做网络私活的网站,企业建设网站目的,徐汇品牌网站建设,阿里企业邮箱免费申请入口1. 行列式
符号标识 d e t A ∣ A ∣ det A |A| detA∣A∣
1.1 基本性质
性质 1 1 1 单位矩阵的行列式为1#xff1a; d e t I 1 det\ I1 det I1性质 2 2 2 行列式两行交换#xff0c;行列式取反。 A ⟶ s w a p r o w i , r o w j A ′ d e t A ′ − d e t A A\st…1. 行列式
符号标识 d e t A ∣ A ∣ det A |A| detA∣A∣
1.1 基本性质
性质 1 1 1 单位矩阵的行列式为1 d e t I 1 det\ I1 det I1性质 2 2 2 行列式两行交换行列式取反。 A ⟶ s w a p r o w i , r o w j A ′ d e t A ′ − d e t A A\stackrel{swap\ row_i,row_j}\longrightarrow A\\ det A -detA A⟶swap rowi,rowjA′detA′−detA性质 3 3 3 3a: 将行列式某一行乘倍数后行列等于变换前行列式值乘相应倍数 d e t [ t a t b c d ] t × d e t [ a b c d ] det \begin{bmatrix} t a tb\\ c d \end{bmatrix} t \times det \begin{bmatrix} a b\\ c d \end{bmatrix} det[tactbd]t×det[acbd] 3b: 对于行列式来说可以对某行进行分解展开 d e t [ a a ′ b b ′ c d ] d e t [ a b c d ] d e t [ a ′ b ′ c d ] det \begin{bmatrix} a a b b\\ c d \end{bmatrix} det \begin{bmatrix} a b\\ c d \end{bmatrix} det\begin{bmatrix} a b\\ c d \end{bmatrix} det[aa′cbb′d]det[acbd]det[a′cb′d]
1.2 推导性质 性质 4 4 4 行列式两行相等行列式为0 d e t A ( m , n ) 0 i f r o w i r o w j ∧ i ≠ j det\ A(m,n) 0\quad if\ row_irow_j \wedge i \ne j det A(m,n)0if rowirowj∧ij 根据性质2交换这两行符号相反还相等则行列式值为0。 性质 5 5 5 行列式的某行减去其他行的任意倍数行列式值不变。 A [ r 1 r 2 . . . r n ] A ′ [ r 1 r 2 k r j . . . r n ] d e t A ′ A A \begin{bmatrix} r_1\\r_2\\...\\r_n \end{bmatrix}\\ A \begin{bmatrix} r_1\\r_2kr_j\\...\\r_n \end{bmatrix}\\ det\ AA A r1r2...rn A′ r1r2krj...rn det A′A 根据性质 3 b 3b 3b A ′ A A′一定可以化为原行列式值和其他的值为0的行列式。 d e t A ′ d e t A k d e t 0 d e t A det\ Adet\ Ak\ det\ 0 det\ A det A′det Ak det 0det A 性质6 行列式一行全为0行列式值为0。 A [ r 1 r 2 0 j . . . r n ] d e t A 0 A \begin{bmatrix} r_1\\r_2\\0_j\\...\\r_n \end{bmatrix}\\ det\ A0 A r1r20j...rn det A0 证法一 把乘数作用于全 0 0 0所在行再运用性质 3 a 3a 3a A 5 A d e t A 5 d e t A d e t A 0 A5A\\ det\ A5\ detA\\ det\ A 0 A5Adet A5 detAdet A0 证法二 将原矩阵 0 0 0行所有元素填充任意非零数字对该行乘 0 0 0倍数再运用性质 3 a 3a 3a d e t A 0 d e t A ′ d e t A 0 det\ A0det\ A\\ det\ A 0 det A0det A′det A0 证法三 将零行加上任意非0行运用性质 4 4 4 性质 7 7 7 上三角矩阵与下三角矩阵行列式子值为对角线元素的乘机 A [ d 1 x x x x 0 d 2 x x x 0 0 d 3 x x 0 0 0 d 4 x 0 0 0 0 d 5 ] d e t A d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ∏ i 1 n d i A \begin{bmatrix} d1 x x x x\\ 0 d2 x x x\\ 0 0 d3 x x\\ 0 0 0 d4 x\\ 0 0 0 0 d5\\ \end{bmatrix}\\ det\ Ad1d2d3d4d5\prod_{i1}^{n}d_i A d10000xd2000xxd300xxxd40xxxxd5 det Ad1d2d3d4d5i1∏ndi 证明 可以先从单位矩阵开始 d e t I 1 det\ I 1\\ det I1 将对角线上元素乘对应的数值得到 A ′ [ d 1 0 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 0 d 3 0 0 0 0 0 d 4 0 0 0 0 0 d 5 ] d e t A ′ ∏ i 1 n d i × d e t I ∏ i 1 n d i A \begin{bmatrix} d1 0 0 0 0\\ 0 d2 0 0 0\\ 0 0 d3 0 0\\ 0 0 0 d4 0\\ 0 0 0 0 d5\\ \end{bmatrix}\\ det\ A\prod_{i1}^{n}d_i \times det\ I\prod_{i1}^{n}d_i A′ d100000d200000d300000d400000d5 det A′i1∏ndi×det Ii1∏ndi 我们观察行列式 A ′ A A′第一行剩余列可以加上任意值且行列式值不改变(性质 5 5 5)。 以相同的方式考虑行列式 A ′ A A′对角线右边其他元素。 所以上三角矩阵的行列式值都相等。 性质 8 8 8 行列式为 0 ⟺ 0\iff 0⟺矩阵 A A A为奇异矩阵。 说明少了主元对角线上的值有 0 0 0。 性质 9 9 9 两个方阵相乘的行列式值与两个方阵行列式值相乘相等。 d e t A B ( d e t A ) ( d e t B ) det\ AB(det\ A)(det\ B) det AB(det A)(det B) 可用来检验性质 8 8 8 d e t A A − 1 d e t I 1 det\ AA^{-1}det\ I1 det AA−1det I1 d e t A − 1 1 / d e t A detA^{-1}1/det\ A detA−11/det A 方阵可逆方阵行列式值非0,方阵满秩。 d e t A 2 ( d e t A ) 2 detA^{2}(det\ A)^2 detA2(det A)2 证明 可以在不改变行列式值得情况下将任一行列式化作只剩对角线其他为 0 0 0的形式。 即 A d B d 为主对角形式 d e t A d e t A d d e t B d e t B d d e t A B d e t A d B d 矩阵 A d B d 元素也只剩对角线且为 A d B d 对应位置乘积 证明完毕 A_d\ B_d为主对角形式\\ det\ Adet\ A_d\\ det\ Bdet\ B_d\\ det\ ABdet\ A_dB_d\\ 矩阵A_dB_d元素也只剩对角线且为A_dB_d对应位置乘积\\ 证明完毕 Ad Bd为主对角形式det Adet Addet Bdet Bddet ABdet AdBd矩阵AdBd元素也只剩对角线且为AdBd对应位置乘积证明完毕 性质 10 10 10 方阵的逆行列式值与原方阵行列式值相等 d e t A ⊤ d e t A det\ A^{\top} det\ A det A⊤det A 证明 方阵一定可以化为 L U LU LU的形式 A L U ALU ALU A ⊤ ( L U ) ⊤ U ⊤ L ⊤ A^{\top}(LU)^{\top}U^{\top}L^{\top} A⊤(LU)⊤U⊤L⊤ d e t A d e t ( L U ) d e t L d e t U d e t A ⊤ d e t ( U ⊤ L ⊤ ) d e t L ⊤ d e t U ⊤ d e t L d e t L ⊤ d e t U d e t U ⊤ d e t A d e t A ⊤ det\ Adet\ (LU)det\ L\ det\ U\\ det\ A^{\top}det(U^{\top}L^{\top})det\ L^{\top}det\ U^{\top}\\ det\ Ldet\ L^{\top}\ \\det\ Udet\ U^{\top}\\ det\ A det\ A^{\top} det Adet (LU)det L det Udet A⊤det(U⊤L⊤)det L⊤det U⊤det Ldet L⊤ det Udet U⊤det Adet A⊤
