自己做局域网站,wordpress里的关键词在哪设置,WordPress比赛竞猜插件,wordpress文章在那个文件夹文章目录 二、曲面积分2.1 对面积的曲面积分#xff08;第一类曲面积分#xff09;2.1.1 问题引入 —— 曲面的质量2.1.2 对面积的曲面积分定义及性质2.1.3 对面积的曲面积分的计算法 写在最后 二、曲面积分
2.1 对面积的曲面积分#xff08;第一类曲面积分#xff09;
2… 文章目录 二、曲面积分2.1 对面积的曲面积分第一类曲面积分2.1.1 问题引入 —— 曲面的质量2.1.2 对面积的曲面积分定义及性质2.1.3 对面积的曲面积分的计算法 写在最后 二、曲面积分
2.1 对面积的曲面积分第一类曲面积分
2.1.1 问题引入 —— 曲面的质量
设 Σ \varSigma Σ 为空间有限光滑或逐片光滑曲面其面密度为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z) 求其质量 m m m 。
有两种思想可以进行求解一是经典积分思想另一是元素法思想。
1经典积分思想
第一步将 Σ \varSigma Σ 划分为 n n n 个小曲面 Δ S 1 , Δ S 2 , ⋯ , Δ S n \Delta S_1,\Delta S_2,\cdots,\Delta S_n ΔS1,ΔS2,⋯,ΔSn
第二步任取 ( ξ i , η i , δ i ) ∈ Δ S i ( 1 ≤ i ≤ n ) (\xi_i,\eta_i,\delta_i)\in \Delta S_i(1\leq i \leq n) (ξi,ηi,δi)∈ΔSi(1≤i≤n) 则 m ≈ ∑ ρ ( ξ i , η i , δ i ) Δ S i m \approx \sum\rho(\xi_i,\eta_i,\delta_i)\Delta S_i m≈∑ρ(ξi,ηi,δi)ΔSi
第三步令 λ max Δ d i ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) \lambda\max{\Delta d_i}(i1,2,\cdots,n) λmaxΔdi(i1,2,⋯,n) 其中 d i d_i di 为 Δ S i \Delta S_i ΔSi 的直径则有 m lim λ → 0 ∑ i 1 n ρ ( ξ i , η i , δ i ) Δ S i . m\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i1}^n\rho(\xi_i,\eta_i,\delta_i)\Delta S_i. mλ→0limi1∑nρ(ξi,ηi,δi)ΔSi. 2元素法思想
第一步取 d S ⊂ Σ dS\sub \varSigma dS⊂Σ 第二步 d m ρ ( x , y , z ) d S dm\rho(x,y,z) dS dmρ(x,y,z)dS 第三步 m ∬ Σ ρ ( x , y , z ) d S . m\iint_{\varSigma}\rho(x,y,z)dS. m∬Σρ(x,y,z)dS.
2.1.2 对面积的曲面积分定义及性质
由此我们可以得到对面积的曲面积分的定义
设 Σ \varSigma Σ 为空间有限曲面函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 在曲面上有界将 Σ \varSigma Σ 划分为 n n n 个小曲面 Δ S 1 , Δ S 2 , ⋯ , Δ S n \Delta S_1,\Delta S_2,\cdots,\Delta S_n ΔS1,ΔS2,⋯,ΔSn 任取 ( ξ i , η i , δ i ) ∈ Δ S i ( 1 ≤ i ≤ n ) (\xi_i,\eta_i,\delta_i)\in \Delta S_i(1\leq i \leq n) (ξi,ηi,δi)∈ΔSi(1≤i≤n) 作 ∑ ρ ( ξ i , η i , δ i ) Δ S i \sum\rho(\xi_i,\eta_i,\delta_i)\Delta S_i ∑ρ(ξi,ηi,δi)ΔSi 令 λ max Δ d i ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) \lambda\max{\Delta d_i}(i1,2,\cdots,n) λmaxΔdi(i1,2,⋯,n) 其中 d i d_i di 为 Δ S i \Delta S_i ΔSi 的直径若极限 lim λ → 0 ∑ i 1 n ρ ( ξ i , η i , δ i ) Δ S i . \lim_{\lambda\to 0}\sum_{i1}^n\rho(\xi_i,\eta_i,\delta_i)\Delta S_i. λ→0limi1∑nρ(ξi,ηi,δi)ΔSi. 存在称此极限为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 在曲面 Σ \varSigma Σ 上对面积的曲面积分记为 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint_{\varSigma}f(x,y,z)dS ∬Σf(x,y,z)dS 。
对面积的曲面积分和二重积分有类似的性质如常数可以提出来曲面可以分段被积函数为 1 时代表曲面面积还有就是对称性质关于 x O y xOy xOy 平面对称即关于变量 z z z 对称等等。
2.1.3 对面积的曲面积分的计算法
1特殊替代法
也就是被积函数可以用曲面方程来替代掉最终转化为求空间曲面的面积。 回忆一下空间几何里面关于曲面面积的计算方法两个向量叉乘的一半为所围三角形的面积。 【例】计算 I ∬ Σ ( 2 x 4 y / 3 z ) d S I\iint_{\varSigma}(2x4y/3z)dS I∬Σ(2x4y/3z)dS 其中 Σ \varSigma Σ 为平面 x / 2 y / 3 z / 4 1 x/2y/3z/41 x/2y/3z/41 在第一卦限的部分。
解 I 4 ∬ Σ 1 d S 4 S I4\iint_{\varSigma}1dS4S I4∬Σ1dS4S 。平面 Σ \varSigma Σ 与三轴的交点分别为 A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 3 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 4 ) A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4) A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4) 则 A B → { − 2 , 3 , 0 } , B C → { 0 , − 3 , 4 } \overrightarrow{AB}\{-2,3,0\},\overrightarrow{BC}\{0,-3,4\} AB {−2,3,0},BC {0,−3,4} 可计算面积 S 0.5 × ∣ A B → × B C → ∣ 61 S0.5\times|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|\sqrt{61} S0.5×∣AB ×BC ∣61 可得 I 4 61 I4\sqrt{61} I461 。
2二重积分法
设 Σ : z u ( x , y ) \varSigma:zu(x,y) Σ:zu(x,y) 其中 ( x , y ) ∈ D (x,y)\in D (x,y)∈D 则有 d S 1 ( ∂ z / ∂ x ) 2 ( ∂ z / ∂ y ) 2 d x d y dS\sqrt{1(\partial z/\partial x)^2(\partial z/\partial y)^2}dxdy dS1(∂z/∂x)2(∂z/∂y)2 dxdy 有 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S ∬ D [ f ( x , y , u ( x , y ) ] 1 ( ∂ z / ∂ x ) 2 ( ∂ z / ∂ y ) 2 d x d y . \iint_{\varSigma}f(x,y,z)dS\iint_{D}[f(x,y,u(x,y)]\sqrt{1(\partial z/\partial x)^2(\partial z/\partial y)^2}dxdy. ∬Σf(x,y,z)dS∬D[f(x,y,u(x,y)]1(∂z/∂x)2(∂z/∂y)2 dxdy. 【例】求 I ∬ Σ z d S I\iint_{\varSigma}zdS I∬ΣzdS 其中 Σ \varSigma Σ 为 x 2 y 2 z 2 1 x^2y^2z^21 x2y2z21 被 z x 2 y 2 z\sqrt{x^2y^2} zx2y2 所截部分。 联立两个方程可得 x 2 y 2 1 / 2 x^2y^21/2 x2y21/2 于是有 Σ : z 1 − x 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D \varSigma:z\sqrt{1-x^2-y^2},(x,y)\in D Σ:z1−x2−y2 ,(x,y)∈D 其中 D : x 2 y 2 ≤ 1 / 2. D:x^2y^2 \leq 1/2. D:x2y2≤1/2. 则 d S d S 1 ( ∂ z / ∂ x ) 2 ( ∂ z / ∂ y ) 2 d x d y 1 / ( 1 − x 2 − y 2 ) d x d y dSdS\sqrt{1(\partial z/\partial x)^2(\partial z/\partial y)^2}dxdy1/(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy dSdS1(∂z/∂x)2(∂z/∂y)2 dxdy1/(1−x2−y2 )dxdy 于是 I ∬ D 1 − x 2 − y 2 ⋅ ( 1 / 1 − x 2 − y 2 ) d x d y S D π / 2. I\iint_{D}\sqrt{1-x^2-y^2}\cdot(1/\sqrt{1-x^2-y^2})dxdyS_D\pi/2. I∬D1−x2−y2 ⋅(1/1−x2−y2 )dxdySDπ/2. 写在最后
第一类曲面积分和第一类曲线积分很是相似都是化成对应的简单面积分或线积分来进行计算如果掌握了二重积分加上空间几何的内容相信这一部分是可以较为轻松掌握的。
