烟台企业自助建站系统,浙江网站seo,学校网站建设通知,wordpress超级编辑器2 解线性方程组 1 Ax b的列图像实质是A的列向量有各种线性组合#xff0c;b为其中的一种组合结果。 2 Ax b可以写为Axx1a1...xnanbAx x_1a_1...x_na_n bAxx1a1...xnanb#xff0c;其中a1,a2...ana_1,a_2...a_na1,a2...an为A中的列向量。 3 当Ax 0时#…2 解线性方程组 1 Ax b的列图像实质是A的列向量有各种线性组合b为其中的一种组合结果。 2 Ax b可以写为Axx1a1...xnanbAx x_1a_1...x_na_n bAxx1a1...xnanb其中a1,a2...ana_1,a_2...a_na1,a2...an为A中的列向量。 3 当Ax 0时x有一个取值方式为0向量。 4 若A中有三条列向量任意一条向量可以由另外两条向量所表示时我们说该矩阵为奇异矩阵。 5 列图像可以用于解决矩阵乘法 在这一讲中我们着重要谈论的是关于解方程组的问题。我们先来看下面这样一组等式。 两个方程两个未知数 2x−y0−x2y32x-y 0\\ -x2y 3 2x−y0−x2y3 我们想要解这个方程组如果按照高中学过的知识我们会将其直接消元或变量代换解出其方程。
通过简单的计算我们很容易得到问题的解x 1,y 2。
实际上我们可以用矩阵的形式来表示上面的方程组。如我们把方程组中未知数的系数全部提取然后用一个中括号括起就可以得到一个系数矩阵。 [2−1−12]\left[\begin{array}{cc} 2 -1 \\ -1 2 \end{array}\right] [2−1−12] 故我们实际上可以把上面的方程组表示为 [2−1−12][xy][03]\left[\begin{array}{cc} 2 -1 \\ -1 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ 3 \end{array}\right] [2−1−12][xy][03] 我们可以将上面的形式进一步简化看做是Ax b。
2.1 行图像
行图像(row picture)为行视角下的图像。我们把一条方程看做一条直线那么在二维直角坐标系中我们可以轻松地画出方程组的图像。 我们可以很快画出以上的图像这是一个学生应有的基本素养。 从图像上我们可以看到对于两方程来说其解即为行视角下两条直线的交点即(1,2)为两方程的解。
2.2 列图像
让我们以列图像(column picture)的方式思考一次。
我们可以将上述的方程按照列向量的形式来写出。 x[2−1]y[−12][03]x\left[\begin{array}{cc} 2 \\-1 \end{array}\right]y\left[\begin{array}{cc} -1 \\2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\3 \end{array}\right] x[2−1]y[−12][03] 从上面的形式来看不难看出我们把解方程的问题转为求合适的x、y使得上述线性组合满足等式。上面的形式我们也能很简单地看出解我们只需要取一份的列向量1和两份的列向量2即可构造出b。
让我们试着以向量的形式将上述的列视角观点画于图像之中。 从图像上看也能验证我们上述的观点。 我们不妨想象。在列图像中如果col1和col2分别为A中的两条列向量且它们不共线那么对于整个平面直角坐标系上的任意一条向量都可以用col1和col2表示。
换而言之对于x[2−1]y[−12]x\left[\begin{array}{cc} 2 \\-1 \end{array}\right]y\left[\begin{array}{cc} -1 \\2 \end{array}\right]x[2−1]y[−12]来说由于xy可任取故对于平面直角坐标系来说任何一条向量都可以由这两条列向量的线性组合表示。 2.3 三维情况
我们不妨将上述的二维情况推至三维。 三个方程三个未知数 x2y3z62x5y2z46x−3yz2x2y3z 6\\ 2x5y2z 4\\ 6x-3yz 2 x2y3z62x5y2z46x−3yz2 xyz三个未知数可以是不存在的但是对于本例来说它是存在的。
同样地我们可以将画出上面的行图像。 从图像上不难看出我们在高维度时最好不要往行视角的方向考虑因为行图像很难画。 我们不妨从列视角的角度去考虑上面的方程组。 x[126]y[25−3]z[321][642]x\left[\begin{array}{cc} 1 \\2\\6 \end{array}\right]y\left[\begin{array}{cc} 2 \\5\\-3 \end{array}\right]z\left[\begin{array}{cc} 3\\2\\1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 6\\4\\2 \end{array}\right] x⎣⎡126⎦⎤y⎣⎡25−3⎦⎤z⎣⎡321⎦⎤⎣⎡642⎦⎤ 同样地我们在列图像上画出上面的列向量。 通过计算我们可以知道(x,y,z) (0,0,2)。
2.4 奇异
我们来思考这样一个问题当处于三维情况时我们有Ax b。那么对于任意的b是否都能求解Ax b
或许我们可以换种问法对于上述列向量的线性组合是否能覆盖着整个线性空间。
答案明显是否定的假如有三条列向量col1,col2,col3。且三条向量均处于同一个平面此时对于Ax来说无论如何组合其得出的新向量都只会在三条列向量所处的平面中而不会逃离平面。我们把这种情况称为奇异而把Ax对应的系数矩阵A称为奇异矩阵。
奇异矩阵的研究有多种特殊情况故在最开始时我们先暂时不关注奇异问题。
2.5 等式的矩阵形式
我们前面谈论过方程组可以写为矩阵形式。 [2−1−12][xy][03]\left[\begin{array}{cc} 2 -1 \\ -1 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ 3 \end{array}\right] [2−1−12][xy][03] 那么请问这个矩阵怎么做乘法呢
在后面的章节中我们会提供多种方法供矩阵相乘现在让我们先用几个老方法来解决这个问题。
2.5.1 点积
我们可以采取点积的形式来完成矩阵的乘法演示如下 [2513][12][2×15×21×13×2][127]\left[\begin{array}{cc} 2 5 \\ 1 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 \\ 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 2×15×2 \\ 1×13×2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 12\\7 \end{array}\right] [2153][12][2×15×21×13×2][127]
2.5.2 转换为列图像处理
我们可以可以把矩阵相乘用列视角的观点来看待演示如下。 [2513][12]1[21]2[53][21][106][127]\left[\begin{array}{cc} 2 5 \\ 1 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 \\ 2 \end{array}\right] 1\left[\begin{array}{cc} 2\\1 \end{array}\right]2 \left[\begin{array}{cc} 5 \\ 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 2 \\ 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 10 \\ 6 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 12 \\ 7 \end{array}\right] [2153][12]1[21]2[53][21][106][127] 这种方式简洁而且计算不复杂相对于传统点积形式我们更应该学会第二种方式来解决矩阵的乘法问题。
