湛江百度网站快速排名,秦皇岛住房建设网站,网络信息公司是做什么的,广西网站建设-好发信息网今天看了《计算机程序设计艺术卷1》的部分内容。也希望更深入了解一下数学归纳法。所以将网页基本算重新写了一遍#xff0c;写下证明过程。
理论Theorem 1311312335233533791133791143131517194313151719… 总的来说#xff1a; ∀n∈N0,n3∑ni1(n2−n2∗i−1)(n2−n…今天看了《计算机程序设计艺术卷1》的部分内容。也希望更深入了解一下数学归纳法。所以将网页基本算重新写了一遍写下证明过程。
理论Theorem
1311311^3=1 233523352^3=3+5 3379113379113^3=7+9+11 431315171943131517194^3=13+15+17+19 … 总的来说 ∀n∈N0,n3∑ni1(n2−n2∗i−1)(n2−n1)(n2−n3)...(n2−n2∗n−1))∀n∈N0,n3∑i1n(n2−n2∗i−1)(n2−n1)(n2−n3)...(n2−n2∗n−1))\forall n \in N_{>0},n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)=(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+...+(n^2-n+2*n-1)) 特别说明(n1)3(n1)3(n+1)^3的第一项比n3n3n^3的最后一项大2。
归纳法证明
∀n∈N0,假设P(n)是n3∑ni1(n2−n2∗i−1)∀n∈N0,假设P(n)是n3∑i1n(n2−n2∗i−1)\forall n \in N_{>0},假设P(n)是 n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)
归纳法基准
P(1)成立P(1)成立P(1)成立因为 1311311^3=1成立。
归纳法假设
假设P(k)P(k)P(k)为真∀k1∀k1\forall k >=1。也就是说k3(k2−k1)(k2−k3)...(k2−k2k−1)k3(k2−k1)(k2−k3)...(k2−k2k−1)k^3=(k^2-k+1)+(k^2-k+3)+...+(k^2-k+2k-1) 我们需要证明(k1)3[(k1)2−(k1)1][(k1)2−(k1)3]...[(k1)2−(k1)2(k1)−1](k1)3[(k1)2−(k1)1][(k1)2−(k1)3]...[(k1)2−(k1)2(k1)−1](k+1)^3=[(k+1)^2-(k+1)+1]+[(k+1)^2-(k+1)+3]+...+[(k+1)^2-(k+1)+2(k+1)-1]
证明步骤
因为(k1)2−(k1)jk2−kj2k(k1)2−(k1)jk2−kj2k(k+1)^2-(k+1)+j=k^2-k+j+2k所以P(k1)P(k1)P(k+1)的前k项与P(k)P(k)P(k)相比多出2k。 令Tk(k2−k1)(k2−k3)...(k2−k2k−1)Tk(k2−k1)(k2−k3)...(k2−k2k−1)T_k=(k^2-k+1)+(k^2-k+3)+...+(k^2-k+2k-1)
T(k1)[(k1)2−(k1)1][(k1)2−(k1)3]...[(k1)2−(k1)2(k1)−1]T(k)k(2k)[(k1)2−(k1)2(k1)−1]k32k2k22k1k1−1k33k23k1(k1)3T(k1)[(k1)2−(k1)1][(k1)2−(k1)3]...[(k1)2−(k1)2(k1)−1]T(k)k(2k)[(k1)2−(k1)2(k1)−1]k32k2k22k1k1−1k33k23k1(k1)3T(k+1)=[(k+1)^2-(k+1)+1]+[(k+1)^2-(k+1)+3]+...+[(k+1)^2-(k+1)+2(k+1)-1] \\ =T(k)+k(2k)+[(k+1)^2-(k+1)+2(k+1)-1] \\=k^3+2k^2+k^2+2k+1+k+1-1\\=k^3+3k^2+3k+1\\=(k+1)^3 推出在P(k)成立的前提下P(k1)成立。 所以 ∀n∈N0,n3∑ni1(n2−n2∗i−1)(n22−n1)(n2−n3)...(n2−n2∗n−1))∀n∈N0,n3∑i1n(n2−n2∗i−1)(n22−n1)(n2−n3)...(n2−n2∗n−1))\forall n \in N_{>0},n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)=(n^22-n+1)+(n^2-n+3)+...+(n^2-n+2*n-1))
从定义证明
∀n∈N0,n3∑ni1(n2−n2∗i−1)(n2−n1)(n2−n3)...(n2−n2∗n−1))∀n∈N0,n3∑i1n(n2−n2∗i−1)(n2−n1)(n2−n3)...(n2−n2∗n−1))\forall n \in N_{>0},n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)=(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+...+(n^2-n+2*n-1))
∑ni1(n2−n2∗i−1)n3−n2∑ni1(2∗i−1)n3−n2n2n3∑i1n(n2−n2∗i−1)n3−n2∑i1n(2∗i−1)n3−n2n2n3\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)\\=n^3-n^2+\sum^n_{i=1}(2*i-1)\\=n^3-n^2+n^2\\=n^3
