_{i,j_i} θk(−1)τ(pk)∏i1nai,ji,其中 p k p_k pk是第 k k k个 n n n级排列 ( j 1 , ⋯ , j n ) (j_1,\cdots,j_n) (j1,⋯,jn) 将合并同类相(多项式的一般形式): f ( λ ) f(\lambda) f(λ) ∑ i 0 n a i λ i \sum_{i0}^{n}a_i\lambda^{i} ∑i0naiλi 1 1式中有1项是由主对角线元素相乘的积,是 n n n次项,同时也是最高次项),把它记为 θ d ( λ − a 11 ) ( λ − a 22 ) ⋯ ( λ − a n n ) \theta_d(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn}) θd(λ−a11)(λ−a22)⋯(λ−ann),这也是一个关于 λ \lambda λ,的 n n n次多项式 其余项至多含有对角线元素的 n − 2 n-2 n−2个元素(次高项的次数为 n − 2 n-2 n−2) 因为每个项的因子都取自不同行不同列事实上,行列式展开的的 n ! n! n!项求和式中,每一项都包含行列式中的某 n n n个元素的乘积作为因式,如果因式中不包含某个对角线元素(设取自第 i i i行的元素不来自第 i i i列,记为 e 1 e_1 e1),那么必定存在一个元素(设取自第 j j j行,记为 e 2 e_2 e2)是来自第 i i i列的,这就导致第 i , j i,j i,j行取出的元素 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2都不是对角线上的元素( i ≠ j i\neq{j} ij) 因此,容易确定1中 a n , a n − 1 a_n,a_{n-1} an,an−1都是由 θ d \theta_{d} θd所确定的 现在,我们只对 ξ \xi ξ这一项感兴趣,由多项式相关知识,容易做出以下推导 θ d \theta_d θd λ n − ( a 11 a 22 ⋯ a n n ) λ n − 1 ⋯ \lambda^{n}-(a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn})\lambda^{n-1}\cdots λn−(a11a22⋯ann)λn−1⋯ f ( λ ) f(\lambda) f(λ) θ d ∑ i , i ≠ d n ! θ i \theta_d\sum\limits_{i,i\neq{d}}^{n!}\theta_i θdi,id∑n!θi 展开式中 n , n − 1 n,n-1 n,n−1次项的系数是只由 θ d \theta_d θd提供,其余 θ i , i ≠ p \theta_i,i\neq{p} θi,ip只能够提供不超过 n − 2 n-2 n−2次项; a n 1 a_n1 an1; a n − 1 − ∑ i 1 n a i i a_{n-1}-\sum_{i1}^{n}a_{ii} an−1−∑i1naii;常数项 a 0 a_0 a0可以通过取 λ 0 \lambda0 λ0得到,即 a 0 f ( 0 ) ∣ 0 E − A ∣ ∣ − A ∣ ( − 1 ) n ∣ A ∣ a_0f(0)|\bold{0E-A}||-\bold{A}|(-1)^n|\bold{A}| a0f(0)∣0E−A∣∣−A∣(−1)n∣A∣ f ( λ ) λ n − ( ∑ i 1 n a i i ) λ n − 1 ⋯ ∣ − A ∣ λ 0 f(\lambda)\lambda^{n}-(\sum_{i1}^{n}a_{ii})\lambda^{n-1}\cdots|-A|\lambda^{0} f(λ)λn−(∑i1naii)λn−1⋯∣−A∣λ02Notes:参考:math多项式求和式乘法 另一方面,设 λ 1 , ⋯ , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,⋯,λn是 f ( λ ) f(\lambda) f(λ)的 n n n个特征值(根) 对于 n n n次多项式 f ( λ ) f(\lambda) f(λ),他有 n n n个复根,由余式定理,可以因式分解写成如下形式 f ( λ ) ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) ⋯ ( λ − λ n ) f(\lambda)(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n) f(λ)(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn) f ( λ ) f(\lambda) f(λ) ∏ i 1 n ( λ − λ i ) \prod_{i1}^{n}(\lambda-\lambda_i) ∏i1n(λ−λi) λ n − ( ∑ i 1 n λ i ) λ n − 1 ⋯ ∏ i 1 n ( − λ i ) \lambda^n-(\sum_{i1}^{n}\lambda_i)\lambda^{n-1}\cdots\prod_{i1}^{n}(-\lambda_i) λn−(∑i1nλi)λn−1⋯∏i1n(−λi)3
小结
对比式2,3中的 n − 1 n-1 n−1次项的系数 ∑ i 1 n a i i ∑ i 1 n λ i \sum_{i1}^{n}a_{ii}\sum_{i1}^{n}\lambda_{i} ∑i1naii∑i1nλi 0 0 0次项系数 ∣ − A ∣ ∏ i 1 n ( − λ i ) |-A|\prod_{i1}^{n}(-\lambda_i) ∣−A∣∏i1n(−λi),即 ( − 1 ) n ∣ A ∣ ( − 1 ) n ∏ i n ( λ i ) (-1)^n|A|(-1)^n\prod_{i}^{n}(\lambda_i) (−1)n∣A∣(−1)n∏in(λi)所以: ∣ A ∣ ∏ i n λ i |A|\prod_{i}^{n}\lambda_i ∣A∣∏inλi
导出性质 设 α , A , λ \alpha,\bold{A},\lambda α,A,λ满足 A α λ α \bold{A}\alpha\lambda{\alpha} Aαλα,则: ( k A ) ( k α ) ( k λ ) ( k α ) (k\bold{A})(k\alpha)(k\lambda){(k\alpha)} (kA)(kα)(kλ)(kα) A m α λ m α \bold{A}^m\alpha\lambda^m\alpha Amαλmα 证明: 对 A α λ α \bold{A}\alpha\lambda{\alpha} Aαλα同乘以 k k k, ( k A ) α ( k λ ) α (k\bold{A})\alpha(k\lambda)\alpha (kA)α(kλ)α, A ( k α ) λ ( k α ) \bold{A}(k\alpha)\lambda({k\alpha}) A(kα)λ(kα)再次乘以 k k k: ( k A ) ( k α ) ( k λ ) ( k α ) (k\bold{A})(k\alpha)(k\lambda){(k\alpha)} (kA)(kα)(kλ)(kα) 对 A α λ α \bold{A}\alpha\lambda\alpha Aαλα两边同时左乘 A \bold{A} A A A α A λ α λ A α λ λ α \bold{A}\bold{A}\alpha\bold{A}\lambda\alpha\lambda{\bold{A}\alpha}\lambda{\lambda{\alpha}} AAαAλαλAαλλα,所以: A 2 α λ 2 α \bold{A}^2\alpha\lambda^2\alpha A2αλ2α;类似的 A 3 α A λ 2 α , λ 2 A α λ 3 α \bold{A}^3\alpha\bold{A}\lambda^2\alpha,\lambda^2\bold{A}\alpha\lambda^3\alpha A3αAλ2α,λ2Aαλ3α重复 m − 1 m-1 m−1次得到: A m α λ m α \bold{A}^m\alpha\lambda^m\alpha Amαλmα
可逆矩阵的特征值性质
当 A \bold{A} A可逆时 λ − 1 α A − 1 α \lambda^{-1}\alpha\bold{A}^{-1}\alpha λ−1αA−1α 对 A α λ α \bold{A}\alpha\lambda{\alpha} Aαλα同时左乘 A − 1 \bold{A}^{-1} A−1 α λ A − 1 α \alpha\lambda \bold{A}^{-1}\alpha αλA−1α,两边同乘以 λ − 1 \lambda^{-1} λ−1 λ − 1 α A − 1 α \lambda^{-1}\alpha\bold{A}^{-1}\alpha λ−1αA−1α ( A ∗ ) α ∣ A ∣ λ α (\bold{A}^*)\alpha\frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha (A∗)αλ∣A∣α 方法1: A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ \bold{A}^{-1}\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^* A−1∣A∣1A∗,两边同时乘以 α \alpha α: A − 1 α 1 ∣ A ∣ A ∗ α \bold{A}^{-1}\alpha\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^{*}\alpha A−1α∣A∣1A∗α λ − 1 α ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) α \lambda^{-1}\alpha(\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^*)\alpha λ−1α(∣A∣1A∗)α ∣ A ∣ λ α ( A ∗ ) α \frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha(\bold{A}^*)\alpha λ∣A∣α(A∗)α所以 ( A ∗ ) α ∣ A ∣ λ α (\bold{A}^*)\alpha\frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha (A∗)αλ∣A∣α 方法2: A ∗ ∣ A ∣ A − 1 \bold{A^{*}|A|A^{-1}} A∗∣A∣A−1,两边同时乘以 α \alpha α, ( A ∗ ) α ∣ A ∣ A − 1 α \bold{(A^{*})\alpha|A|A^{-1}\alpha} (A∗)α∣A∣A−1α ∣ A ∣ A − 1 α ∣ A ∣ λ − 1 α \bold{|A|A^{-1}\alpha|A|\lambda^{-1}\alpha} ∣A∣A−1α∣A∣λ−1α所以 ( A ∗ ) α ∣ A ∣ λ α (\bold{A}^*)\alpha\frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha (A∗)αλ∣A∣α
转置矩阵和特征值 方阵 A \bold{A} A的转置 A T \bold{A}^T AT的特征值和 A \bold{A} A的特征值相同 A : f ( λ ) ∣ λ E − A ∣ \bold{A}:f(\lambda)|\lambda{E}-\bold{A}| A:f(λ)∣λE−A∣ A T : f ( λ ) ∣ λ E − A T ∣ ∣ ( λ E ) T − A T ∣ ∣ ( λ E − A ) T ∣ ∣ λ E − A ∣ \bold{A}^T:f(\lambda)|\lambda{E}-\bold{A}^T||(\lambda{E})^T-\bold{A}^T||(\lambda{E}-\bold{A})^T||\lambda{E}-\bold{A}| AT:f(λ)∣λE−AT∣∣(λE)T−AT∣∣(λE−A)T∣∣λE−A∣ 可见, A , A T \bold{A},\bold{A}^T A,AT具有相同的特征方程,因此特征值一定相同 但是它们的特征向量不一定相同 因为前面我们讨论过,特征值不能够唯一确定特征向量
矩阵多项式的特征值 设 p ( x ) ∑ i 0 m a i x i ∑ i 0 m a m − i x m − i p(x)\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}x^i\sum\limits_{i0}^{m}a_{m-i}x^{m-i} p(x)i0∑maixii0∑mam−ixm−i; λ , A , α \lambda,\bold{A},\alpha λ,A,α满足 A α λ α \bold{A}\alpha\lambda\alpha Aαλα,则 p ( A ) α p ( λ ) α p(\bold{A})\alphap(\lambda)\alpha p(A)αp(λ)α 证明: p ( A ) α ∑ i 0 m a i A i α p(\bold{A})\alpha\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}\bold{A}^i\alpha p(A)αi0∑maiAiα ∑ i 0 m a i λ i α \sum\limits_{i0}^{m}a_{i}\lambda^i\alpha i0∑maiλiα,而 p ( λ ) ∑ i 0 m a i λ i p(\lambda)\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}\lambda^i p(λ)i0∑maiλi;从而 p ( λ ) α ∑ i 0 m a i λ i α p(\lambda)\alpha\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}\lambda^i\alpha p(λ)αi0∑maiλiα 因此 p ( A ) α p ( λ ) α p(\bold{A})\alphap(\lambda)\alpha p(A)αp(λ)α
不同特征值的特征向量线性无关定理
设 n n n阶方阵 A \bold{A} A的 n n n个不同特征值为 λ i , i 1 , 2 , ⋯ , m \lambda_i,i1,2,\cdots,m λi,i1,2,⋯,m,( λ i ≠ λ j \lambda_i\neq{\lambda_{j}}\, λiλjif i ≠ j i\neq{j} ij); A \bold{A} A关于 λ i \lambda_i λi对应的特征向量分别记为 α i , i 1 , 2 , ⋯ , m \alpha_i,i1,2,\cdots,m αi,i1,2,⋯,m;那么 A 0 : α 1 , ⋯ , α m A_0:\alpha_1,\cdots,\alpha_m A0:α1,⋯,αm线性无关即:方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关证明: 对特征值的个数 m m m作数学归纳法 当 m 1 m1 m1时, α 1 ≠ 0 \bold{\alpha_1\neq{0}} α10, A 0 : α 1 A_0:\alpha_1 A0:α1仅含有一个非零向量的向量组线性无关 设 m k − 1 mk-1 mk−1时结论成立,即 A k − 1 : α 1 , ⋯ , α k − 1 A_{k-1}:\alpha_1,\cdots,\alpha_{k-1} Ak−1:α1,⋯,αk−1线性无关 这里的思路是假设 m k − 1 mk-1 mk−1时结论能推出 m k mk mk时也成立 (当然也可以设 m k mk mk时成立然后推 m k 1 mk1 mk1时仍然成立) 设向量组 A k : α 1 , ⋯ , α k A_{k}:\alpha_1,\cdots,\alpha_k Ak:α1,⋯,αk,其线性相关性判定式 ∑ i 1 k x i α i 0 \sum_{i1}^{k}x_i\alpha_i\bold{0} ∑i1kxiαi0(1) 用 A \bold{A} A左乘(1)式两边,得 ∑ i 1 k x i A α i 0 \sum_{i1}^{k}x_i\bold{A}\alpha_i\bold{0} ∑i1kxiAαi0(2) 由 A α i λ α i \bold{A}\alpha_i\lambda{\alpha_i} Aαiλαi代入(2)得 ∑ i 1 k x i λ i α i 0 \sum_{i1}^{k}x_i\lambda_i\alpha_i\bold{0} ∑i1kxiλiαi0(3) 作 ( 3 ) − λ k ( 2 ) (3)-\lambda_k(2) (3)−λk(2)得: ∑ i 1 k x i ( λ i − λ k ) α i 0 \sum_{i1}^{k}x_i(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_i\bold{0} ∑i1kxi(λi−λk)αi0,等式左侧展开式得最后一项为0,化简后即 ∑ i 1 k − 1 x i ( λ i − λ k ) α i 0 \sum_{i1}^{k-1}x_i(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_i\bold{0} ∑i1k−1xi(λi−λk)αi0(4) 由归纳假设,(4)中的表出系数 γ i x i ( λ i − λ k ) 0 \gamma_ix_i(\lambda_i-\lambda_k)0 γixi(λi−λk)0, i 1 , ⋯ , k − 1 i1,\cdots,k-1 i1,⋯,k−1 由条件中的特征值互异性: λ i ≠ λ j \lambda_i\neq{\lambda_j} λiλj, i 1 , ⋯ , m i1,\cdots,m i1,⋯,m可知 λ i − λ k ≠ 0 \lambda_i-\lambda_k\neq{0} λi−λk0, i 1 , ⋯ , k − 1 i1,\cdots,k-1 i1,⋯,k−1从而 γ i 0 \gamma_i0 γi0一定有 x i 0 x_i0 xi0, i 1 , ⋯ , k − 1 i1,\cdots,k-1 i1,⋯,k−1;代入(1)可知 x k α k 0 x_k\alpha_k\bold{0} xkαk0,而 α k ≠ 0 \alpha_k\neq{\bold{0}} αk0,所以 x k 0 x_k0 xk0从而(1)中表出系数 x i 0 , i 1 , ⋯ , k x_i0,i1,\cdots,k xi0,i1,⋯,k,即 A k : α 1 , ⋯ , α k A_k:\alpha_1,\cdots,\alpha_k Ak:α1,⋯,αk线性无关 由归纳法原理,命题成立 Note:这个归纳法证明中,最重要的一个步骤是等式(4)的构造过程,它将 m k mk mk时的命题和 m k − 1 mk-1 mk−1时的命题(归纳假设条件)联系起来
推论
设 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2是方阵 A \bold{A} A的两个不同特征值 ( λ 1 ≠ λ 2 ) (\lambda_1\neq{\lambda_2}) (λ1λ2),且 S 1 : ξ 1 , ⋯ , ξ s S_1:\xi_1,\cdots,\xi_s S1:ξ1,⋯,ξs和 S 2 : η 1 , ⋯ , η t S_2:\eta_1,\cdots,\eta_t S2:η1,⋯,ηt分别是对应于 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2的线性无关特征向量组,则 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2合并的向量组 S 3 S_3 S3线性无关
推广 记特征值 λ i \lambda_i λi, i 1 , ⋯ , m i1,\cdots,m i1,⋯,m的线性无关特征向量组为 A i : α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i s i A_i:\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{is_i} Ai:αi1,αi2,⋯,αisi A i A_i Ai相当于方程 ( λ i E − A ) x 0 (\lambda_iE-\bold{A})x0 (λiE−A)x0的一个基础解系),则这些向量组的合并向量组 B : A 1 , ⋯ , A n B:A_1,\cdots,A_n B:A1,⋯,An依然线性无关 也即是说,属于各个特征值的线性无关特征向量合在一起构成的向量组依然线性无关 证明: 对特征值个数 m m m作数学归纳法,过程和本节定理得证明过程类似 当 m 1 m1 m1时,结论显然成立 S 3 S 1 S_3S_1 S3S1是线性无关的 设 m k mk mk时结论成立, 当 m k 1 mk1 mk1时,设 ∑ i 1 k 1 ∑ j 1 s i x i j α i j 0 \sum_{i1}^{k1}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\alpha_{ij}\bold{0} ∑i1k1∑j1sixijαij01 对1两边同时左乘 A \bold{A} A: ∑ i 1 k 1 ∑ j 1 s i x i j A α i j 0 \sum_{i1}^{k1}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\bold{A}\alpha_{ij}\bold{0} ∑i1k1∑j1sixijAαij02 将 A λ i λ i α i j \bold{A}\lambda_i\lambda_i\alpha_{ij} Aλiλiαij, i 1 , ⋯ , s i i1,\cdots,s_i i1,⋯,si,代入2得: ∑ i 1 k 1 ∑ j 1 s i x i j λ i α i j 0 \sum_{i1}^{k1}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{i}\alpha_{ij}\bold{0} ∑i1k1∑j1sixijλiαij03 展开3.1 ∑ i 1 k 1 ∑ j 1 s i x i j λ i α i j ∑ i 1 k ∑ j 1 s i x i j λ i α i j ∑ j 1 s k 1 x k 1 , j λ k 1 α k 1 , j 0 \sum_{i1}^{k1}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{i}\alpha_{ij} \sum_{i1}^{k}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{i}\alpha_{ij} \sum_{j1}^{s_{k1}}x_{k1,j}\lambda_{k1}\alpha_{k1,j} \bold{0} i1∑k1j1∑sixijλiαiji1∑kj1∑sixijλiαijj1∑sk1xk1,jλk1αk1,j0 对1两边同时乘以 λ k 1 \lambda_{k1} λk1得: ∑ i 1 k 1 ∑ j 1 s i x i j λ k 1 α i j 0 \sum_{i1}^{k1}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{k1}\alpha_{ij}\bold{0} ∑i1k1∑j1sixijλk1αij04 展开4.1 ∑ i 1 k 1 ∑ j 1 s i x i j λ k 1 α i j ∑ i 1 k ∑ j 1 s i x i j λ k 1 α i j ∑ j 1 s k 1 x k 1 , j λ k 1 α k 1 , j 0 \sum_{i1}^{k1}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{k1}\alpha_{ij} \sum_{i1}^{k}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{k1}\alpha_{ij} \sum_{j1}^{s_{k1}}x_{k1,j}\lambda_{k1}\alpha_{k1,j} \bold{0} i1∑k1j1∑sixijλk1αiji1∑kj1∑sixijλk1αijj1∑sk1xk1,jλk1αk1,j0 作3-4,即3.1-4.1得 ∑ i 1 k 1 ∑ j 1 s i x i j ( λ i − λ k 1 ) α i j ∑ i 1 k ∑ j 1 s i x i j ( λ i − λ k 1 ) α i j 0 \sum_{i1}^{k1}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij} (\lambda_i-\lambda_{k1})\alpha_{ij} \sum_{i1}^{k}\sum_{j1}^{s_i}x_{ij} (\lambda_i-\lambda_{k1})\alpha_{ij} \bold{0} i1∑k1j1∑sixij(λi−λk1)αiji1∑kj1∑sixij(λi−λk1)αij0 3左边展开式中 i k 1 ik1 ik1的被化简 由归纳假设, ∑ i 1 k ∑ j 1 s i γ i j α i j 0 \sum_{i1}^{k}\sum_{j1}^{s_i} \gamma_{ij}\alpha_{ij} \bold{0} ∑i1k∑j1siγijαij0其中 γ i j 0 \gamma_{ij}0 γij0,所以, γ i j x i j ( λ i − λ k 1 ) 0 \gamma_{ij}x_{ij}(\lambda_i-\lambda_{k1})0 γijxij(λi−λk1)0, i 1 , ⋯ , k i1,\cdots,k i1,⋯,k, j 1 , ⋯ , s i j1,\cdots,s_{i} j1,⋯,si 由 λ i , i 1 , ⋯ , m \lambda_i,i1,\cdots,m λi,i1,⋯,m的互异性可知, λ i − λ k 1 ≠ 0 \lambda_i-\lambda_{k1}\neq{0} λi−λk10,所以 x i j 0 x_{ij}0 xij0 代入1得 ∑ j 1 s k 1 x k 1 , j α k 1 , j 0 \sum_{j1}^{s_{k1}}x_{k1,j}\alpha_{k1,j}\bold{0} ∑j1sk1xk1,jαk1,j0 由 A k 1 : α k 1 , 1 , ⋯ , α k 1 , s k 1 A_{k1}:\alpha_{k1,1},\cdots,\alpha_{k1,s_{k1}} Ak1:αk1,1,⋯,αk1,sk1线性无关可知, x k 1 , j 0 x_{k1,j}0 xk1,j0, j 1 , ⋯ , s k 1 j1,\cdots,s_{k1} j1,⋯,sk1所以 x 1 , 1 , ⋯ , x k 1 , s k 1 x_{1,1},\cdots,x_{k1,s_{k1}} x1,1,⋯,xk1,sk1全为0,即 B : A 1 , ⋯ , A k 1 B:A_1,\cdots,A_{k1} B:A1,⋯,Ak1线性无关 由归纳法原理,结论成立
特征向量线性组合
同一矩阵的同一特征值的特征向量线性组合仍然是矩阵的特征向量 设 α \alpha α是矩阵 A \bold A A属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0的特征向量(用符号语言可以简介的表示为: α , A → λ \alpha,{A}\to{\lambda} α,A→λ或者更直接的 A α λ 0 α A\alpha\lambda_0\alpha Aαλ0α 设 α 1 , α 2 , A , λ 0 \alpha_1,\alpha_2,\bold A,\lambda_0 α1,α2,A,λ0满足 A α 1 λ 0 α 1 \bold{A\alpha_1\lambda_{0}\alpha_1} Aα1λ0α1; A α 2 λ 0 α 2 \bold{A\alpha_2\lambda_0\alpha_2} Aα2λ0α2,则: β k α 1 \betak\alpha_1 βkα1满足 A β λ 0 β A\beta\lambda_0\beta Aβλ0β 因为 A ( k α 1 ) k A α 1 \bold{A}(k\alpha_1)k\bold{A}\alpha_1 A(kα1)kAα1 k λ 0 α 1 λ 0 ( k α 1 ) k\lambda_0{\alpha_1}\lambda_{0}(k\alpha_1) kλ0α1λ0(kα1) γ α 1 α 2 \gamma\alpha_1\alpha_2 γα1α2满足 A γ λ 0 γ A\gamma\lambda_0\gamma Aγλ0γ A ( α 1 α 2 ) \bold{A(\alpha_1\alpha_2)} A(α1α2) A α 1 A α 2 \bold{A\alpha_1A\alpha_2} Aα1Aα2 λ 0 α 1 λ 0 α 2 λ 0 ( α 1 α 2 ) \lambda_0\alpha_1\lambda_0\alpha_2\lambda_0(\alpha_1\alpha_2) λ0α1λ0α2λ0(α1α2) 综合上述结论,可以得出:若 α i \alpha_i αi, A , λ 0 \bold{A},\lambda_0 A,λ0满足 A α i α i λ 0 A\alpha_i\alpha_i\lambda_0 Aαiαiλ0, ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (i1,2,\cdots,n) (i1,2,⋯,n)则 α i \alpha_i αi的任意线性组合 θ ∑ i k i α i \theta\sum_i{k_i\alpha_i} θ∑ikiαi满足 A θ θ λ 0 A\theta\theta\lambda_0 Aθθλ0
方阵 A \bold{A} A得不同特征值得特征向量之和不是 A \bold{A} A的特征向量 使用反证法来证明 设 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2是 A \bold{A} A的两个不同特征值,即 A p i λ i p i \bold{A}\bold{p}_i\lambda_{i}\bold{p}_i Apiλipi, i 1 , 2 i1,2 i1,2 易知 A ( p 1 p 2 ) λ 1 p 1 λ 2 p 2 \bold{A(p_1p_2)}\lambda_1{\bold{p}_1}\lambda_2{\bold{p_2}} A(p1p2)λ1p1λ2p2 设 p 3 p 1 p 2 \bold{p_3p_1p_2} p3p1p2是 A \bold{A} A的特征向量,则应存在 λ \lambda λ使得 A p 3 λ p 3 \bold{Ap_3\lambda{p_3}} Ap3λp3,即 λ 1 p 1 λ 2 p 2 λ p 3 \lambda_1{\bold{p}_1}\lambda_2{\bold{p_2}}\lambda{\bold{p_3}} λ1p1λ2p2λp3 即 ( λ 1 − λ ) p 1 ( λ 2 − λ ) p 2 0 (\lambda_1-\lambda)\bold{p}_1(\lambda_2-\lambda)\bold{p_2}\bold{0} (λ1−λ)p1(λ2−λ)p20 由于 p 1 , p 2 \bold{p_1,p_2} p1,p2线性无关,所以 λ i − λ 0 , i 1 , 2 \lambda_i-\lambda0,i1,2 λi−λ0,i1,2,所以 λ 1 λ 2 λ \lambda_1\lambda_2\lambda λ1λ2λ,这与 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1\neq{\lambda_2} λ1λ2矛盾,所以不存在这样的 λ \lambda λ 所以 p 1 p 2 \bold{p_1p_2} p1p2不是 A \bold{A} A的特征向量
特征值的重数性质 设方阵 A \bold{A} A的特征值 λ 1 , ⋯ , λ m \lambda_{1},\cdots,\lambda_{m} λ1,⋯,λm对,若 λ i \lambda_i λi是一个 k i k_i ki重特征值,那么对应于 λ i \lambda_i λi线性无关特征向量的个数 u i ⩽ k i u_i\leqslant{k_i} ui⩽ki 其中 ∑ k i n \sum{k_i}n ∑kin 推论:记 u ( A ) ∑ u i u(\bold{A})\sum{u_i} u(A)∑ui,一个 n n n阶方阵 A \bold{A} A的线性无关特征向量的个数 u ( A ) ⩽ n u(\bold{A})\leqslant{n} u(A)⩽n
