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回溯算法#xff08;Backtracking Algorithm#xff09;是一种用于解决组合优化问题的算法#xff0c;它通过逐步构建候选解并进行验证#xff0c;以寻找所有满足特定条件的解。回溯算法通常应用于在给定约束条件下枚举所有可能解的问题#xff0c;如…一 什么是回溯算法
回溯算法Backtracking Algorithm是一种用于解决组合优化问题的算法它通过逐步构建候选解并进行验证以寻找所有满足特定条件的解。回溯算法通常应用于在给定约束条件下枚举所有可能解的问题如组合、排列、子集等。
回溯算法的基本思想是通过递归的方式进行搜索每一步都尝试扩展当前的解直到找到满足条件的解或者确定无解。在搜索的过程中如果当前的解不满足约束条件就会回溯到上一步进行其他选择继续搜索。
回溯算法的一般步骤如下
定义问题的解空间确定问题的约束条件。通过递归的方式搜索解空间每一步都进行选择并进行约束条件的检查。如果当前的选择满足约束条件则继续递归地进行下一步选择。如果当前的选择不满足约束条件进行回溯撤销当前选择返回上一步继续搜索其他选择。当搜索完成后得到所有满足条件的解。
回溯算法的时间复杂度通常较高因为它需要枚举所有可能的解。在某些情况下可以通过剪枝等优化策略来减少搜索空间提高算法效率。
回溯算法在很多问题中都有应用例如八皇后问题、0-1背包问题、图的遍历等。它是一种非常经典和常用的算法思想对于解决组合优化问题具有重要的作用。 通常解该类题目时我们要确定解的空间从而很好的利用回溯算法来解决该类题目。 二 何为解空间 解空间Solution Space是指在给定问题的约束条件下所有可能的解的集合。它包含了问题的所有合法解。 解空间的具体形式取决于问题的性质和约束条件。对于某些问题解空间可能是一个有限的集合例如在数独游戏中解空间是由符合数独规则的所有数字填充方案组成的集合。而对于其他问题解空间可能是一个无限的集合例如在连续优化问题中解空间是由实数构成的无限维空间。 解空间是问题求解的关键概念之一。在解决问题时我们通常需要在解空间中搜索满足特定条件的解。回溯算法、枚举法、剪枝算法等求解方法都是基于对解空间的搜索。 解空间的大小直接影响了问题的复杂性和求解算法的效率。如果解空间非常大问题的求解可能会非常困难需要耗费更多的时间和资源。因此在实际应用中优化算法常常通过剪枝、启发式搜索等技术来减小解空间的规模以提高求解效率。
总之解空间是问题求解中描述所有可能解的概念通过搜索解空间我们可以找到满足问题要求的解或者找到最优解。 对于大多数该类问题的解空间都是树的形式集合的大小构成了树的宽度递归的深度构成的树的深度。 三 回溯算法的模板
下面是回溯算法的一般模板
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择本层集合中元素树中节点孩子的数量就是集合的大小) {//横向遍历处理节点;//这里一般可能进行剪枝操作backtracking(路径选择列表); // 递归纵向遍历回溯撤销处理结果}
}
这是一个基本的回溯算法模板其中的关键点包括 定义终止条件当满足终止条件时表示找到了一个解或者不再需要继续搜索可以进行相应的操作如输出结果或返回。 遍历选择列表遍历所有可能的选择通常使用循环结构对于每个选择进行相应的操作。 做出选择根据当前选择更新状态或路径表示对问题的一次选择。 递归进入下一层决策树根据当前选择进入下一层决策树即进行下一步的选择。 撤销选择在回溯到上一层之前需要撤销当前选择恢复状态或路径以便进行下一个选择。
在实际应用中根据具体问题的不同模板中的代码需要进行相应的修改和扩展以适应问题的特点和约束条件。同时通过剪枝、优化等技巧可以对模板进行改进提高算法的效率。
需要注意的是回溯算法是一种暴力搜索的方法解空间的规模很大时可能会导致算法效率低下。因此在使用回溯算法时需要根据问题的规模和特点进行合理的优化和剪枝以提高算法的性能。 四 回溯算法例题之N皇后问题 按照国际象棋的规则皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上并且使皇后彼此之间不能相互攻击。 给你一个整数 n 返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案该方案中 Q 和 . 分别代表了皇后和空位。 4*4的棋盘摆放结果如下 解题思路 定义一个 N × N 的棋盘使用一个二维数组或其他数据结构表示。初始化棋盘的所有位置为空。 从第一行开始逐行放置皇后。对于每一行遍历该行的每一个位置尝试将皇后放置在当前位置。 在放置皇后之前检查是否满足以下条件 当前位置的同一列没有其他皇后。当前位置的左上方和右上方对角线没有其他皇后。 如果满足上述条件将皇后放置在当前位置并将该位置标记为已占用。 继续递归地处理下一行重复步骤 3 和步骤 4。 如果已经放置了 N 个皇后表示找到了一个可行解将该解保存起来。 回溯到上一步撤销对当前位置的选择继续尝试下一个位置。 当所有的位置都尝试完毕或者已经找到了所有的可行解时算法结束。 返回所有的可行解。 我们先以3*3的棋盘来看它的解空间如图所示
不难看出解空间对应的是树的结构我们可以套用模板进行解决
void Backtrack(char bord[][N],int n,int row){if(rown){//递归出口print(bord,n);//如果满足直接打印结果count;//用来记录解的数量printf(\n);return ;}else{for(int colum0;column;colum){//横向遍历if(isselect(bord,row,colum,n)){//如果满足放置条件bord[row][colum] Q;Backtrack(bord,n,row1);//进行递归选择下一行的格子bord[row][colum] *;//回溯}}}
} 【完整代码】
#include stdio.h
#include stdbool.h
#define N 100int count0;
void print(char bord[][N],int n){for(int i0;in;i){for(int j0;jn;j){if(bord[i][j] Q){printf( Q);}else{printf( *);} }printf(\n);}
}bool isselect(char bord[][N], int row, int colum,int n) {for(int j0;jrow;j){//判断列if(bord[j][colum]Q){return false;}}for(int irow,jcolum;i0j0;i--,j--){//判断左上角if(bord[i][j]Q){return false;}}for(int irow,jcolum;i0jn;i--,j){//判断右上角if(bord[i][j]Q){return false;}}return true;}void Backtrack(char bord[][N],int n,int row){if(rown){print(bord,n);count;printf(\n);return ;}else{for(int colum0;column;colum){if(isselect(bord,row,colum,n)){bord[row][colum] Q;Backtrack(bord,n,row1);bord[row][colum] *;}}}
}int main()
{int n;printf(请输入皇后个数\n);scanf(%d,n);char bord[N][N]{*};printf(皇后摆放形式如下\n);Backtrack(bord,n,0);printf(%d后问题共有%d种摆放方案 ,n,count);return 0;
}
【运行效果】 部分资料参考代码随想录
