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离散傅里叶分析数字声音
数字声音
数字声音是一个序列 x { x i } i 0 N − 1 \boldsymbol{x}\left\{x_i\right\}_{i0}^{N-1} x{xi}i0N−1对应于记录的 a a a连续声音 f f f的测量值以每秒 f s f_s fs 测量的固定速率即 x k f ( k / f s ) , 对于 k 0 , 1 , … , N − 1 . x_kf\left(k / f_s\right), \quad \text { 对于 } k0,1, \ldots, N-1 \text {. } xkf(k/fs), 对于 k0,1,…,N−1. f s f_s fs 称为采样频率或采样率。数字声音中的组成部分称为样本连续样本之间的时间称为采样周期通常表示为 T s T_s Ts。测量声音也称为对声音进行采样。
数字声音的质量通常通过比特率每秒的位数来衡量即采样率与用于存储每个样本的位数二进制数字的乘积。 采样率和数字格式都会影响最终声音的质量。 这些被封装在数字声音格式中。
观察Python合成声音
首先合成是使用各种方法创建声音的行为。 我将重点关注加法合成即通过将不同信号相加的方式进行合成。
我将使用的库是 Numpy 和 Scipy。 Numpy 是一个用于数值计算的库而 Scipy 是一个我将用于信号处理并将数据转换为声音文件的库。 我还将安装 matplotlib 来绘制声音信号。 Pydub 是一个用于播放音频的库。 为了安装这些包我将使用 pip 并创建一个虚拟环境。我使用的是 Python 3.10因此请调整您的 Python 安装说明。 在终端中我们首先创建一个目录然后创建一个 virtualenv 并安装必需的软件包。
请创建一个名为 sound.py 的新文件并在文本编辑器中打开它。这将是我用来合成声音的主文件。现在让我首先添加需要的导入。
import numpy as np
from scipy.io.wavfile import write
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt让我们来回顾一下什么是声音。 声音是空气穿过空间的压力波。 它是一种称为纵波的波意味着它垂直于传播方向移动。
声音可以表示为信号。 信号是一组随时间变化的数字通常用方括号表示例如 x [ n ] x[n] x[n]。 我们可以将信号设置为始终等于 1例如 x [ n ] x[n] x[n]1或者创建一个像 x [ n ] x[n] x[n] n n n 这样变化的线性信号。 出于我们的目的我们将处理像正弦这样的周期性信号。 它们的形式为 x [ n ] x[n] x[n] A s i n ( 2 π f n ) A sin(2πfn) Asin(2πfn)其中 A A A 是振幅 f f f 是频率。 信号的 y y y 轴是幅度或音量 x x x 轴是当前时间。
让我们尝试使用以下方程生成正弦波。 y [ n ] A sin ( 2 π f t [ n ] ) y[n]A \sin (2 \pi f t[n]) y[n]Asin(2πft[n]) A 是幅度f 是信号的频率。 频率是每秒的样本数。 它决定了声音的音调较低的频率有更多的低音较高的频率有更多的高音。 为该声音生成波形文件的代码如下所示。
AUDIO_RATE 44100
freq 440
length 1# create time values
t np.linspace(0, length, length * AUDIO_RATE, dtypenp.float32)
# generate y values for signal
y np.sin(2 * np.pi * freq * t)
# save to wave file
write(sine.wav, AUDIO_RATE, y)我们首先有音频速率常数也称为采样率它是声卡从麦克风或其他音频输入源采样音频的速率。 在本例中频率将为 44,100Hz。 赫兹 (Hz) 是频率的标准度量是大多数声卡上每秒的样本数。 其原因是人类听觉的限制和奈奎斯特采样定理。 其中指出要播放频率最多为 f 的声音我们至少需要 2f 个样本。 人的听觉通常敏感度为20,000Hz这意味着采样率需要在40,000Hz以上。
这意味着我们需要在几秒内生成相当于音频剪辑长度 44,100 倍的样本数量。 在本例中我们需要 1 秒的音频剪辑因此需要将音频速率乘以 1。这将使我们能够生成跨越人类听觉范围的声音。
我们使用 linspace 生成时间值范围从 0 到 1样本数为 1 * AUDIO_RATE即 44100 个样本。 然后使用每个时间值的 sin 计算信号。 频率为440Hz即中A。然后我们可以使用Scipy中的write函数和相应的AUDIO_RATE将声音写入波形文件。
如果您听 sine.wav您会听到短促的一秒正弦波声音。 这听起来像是扬声器发出蜂鸣声如果您听不到它请检查以确保代码正确并且您的音频设置也正确。 您的音频格式可能需要在设置中设置为 44,100Hz。
让我们使用 matplotlib 中的绘图函数绘制信号。
def plot(ts, ys, title, num_samples):plt.xlabel(t)plt.ylabel(y)plt.title(title)plt.plot(ys[:num_samples])plt.show()plot(t, y, Sine Signal, 512)如果我们绘制前 512 个样本这就是我们得到的图。
方波类似但我们使用方形而不是正弦曲线。这使用阶跃函数代替正弦函数来计算。我们可以使用正弦函数和 Heaviside 阶跃函数来实现这一点。
y np.heaviside(np.sin(2 * np.pi * freq * t), 1.0)我们可以使用 Scipy 的 signal.square 函数实现同样的效果。
t np.linspace(0, length, length * AUDIO_RATE, dtypenp.float32)# generate y values for signal
y signal.square(2 * np.pi * freq * t)
# save to wave file
write(square.wav, AUDIO_RATE, y)plot(t, y, Square Signal, 512)方波会产生比正弦波更刺耳的嗡嗡声。这是因为方波比只有一种音调的正弦波有更多的泛音。
离散傅里叶分析
在离散傅里叶分析中向量 x ( x 0 , … , x N − 1 ) \boldsymbol{x}\left(x_0, \ldots, x_{N-1}\right) x(x0,…,xN−1) 表示为 N N N 个向量的线性组合 ϕ n 1 N ( 1 , e 2 π i n / N , e 2 π i 2 n / N , … , e 2 π i k n / N , … , e 2 π i n ( N − 1 ) / N ) \phi_n\frac{1}{\sqrt{N}}\left(1, e^{2 \pi i n / N}, e^{2 \pi i 2 n / N}, \ldots, e^{2 \pi i k n / N}, \ldots, e^{2 \pi i n(N-1) / N}\right) ϕnN 1(1,e2πin/N,e2πi2n/N,…,e2πikn/N,…,e2πin(N−1)/N) 这些向量称为归一化复指数或 N N N 阶纯数字音调。 n n n也称为频率指数。整个集合 F N { ϕ n } n 0 N − 1 \mathcal{F}_N\left\{\phi_n\right\}_{n0}^{N-1} FN{ϕn}n0N−1称为 N N N点傅里叶基。
请注意纯数字音可以被视为纯音的样本在一个周期内均匀采集 f ( t ) e 2 π i n t / T / N f(t)e^{2 \pi i n t / T} / \sqrt{N} f(t)e2πint/T/N 是具有频率的纯音 n / T n / T n/T其样本为 f ( k T / N ) e 2 π i n ( k T / N ) / T N e 2 π i n k / N N , f(k T / N)\frac{e^{2 \pi i n(k T / N) / T}}{\sqrt{N}}\frac{e^{2 \pi i n k / N}}{\sqrt{N}}, f(kT/N)N e2πin(kT/N)/TN e2πink/N, 将纯音映射到数字纯音时索引 n n n 对应于频率 ν n / T \nun / T νn/T N N N 对应于一个周期内采集的样本数。由于 T f s N T f_sN TfsN其中 f s f_s fs是采样频率因此我们在频率和频率指数之间有以下联系 ν n f s N and n ν N f s \nu\frac{n f_s}{N} \text { and } n\frac{\nu N}{f_s} νNnfs and nfsνN 以下引理表明傅立叶基是正交的因此它确实是一个基。
离散傅里叶变换
我们用 F N F_N FN来表示坐标矩阵从标准基 R N \mathbb{R}^N RN到傅里叶基 F N \mathcal{F}_N FN的变化。我们也将其称为 N N N点傅立叶矩阵。
矩阵 N F N \sqrt{N} F_N N FN 也称为 N N N点离散傅里叶变换或 DFT。如果 x \boldsymbol{x} x是 R N R^N RN中的向量则 y \boldsymbol{y} y DFT x \boldsymbol{x} x称为 x \boldsymbol{x} x的DFT系数。 因此DFT 系数是 F N \mathcal{F}_N FN 中的坐标用 N \sqrt{N} N 缩放。 DFT x \boldsymbol{x} x 有时写为 x ^ \hat{\boldsymbol{x}} x^。
请注意我们将傅立叶矩阵和 DFT 定义为两个不同的矩阵一个是另一个的缩放版本。究其原因在于不同领域有不同的传统。在纯数学中主要使用傅立叶矩阵因为正如我们将看到的它是酉矩阵。在信号处理中主要使用 DFT 提供的缩放版本。我们通常将 R N \mathbb{R}^N RN中的给定向量写为 x \boldsymbol{x} x并为其DFT写为 y \boldsymbol{y} y。在应用领域中傅里叶基向量也称为合成向量因为它们可以用来“合成”向量 x \boldsymbol{x} x其权重由傅里叶基中的坐标提供即 x y 0 ϕ 0 y 1 ϕ 1 ⋯ y N − 1 ϕ N − 1 . \boldsymbol{x}y_0 \phi_0y_1 \phi_1\cdotsy_{N-1} \phi_{N-1} \text {. } xy0ϕ0y1ϕ1⋯yN−1ϕN−1. 此方程也称为合成方程。
Python离散傅里叶变换计算并绘制振幅谱
离散傅里叶变换可以将均匀间隔的信号序列变换为需要求和为时域信号的所有正弦波的频率信息。它定义为 X k ∑ n 0 N − 1 x n ⋅ e − i 2 π k n / N ∑ n 0 N − 1 x n [ cos ( 2 π k n / N ) − i ⋅ sin ( 2 π k n / N ) ] X_k\sum_{n0}^{N-1} x_n \cdot e^{-i 2 \pi k n / N}\sum_{n0}^{N-1} x_n[\cos (2 \pi k n / N)-i \cdot \sin (2 \pi k n / N)] Xkn0∑N−1xn⋅e−i2πkn/Nn0∑N−1xn[cos(2πkn/N)−i⋅sin(2πkn/N)] 让我们看看如何使用它。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npplt.style.use(seaborn-poster)
%matplotlib inline# sampling rate
sr 100
# sampling interval
ts 1.0/sr
t np.arange(0,1,ts)freq 1.
x 3*np.sin(2*np.pi*freq*t)freq 4
x np.sin(2*np.pi*freq*t)freq 7
x 0.5* np.sin(2*np.pi*freq*t)plt.figure(figsize (8, 6))
plt.plot(t, x, r)
plt.ylabel(Amplitude)plt.show()编写一个函数 FT(x)它接受一个参数x - 输入一维实值信号。该函数将计算信号的 DFT 并返回 DFT 值。将此函数应用于我们上面生成的信号并绘制结果。
def FT(x):N len(x)n np.arange(N)k n.reshape((N, 1))e np.exp(-2j * np.pi * k * n / N)X np.dot(e, x)return XX FT(x)N len(X)
n np.arange(N)
T N/sr
freq n/T plt.figure(figsize (8, 6))
plt.stem(freq, abs(X), b, \markerfmt , basefmt-b)
plt.xlabel(Freq (Hz))
plt.ylabel(Amplitude |X(freq)|)
plt.show()绘制 DFT 结果的前半部分我们可以看到频率为 1 Hz、4 Hz 和 7 Hz 的 3 个清晰峰值幅度为 3、1、0.5符合预期。 这就是我们如何使用离散傅里叶变换将任意信号分解为简单的正弦波来分析它。
数字图像小波分析
小波是具有与傅里叶基不同性质的函数基因此它们可以用来解决上述的一些缺点。 与傅立叶基相反小波基不是固定的存在多种此类基用于不同的应用。
Python线性代数傅里叶分析和动态系统模拟分析之一
参阅一计算思维
参阅二亚图跨际
