东莞网站推广大全,华为手机软文范文300,wordpress 发布到iis,自己家开了一家装修公司怎么做装修网站继续是线性代数的学习笔记#xff0c;这次的笔记包含第四、五、六节三节课的内容。
第四节课是介绍A的LU分解。A的LU分解是指将矩阵A分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。其主要应用在数值分析中#xff0c;用来解线性方程、求反矩阵或者计算行列式。
第五节课是介…继续是线性代数的学习笔记这次的笔记包含第四、五、六节三节课的内容。
第四节课是介绍A的LU分解。A的LU分解是指将矩阵A分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。其主要应用在数值分析中用来解线性方程、求反矩阵或者计算行列式。
第五节课是介绍转置-置换-向量空间介绍了转置矩阵置换矩阵以及向量空间的基本概念。
第六节课是介绍列空间和零空间介绍了向量空间中的两种空间–列空间和零空间。
乘积的逆
首先是介绍如何求解两个矩阵乘积的逆。
假设矩阵A和B都是可逆矩阵也就是有AA−1BB−1IAA^{-1}=BB^{-1}=I则两者的乘积(AB)(B−1A−1)I(AB)(B^{-1}A^{-1})=I,同理也有B−1A−1ABIB^{-1}A^{-1}AB=I。
另外如果AA−1IAA^{-1}=I则对A,A−1A,A^{-1}转置有(A−1)TATI(A^{-1})^T A^T=I也就是说矩阵A转置的逆矩阵等于逆矩阵A−1A^{-1}的转置。
A的LU分解
要实现对矩阵A的LU分解首先需要将A通过初等行交换变成一个上三角矩阵其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。
比如有一个矩阵A[2817]A=\begin{bmatrix} 2 [1−401]E_{21}=\begin{bmatrix} 1
E21A[1−401][2817][2013]UE_{21}A=\begin{bmatrix} 1 LU−−[2817][1401][2013]A=LU-->\begin{bmatrix} 2 也是同样的道理先使用初等行变换变成一个上三角矩阵而这里需要让矩阵A的元素a21、a31以及a32a_{21}、a_{31}以及a_{32}都变为0所以变换矩阵分别是E21、E31和E32E_{21}、E_{31}和E_{32},即有
E32E31E21AUE_{32}E_{31}E_{21}A=U所以有
AE−121E−131E−132ULUA = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}U=LU此外对于ALUA=LU,如果不存在行交换则消元系数可以直接写在L中。就如上述第一个例子中得到的矩阵L[1401]L=\begin{bmatrix} 1 其中的l214l_{21}=4就是消元的系数。
置换矩阵 置换矩阵就是行重新排列了的单位矩阵记作P它可以完成行互换。 对任意可逆的矩阵AA,有PA=LUPA = LU。
一个n×nn\times n的置换矩阵的可能个数为n!n(n−1)⋯2∗1n! = n(n-1)\cdots 2*1。
最后对于置换矩阵有一个性质即P−1PTP^{-1}=P^T,即置换矩阵的逆矩阵就是置换矩阵的转置矩阵。所以也有PTPIP^TP=I。
转置 转置符号用T表示其公式为(A)TijAji(A)^T_{ij}=A_{ji}。 一个对称的矩阵有ATAA^T=A,比如矩阵⎡⎣⎢317129794⎤⎦⎥\begin{bmatrix}3 也满足这个性质。
更进一步有对于矩阵ARTRA=R^TR则A必然是对称的。
令矩阵R[132341]R=\begin{bmatrix}1 ⎡⎣⎢124331⎤⎦⎥[132341]⎡⎣⎢1011711131171117⎤⎦⎥R^TR=\begin{bmatrix}1 即(RTR)RTR(R^TR)=R^TR。
向量空间R
向量空间是包括许多向量的空间。
R2R^2表示的是所有的二维实向量组成的空间并且默认是列向量例如[32],[00],[πe]\begin{bmatrix}3 \\ 2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}\pi \\ e \end{bmatrix}。
同理R3R^3表示的就是所有三维实向量组成的空间RnR^n就是所有n维实向量组成的空间。
向量空间必须满足的条件是对数乘和加法或者对线性组合是封闭的。也就是说在向量空间内的任意向量其加上同一空间另一个向量所得到的向量必须也存在该向量空间内并且其乘以任何一个数得到的向量也存在该向量空间内。
对于子空间在R2R^2内的子空间有3种包括R2R^2本身还有就是过原点的直线以及零向量。
而R3R^3内的子空间则有4种包括R3R^3零向量过原点的平面和直线。
对于在R3R^3内的两个子空间P和LP和L,其并集即P⋃LP\bigcup L并不是一个子空间但是其交集P⋂LP\bigcap L则是R3R^3的子空间。
列空间
假设有一个矩阵AA,其列空间是由其各列的线性组合构成的，记作C(A)C(A)。
设A⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥A=\begin{bmatrix}1 bAx=b,对任意的bb并不总是有解的。只有满足当且仅当向量bb是AA各列的线性组合，即存在于C(A)C(A)中才总是有解的。这是因为AA的列空间是包含AA各列的所有线性组合的。
零空间
矩阵AA的零空间N(A)N(A)满足Ax0Ax=0的解即向量xx。利用上述给定的矩阵AA,有Ax⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎢⎢0000⎤⎦⎥⎥⎥Ax=\begin{bmatrix}1 而继续研究可以知道还有满足如⎡⎣⎢11−1⎤⎦⎥,⎡⎣⎢22−2⎤⎦⎥\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix},也就是形如⎡⎣⎢cc−c⎤⎦⎥\begin{bmatrix} c \\ c \\ -c \end{bmatrix},其中cc是任意实数，也就是这是一个R3R^3空间中的一条过原点的直线。
下面证明Ax0Ax=0的解总是构成一个子空间。
如果Av0,Aw0Av=0,Aw=0,那么则有A(vw)AvAw0A(v+w)=Av+Aw=0也就是如果向量v,wv,w在零空间则vwv+w也是在零空间的。同理可证明如果Av0Av=0,有A(cv)0A(cv)=0其中c是一个任意实数。
小结
本节内容首先是介绍了矩阵AA的LULU分解以及其解法然后介绍了置换矩阵转置向量空间包括列空间和零空间在内的基本概念。
