网站推广的基本方法对于大部分网站来说都是适用的,深圳华强北网站建设,排名好的手机网站建设,腾讯广告L#xff1a;一个群的例子#xff08;在下面的文章中进一步详细介绍#xff09;;R#xff1a;约瑟夫路易拉格朗日#xff08;1736-1813#xff09;#xff0c; 一、说明 数学家总是痴迷于根据乍一看似乎完全无关的事实/观察来形成概括。为什么#xff1f;原因很简单一个群的例子在下面的文章中进一步详细介绍;R约瑟夫·路易·拉格朗日1736-1813 一、说明 数学家总是痴迷于根据乍一看似乎完全无关的事实/观察来形成概括。为什么原因很简单如果我们知道相同的骨架是不同数学结构的基础那么我们就可以只详细研究一种结构并确信其他结构也会得到类似的结果。这不是节省了很多时间吗 在本文中我们将探讨这样一个结果——拉格朗日定理。该定理是数学最不可或缺的分支之一群论的初步结果。该定理最初由拉格朗日于 1770 年以非群论术语陈述。然而30 年后彼得罗·阿巴蒂 Pietro Abbati 提供了第一个完整的证据。 本文的结构如下 定义组。定义子组和余集。拉格朗日定理及其证明。闭幕词。 所有这些都将通过贯穿整篇文章的常见示例来说明。所以让我们开始吧 二、引出群概念 考虑一个集合 G以及一个二进制运算 – *。现在我们说 G * 如果满足以下所有条件则形成一个组—— 该操作在 G 中关闭。也就是说对于属于 G 的任意两个元素 a 和 ba * b 也属于 G。该操作是关联的。也就是说对于属于 G 的任意三个元素 a、b 和 c我们有a * b * c a * b * c。该操作在 G 中具有标识元素。该元素通常用 e来自德语中的统一词 Einheit表示并且具有以下属性e * a a * e a对于属于 G 的每个元素 a。对于 G 的每个元素 a都存在一个属于 G 的元素 a因此我们有a * a a * a e。 请注意运算 * 有时表示为“.”有时甚至根本没有记下。因此以下三个表达式代表同一件事—— a *ba.bab 现在让我们快速熟悉一个我们将在整个文章过程中使用的示例 2.1 加法模数 6 如果您不知道模的含义您会惊讶地发现您已经在一天中多次使用该操作每当你看时钟时你都在使用加法模 12或 24。例如您如何确定上午 10 点之后的 5 小时是下午 3 点而不是凌晨 15 点您可以通过四舍五入大约 12 来做到这一点。也就是说将 5 加到 10 得到 15然后查看它从 12 中得到的余数。 这种执行加法然后从固定数中取余数的操作称为模块化加法。固定数字用作上限柱数字盘回起点。在符号中我们将上面的例子表示为—— 10 5 模组 12 3 现在考虑集合 S {0 1 2 3 4 5} 以及加法模 6 的运算。那是– a * b a b mod 6 例如5 * 3 5 3 mod 6 8 mod 6 2 在表格形式中这可以表示为—— a b 模组 6.在这里a 是行元素而 b 是列元素。 读者可以很容易地验证上述结构是否满足一个组的所有标准因此确实是一个恒等式为 0逆数可从上表轻松获得。 此外它有助于考虑循环形式的模块化添加—— 参考上图我们需要做的就是将两个数字 a 和 b 相加——我们从 a 开始顺时针移动 b 单位我们降落的地方是 a b mod 6例如如果我们从 2 开始并顺时针方向移动 5 个单位我们将以 1 结束。这是因为 2 5 mod 6 1。 2.2 子群和子集 顾名思义子组是组的子集它本身就是一个组当然对于相同的操作。继续上面的例子我们看到我们组有四个子组—— H_1 {0}H_2 {0 3}H_3 {0 2 4}H_4 {0 1 2 3 4 5} 即 G 本身 在这里我们只对适当的子组不等于父组的子组感兴趣因此我们可以忽略H_4。此外H_1是微不足道的子组。这两个子组组本身和琐碎子组将始终存在于一个组中。H_2 和 H_3 是我们感兴趣的非平凡的、适当的子组。 在表格符号中我们有—— H_2 {0 3} H_3 {0 2 4} 请注意每个子组的标识保持不变 在循环表示法中这两个子组可以可视化为—— 两个非平凡的正确子组{0 3} 和 {0 2 4}。 coset的概念与一个子群相关联。为了探索它让我们继续使用示例中的特定子组 H_2 {0 3}。 为方便起见让我们采取—— G {0 1 2 3 4 5} H {0 3} 现在对于属于 G 的任何元素 a我们将相应的 coset aH 定义为 – aH {通过对 H 的元素进行操作 a 获得的所有元素的集合} 示例对于我们的子组 {0 3} — 对应于 4 的 coset 将是 – {4 0 mod 6 4 3 mod 6} {4 1}对应于 5 的 coset 是 — {5 0 mod 6 5 3 mod 6} {5 2} 三、拉格朗日定理 进入本文的正题我们现在提出并证明一个基本的群论结果这个结果早于分支本身当然这意味着它最初是用非群论术语陈述的。 对于任何有限群 GG 的任何子群中的元素数必须是 G 中元素数的因数。 继续我们的例子我们有—— G {0 1 2 3 4 5}H_1 {0}H_2 {0 3}H_3 {0 2 4}H_4 {0 1 2 3 4 5} 请注意组的大小是 6子组的大小是 1、2、3 和 6 – 所有因子都是 6 请注意拉格朗日定理限制了子群的可能大小。大小为 6 的组不能有大小为 4 的子组因为 4 不会除以 6。同样大小为 8 的组只能具有大小为 1、2、4 和 8 的子组。 现在让我们来证明这个定理吧但要做到这一点我们首先需要围绕 coset 建立更多的结果。 3.1 结果 1 a 属于 coset aH。 证据很简单。每个子群 H 都包含恒等式 e可以很容易地证明。因此相应的 coset 将包含元素 a * e a。 示例 — 继续 G 和 H {0 3}对应于 4 的 coset 是 {4 1}其中包含 4。 3.2 结果 2 aH 的大小与 H 相同。 显然aH 的大小不能大于 H。因此如果我们能证明对于属于 H 的任何两个不同元素 x、y、ax ≠ ay那么我们就完成了。这意味着 aH 没有重复因此大小与 H 相等。 这可以通过使用团体取消属性来轻松证明。因为如果 ax ay那么我们有—— aax aay这给出了 x y。 示例 — 对于 H {0 3}我们有 — Coset 对应于 4 {4 1}其大小等于 H。类似地对于对应于 5 的 coset{5 2} 的大小等于 H 的大小。 3.3 结果 3 与两种不同元素 aH 和 bH 相关的 Coset 要么是不相交的没有共同的元素要么彼此完全相等 这是一个相当了不起的结果让我们首先借助示例来理解它。 G {0 1 2 3 4 5} H {0 3} 对应于 H 的 Coset 是 — 0H {0 3}1H {1 4}2H {2 5}3H {3 0}4H {4 1}5H {5 2} 请注意没有两个具有部分相交的 coset——每对要么不相交要么完全相同 现在让我们去证明这一点。 设 a 和 b 是 G 的两个不同元素。然后可能有两种情况—— aH 和 bH 不相交。在这种情况下没有什么可证明的。aH 和 bH 至少有一个共同点。在这种情况下我们需要证明它们实际上是相同的也就是说具有所有共同点 为了证明上述情况设 z 是 aH 和 bH 之间的公共元素。然后我们必须让 x、y 属于 H使得 ax z by 1。 现在让 p 是属于 aH 的任何元素。那么一定有一些属于 H 的 w这样—— 因此 p 属于 bH因此任何属于 aH 的元素都属于 bH。按照与上述类似的思路我们可以很容易地证明 bH 的每个元素也属于 aH。结合在一起我们看到 aH 和 bH 是一回事因此证明。 最后我们可以证明拉格朗日定理了 3.4 拉格朗日定理的证明 考虑 coset aH bH cH ...其中 a b c ...是 G 的元素。现在由于 a 属于 aH结果 1b 属于 bHc 属于 cH ...因此如果我们取所有这些 coset 的并集那么它将包含 G 的所有元素。那是– G aH ∪ bH ∪ cH ∪ ... 继续我们的例子—— G {0 1 2 3 4 5} H {0 3} 使用对应于 {0 3} 的 coset我们有 — G {0 3} ∪ {1 4} ∪ {2 5} ∪ {3 0} ∪ {4 1} ∪ {5 2} 现在从上面的结果 3 中我们知道给定任何两个 coset它们只能以以下两种方式之一相关—— 它们要么彼此相同要么它们将完全脱节。 这使我们能够进行简化。由于在并集时多次出现同一集合是没有意义的因此我们只取一个并留下其余的。也就是说如果 pH qH rH比如说那么我们只需在上面的等式中只取其中一个省略其他的。 为了方便起见让我们假设 a、b、c、...现在已经取得 aH、bH、cH、...都是成对不相交的。换句话说我们现在已经从上面的表达式中删除了重复项。 G aH ∪ bH ∪ cH ∪...其中 aH bH cH ,...都是平分秋色的不相交 在我们的示例中我们看到以下三个 coset 各出现两次—— {0, 3}{1, 4}{2, 5} 因此只计算每次出现一次我们就有—— G {0 3} ∪ {1 4} ∪ {2 5} 现在双方的元素数量应该相等。那就是—— 尺寸G 尺寸 aH ∪ bH ∪ cH ∪ ... 由于右手边的所有集合都是成对不相交的我们有—— 尺寸G 尺寸 aH ∪ bH ∪ cH ∪ ...简化为 尺寸G 尺寸aH 尺寸bH 尺寸cH ... 但是请注意每个 coset 的大小等于 H 的大小结果 2因此我们有—— 尺寸G 尺寸H 尺寸H 尺寸H ...或 尺寸G k.尺寸H 其中 k 是上式中存在的不同 coset 的数量。 我们有了它通俗地说上面的等式说 H 的元素数是 G 的元素数的一个因数。这就是我们要证明的 最后以我们的例子来结束—— 四、后记 上述定理完美地结合了数学直觉和严谨性。虽然这个定理本身是凭直觉出现在我们的脑海中的但证明是非常严谨的在此过程中引入了 coset 的新想法。 在他杰出的著作《数学家的道歉》中GH Hardy描述了两个参数他认为这两个参数将伟大的证明/结果与普通的证明/结果区分开来—— 一般性证明的一般性。涉及许多特殊起始条件的证明或诸如ifelsebut...在这个指标下表现不佳。深度对于特定数学分支而言证明的初级或基本程度。 拉格朗日定理在上述两个标准中得分很高。
