项目定制开发网站,渠道网络大厦,京东电子商务网站建设目的,招标网址网站大全八、矩阵的基础概念
1.矩阵
我们忘掉之前行列式的一切#xff0c;列一种全新的数表#xff0c;虽然长得很像#xff0c;但是大不相同#xff0c;首先一个区别就是矩阵不能展开成一个值#xff0c;这里不讨论矩阵的空间意义 { a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 . . . a 1…八、矩阵的基础概念
1.矩阵
我们忘掉之前行列式的一切列一种全新的数表虽然长得很像但是大不相同首先一个区别就是矩阵不能展开成一个值这里不讨论矩阵的空间意义 { a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 . . . a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 . . . a 2 n x n b 2 . . . a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 . . . a n n x n b n \begin{cases} a_{11}x_1 a_{12}x_2a_{13}x_3 ... a_{1n}x_n b_1 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2a_{23}x_3 ... a_{2n}x_n b_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1 a_{n2}x_2a_{n3}x_3 ... a_{nn}x_n b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2a13x3...a1nxnb1a21x1a22x2a23x3...a2nxnb2...an1x1an2x2an3x3...annxnbn
2.实矩阵、复矩阵
如果矩阵里全是实数则是实矩阵而元素是复数是复矩阵
3.矩阵相等
行数列数相同所有元素一一对应相等记作 A B AB AB
4.零矩阵
所有元素全为0记作 O m ∗ n 或 O O_{m*n} 或O Om∗n或O
5.负矩阵 对于 A m ∗ n 它的负矩阵是 − A , 相当于矩阵内每个元素乘 ( − 1 ) 对于A_{m*n}它的负矩阵是 -A ,相当于矩阵内每个元素乘(-1) 对于Am∗n它的负矩阵是−A,相当于矩阵内每个元素乘(−1) A 3 ∗ 3 ( a 0 0 0 a 0 0 0 a ) A_{3*3} \begin{pmatrix} a 00\\ 0 a0\\ 00a\\ \end{pmatrix} A3∗3 a000a000a − A 3 ∗ 3 ( − a 0 0 0 − a 0 0 0 − a ) -A_{3*3} \begin{pmatrix} -a 00\\ 0 -a0\\ 00-a\\ \end{pmatrix} −A3∗3 −a000−a000−a
6.n阶方阵
矩阵不一定是方的但是如果是方的就叫方阵行数或者列数就是阶数
7.三角矩阵对角矩阵
要求是方阵 上三角下三角矩阵与上三角下三角行列式定义相同可以类比 对角矩阵也与行列式相同 A 3 ∗ 3 ( a b b 0 a b 0 0 a ) A_{3*3} \begin{pmatrix} a bb\\ 0 ab\\ 00a\\ \end{pmatrix} A3∗3 a00ba0bba
8.数量矩阵
前提是对角矩阵 主对角线全等于同一个常数a A 3 ∗ 3 ( a 0 0 0 a 0 0 0 a ) A_{3*3} \begin{pmatrix} a 00\\ 0 a0\\ 00a\\ \end{pmatrix} A3∗3 a000a000a
9.n阶单位矩阵
主对角线值全为1的矩阵 A 3 ∗ 3 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) A_{3*3} \begin{pmatrix} 1 00\\ 0 10\\ 001\\ \end{pmatrix} A3∗3 100010001
10.行矩阵、列矩阵
只有一行或者一列的矩阵 也可以叫行向量列向量
九、矩阵的线性运算
矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算
1.矩阵加法
A_{3*3} \begin{pmatrix} a_{11} a_{12}a_{13}\ a_{21} a_{22}a_{23}\ a_{31} a_{32}a_{33}\ \end{pmatrix}
B_{3*3} \begin{pmatrix} b_{11} b_{12}b_{13}\ b_{21} b_{22}b_{23}\ b_{31} b_{32}b_{33}\ \end{pmatrix}
A_{33} B_{33} \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} a_{12}b_{12}a_{13}b_{13}\ a_{21}b_{21} a_{22}b_{22}a_{23}b_{23}\ a_{31}b_{31} a_{32}b_{32}a_{33}b_{33}\ \end{pmatrix}
2.交换率 A B B A A B B A ABBA
3.结合率 A B C A B C ABC ABC ABCABC
4.特殊运算 A O A A ( − A ) O A O A\\ A (-A) O AOAA(−A)O
5.数量乘法 A m ∗ n ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . . . . a n n ) A_{m*n} \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13}...a_{1n}\\ a_{21} a_{22}a_{23}...a_{2n}\\ ...............\\ a_{n1}a_{n2}......a_{nn}\\ \end{pmatrix} Am∗n a11a21...an1a12a22...an2a13a23..................a1na2n...ann λ ∗ A m ∗ n ( λ a 11 λ a 12 . . . λ a 1 n λ a 21 λ a 22 . . . λ a 2 n . . . . . . . . . . . . λ a n 1 λ a n 2 . . . λ a n n ) \lambda *A_{m*n} \begin{pmatrix} \lambda a_{11} \lambda a_{12} ... \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} \lambda a_{22}... \lambda a_{2n}\\ ............\\ \lambda a_{n1} \lambda a_{n2}... \lambda a_{nn}\\ \end{pmatrix} λ∗Am∗n λa11λa21...λan1λa12λa22...λan2............λa1nλa2n...λann
十、矩阵的乘法
对于每个矩阵乘法一定有以下规则 A i ∗ k ∗ B k ∗ j C i ∗ j A{i*k} * B{k * j} C{i*j} Ai∗k∗Bk∗jCi∗j 矩阵乘法的前提是A矩阵的列数必须等于B的行数得到新矩阵的行数为A的行数列数为B的列数。
1.现实记忆法(多存在于国内教材) 把A矩阵的四个行比作四个班级每一行分别是对三种产品的需求数量 而B矩阵的每一列他们认为是不同的商家列中的元素正好是价格 A 4 ∗ 3 ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 ) ( 每行存储的是每个班级对几种产品的需求数量 ) A_{4*3} \begin{pmatrix} a_{11} a_{12}a_{13}\\ a_{21} a_{22}a_{23}\\ a_{31} a_{32}a_{33}\\ a_{41} a_{42}a_{43}\\ \end{pmatrix} (每行存储的是每个班级对几种产品的需求数量) A4∗3 a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43 (每行存储的是每个班级对几种产品的需求数量) B 3 ∗ 2 ( b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 ) ( 每列存储的是每个商家几种产品的价格 ) B_{3*2} \begin{pmatrix} b_{11} b_{12}\\ b_{21} b_{22}\\ b_{31} b_{32}\\ \end{pmatrix} (每列存储的是每个商家几种产品的价格) B3∗2 b11b21b31b12b22b32 (每列存储的是每个商家几种产品的价格) C 4 ∗ 2 A 4 ∗ 3 ∗ B 3 ∗ 2 ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 ) ∗ ( b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 ) C_{4*2} A_{4*3} * B_{3*2} \begin{pmatrix} a_{11} a_{12}a_{13}\\ a_{21} a_{22}a_{23}\\ a_{31} a_{32}a_{33}\\ a_{41} a_{42}a_{43}\\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_{11} b_{12}\\ b_{21} b_{22}\\ b_{31} b_{32}\\ \end{pmatrix} C4∗2A4∗3∗B3∗2 a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43 ∗ b11b21b31b12b22b32 得到的是一个每个班级在每个商家购买完所需商品的总花销表 C 4 ∗ 2 ( a 11 ∗ b 11 a 12 ∗ b 21 a 13 ∗ b 31 a 11 ∗ b 12 a 12 ∗ b 22 a 13 ∗ b 32 a 21 ∗ b 11 a 22 ∗ b 21 a 23 ∗ b 31 a 21 ∗ b 12 a 22 ∗ b 22 a 23 ∗ b 32 a 31 ∗ b 11 a 32 ∗ b 21 a 33 ∗ b 31 a 31 ∗ b 12 a 32 ∗ b 22 a 33 ∗ b 32 a 41 ∗ b 11 a 42 ∗ b 21 a 43 ∗ b 31 a 41 ∗ b 12 a 42 ∗ b 22 a 43 ∗ b 32 ) C_{4*2} \begin{pmatrix} a_{11}*b_{11}a_{12}*b_{21} a_{13}*b_{31} a_{11}*b_{12}a_{12}*b_{22} a_{13}*b_{32}\\ a_{21}*b_{11}a_{22}*b_{21} a_{23}*b_{31} a_{21}*b_{12}a_{22}*b_{22} a_{23}*b_{32} \\ a_{31}*b_{11}a_{32}*b_{21} a_{33}*b_{31} a_{31}*b_{12}a_{32}*b_{22} a_{33}*b_{32}\\ a_{41}*b_{11}a_{42}*b_{21} a_{43}*b_{31} a_{41}*b_{12}a_{42}*b_{22} a_{43}*b_{32}\\ \end{pmatrix} C4∗2 a11∗b11a12∗b21a13∗b31a21∗b11a22∗b21a23∗b31a31∗b11a32∗b21a33∗b31a41∗b11a42∗b21a43∗b31a11∗b12a12∗b22a13∗b32a21∗b12a22∗b22a23∗b32a31∗b12a32∗b22a33∗b32a41∗b12a42∗b22a43∗b32
公式比较复杂相当于这个过程
A的第一行分别对应乘B的第一列写到C的第一列A的第二行分别对应乘B的第一列写到C的第一列A的第三行分别对应乘B的第一列写到C的第一列A的第四行分别对应乘B的第一列写到C的第一列 A的第一行分别对应乘B的第二列写到C的第二列A的第二行分别对应乘B的第二列写到C的第二列A的第三行分别对应乘B的第二列写到C的第二列A的第四行分别对应乘B的第二列写到C的第二列
1. 需要注意乘法的前提条件A的列数 B的行数 2. AB是A左乘B也可以是B右乘AAB与BA结果不同
2.另一种记忆方法
我们以更简单的矩阵举例 A 2 ∗ 2 ( 1 2 2 3 ) A_{2*2} \begin{pmatrix} 1 2\\ 2 3\\ \end{pmatrix} A2∗2(1223) B 2 ∗ 1 ( 1 2 ) B_{2*1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ \end{pmatrix} B2∗1(12)
很容易得出 C 2 ∗ 1 A 2 ∗ 2 ∗ B 2 ∗ 1 ( 1 ∗ 1 2 ∗ 2 2 ∗ 1 3 ∗ 2 ) ( 5 8 ) C_{2*1} A_{2*2} *B_{2*1}\begin{pmatrix} 1*12*2\\ 2*13*2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ 8\\ \end{pmatrix} C2∗1A2∗2∗B2∗1(1∗12∗22∗13∗2)(58) 可以理解为这样的一个操作A第一列*B第一行 A第二列 * B第二行 C 2 ∗ 1 A i 1 ∗ B 1 j A i 2 ∗ B 2 j C_{2*1} A_{i1}*B_{1j} A_{i2}* B_{2j} C2∗1Ai1∗B1jAi2∗B2j
我们拓展到更高阶的矩阵 A 3 ∗ 3 ( 1 2 3 2 3 4 1 4 6 ) A_{3*3} \begin{pmatrix} 1 23\\ 2 34\\ 1 46\\ \end{pmatrix} A3∗3 121234346 B 3 ∗ 2 ( 2 2 1 3 1 2 ) B_{3*2} \begin{pmatrix} 2 2\\ 1 3\\ 1 2\\ \end{pmatrix} B3∗2 211232 C 3 ∗ 2 ( 1 2 3 2 3 4 1 4 6 ) ∗ ( 2 2 1 3 1 2 ) C_{3*2} \begin{pmatrix} 1 23\\ 2 34\\ 1 46\\ \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 2 2\\ 1 3\\ 1 2\\ \end{pmatrix} C3∗2 121234346 ∗ 211232 C 3 ∗ 2 ( 1 2 1 ) ∗ ( 2 2 ) ( 2 3 4 ) ∗ ( 1 3 ) ( 3 4 6 ) ∗ ( 1 2 ) C_{3*2} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 2 2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ 4\\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 13\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4\\ 6\\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 2\\ \end{pmatrix} C3∗2 121 ∗(22) 234 ∗(13) 346 ∗(12) C 3 ∗ 2 ( 2 2 4 4 2 2 ) ( 2 6 3 9 4 12 ) ( 3 6 4 8 6 12 ) ( 7 14 11 21 12 26 ) C_{3*2} \begin{pmatrix} 22 \\ 44\\ 22\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 26 \\ 39\\ 412\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 36 \\ 48\\ 612\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 714 \\ 1121\\ 1226\\ \end{pmatrix} C3∗2 242242 2346912 3466812 71112142126 C 3 ∗ 2 A i 1 ∗ B 1 j A i 2 ∗ B 2 j A i 3 ∗ B 3 j C_{3*2} A_{i1}*B_{1j} A_{i2}* B_{2j}A_{i3}* B_{3j} C3∗2Ai1∗B1jAi2∗B2jAi3∗B3j
可以浅显的理解为A的第x列 * B的第x行 的累加求和 对于矩阵内每个元素都有计算公式
十一、矩阵乘法的运算性质
1.结合律 A ( B C ) ( A B ) C A(BC) (AB)C A(BC)(AB)C
2.分配律 A ( B C ) A B A C λ ( A B ) A ( λ B ) ( λ A ) B A(BC) ABAC\\ \lambda (AB) A(\lambda B) (\lambda A)B A(BC)ABACλ(AB)A(λB)(λA)B
3.与单位阵的运算 E m ∗ A m ∗ n A m ∗ n ∗ E n A m ∗ n E_m * A_{m*n} A_{m*n} *E_n A_{m*n} Em∗Am∗nAm∗n∗EnAm∗n
4.可交换 一般情况下 A B B A 如果 A B B A 则称 A 与 B 可换 一般情况下AB \cancel{} BA\\ 如果ABBA则称A与B可换 一般情况下AB BA如果ABBA则称A与B可换
5.转置矩阵
同行列式转置几乎一致(参考行列式转置)记作 A T 或 A ′ A^T 或A AT或A′ 转置之后的矩阵和原矩阵不相等这里与行列式有差别,有如下性质 ( A T ) T A ( A B ) T A T B T ( λ A ) T λ A T ( A B ) T B T A T (A^T )^T A\\ (AB)^T A^T B^T \\ (\lambda A)^T \lambda A^T\\ (AB)^T B^T A^T (AT)TA(AB)TATBT(λA)TλAT(AB)TBTAT
6.对称矩阵
条件
A是n阶方阵A的转置 A
性质 A 是对称矩阵则 k 倍的 A 也是对称矩阵 A B 均是对称矩阵 A B , A − B 也是对称矩阵 A , B 是对称矩阵 A B B A A B 也是对称矩阵 A是对称矩阵则k倍的A也是对称矩阵 AB均是对称矩阵AB,A-B也是对称矩阵 A,B是对称矩阵ABBAAB也是对称矩阵 A是对称矩阵则k倍的A也是对称矩阵AB均是对称矩阵AB,A−B也是对称矩阵A,B是对称矩阵ABBAAB也是对称矩阵
7.反对称矩阵 A T − A A^T -A AT−A 性质主对角线元素全为0
8.n阶方阵的特殊运算
A是N阶方阵有如下运算 A 0 E n A n A A . . . A k 个 A A k A l A k l ( A k ) l A k l E k E A^0 E_n\\ A^n AA...Ak个A\\ A^kA^l A^{kl}\\ (A^{k})^l A^{kl}\\ E^k E A0EnAnAA...Ak个AAkAlAkl(Ak)lAklEkE
对于N阶方阵AB A B k A k B k ( A B ) 2 A 2 2 A B B 2 AB^k \cancel{} A^kB^k\\ (AB)^2 \cancel{} A^22ABB^2 ABk AkBk(AB)2 A22ABB2
十二、矩阵与行列式
只有n阶方阵才有相应行列式否则没有A的行列式记作 ∣ A ∣ 或 d e t A |A| 或det A ∣A∣或detA
性质设A为n阶方阵 ∣ A T ∣ ∣ A ∣ ∣ λ A ∣ λ n ∣ A ∣ ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ |A^T| |A|\\ |\lambda A| \lambda ^n |A|\\ |AB| |A| |B| ∣AT∣∣A∣∣λA∣λn∣A∣∣AB∣∣A∣∣B∣
解释
因为行列式的转置和原来相等那么转置矩阵变成行列式还是跟原来相等矩阵乘一个常数是所有元素都乘常数但是行列式乘常数只能乘进一行可以通过数学归纳或者拉普拉斯公式证明
十三、逆矩阵、伴随矩阵、奇异矩阵
1.逆矩阵 A ∗ B B ∗ A E n A * B B*A E_n A∗BB∗AEn 则称B为A的逆矩阵简称逆阵记作 B A − 1 B A^{-1} BA−1 有如下的性质 A ∗ A − 1 A − 1 ∗ A E n A * A^{-1} A^{-1} *A E_n A∗A−1A−1∗AEn ( A − 1 ) − 1 A A 可逆 A T 也可逆 ( A T ) − 1 ( A − 1 ) T A 可逆且 k 0 , 则 k A 可逆 , ( k A ) − 1 1 k A − 1 A , B 同阶且可逆则 A B 也可逆 A B − 1 B − 1 A − 1 ( 可推广到 n 个 ) 若 A 可逆 , ∣ A − 1 ∣ ∣ A ∣ − 1 (A^{-1})^{-1} A\\ A可逆A^T也可逆(A^T)^{-1} (A^{-1})^T\\ A可逆且k \cancel{}0,则kA可逆,(kA)^{-1 } \frac{1}{k}A^{-1}\\ A,B同阶且可逆则AB也可逆AB^{-1}B^{-1}A^{-1} (可推广到n个)\\ 若A可逆,|A^{-1}| |A|^{-1} (A−1)−1AA可逆AT也可逆(AT)−1(A−1)TA可逆且k 0,则kA可逆,(kA)−1k1A−1A,B同阶且可逆则AB也可逆AB−1B−1A−1(可推广到n个)若A可逆,∣A−1∣∣A∣−1
2.奇异矩阵与非奇异矩阵
奇异矩阵也叫退化矩阵非奇异矩阵才可逆,奇异矩阵不可逆 ∣ A ∣ ̸ 0 非奇异矩阵 ∣ A ∣ 0 奇异矩阵 |A| \not 0 非奇异矩阵\\ |A| 0奇异矩阵 ∣A∣0非奇异矩阵∣A∣0奇异矩阵
3.伴随矩阵 A 3 ∗ 3 ( 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ) A_{3*3} \begin{pmatrix} 1 23\\ 2 21\\ 343\\ \end{pmatrix} A3∗3 123224313 还记得代数余子式吗划掉所在行列的行列式乘-1^(ij) Astar就等于对每个矩阵的位置求一个代数余子式的值然后放在矩阵的同位置
4.伴随矩阵求逆矩阵
充要条件 ∣ A ∣ ̸ 0 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ |A| \not0A^{-1} \frac{1}{|A|} A^* ∣A∣0A−1∣A∣1A∗
推论 A B E 则 A B 互为逆 AB E则AB互为逆 ABE则AB互为逆
十四、矩阵的初等变换
1.初等变换
我们还是把矩阵想象为方程组方程组能干的矩阵就能这么做 { a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 . . . a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 . . . a 2 n x n b 2 . . . a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 . . . a n n x n b n \begin{cases} a_{11}x_1 a_{12}x_2a_{13}x_3 ... a_{1n}x_n b_1 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2a_{23}x_3 ... a_{2n}x_n b_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1 a_{n2}x_2a_{n3}x_3 ... a_{nn}x_n b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2a13x3...a1nxnb1a21x1a22x2a23x3...a2nxnb2...an1x1an2x2an3x3...annxnbn
下面三种方式叫做初等行变换
交换任意两行任意一行乘k某一行乘k加到另一行
行换成列就是初等列变换统称初等变换
2.矩阵等价
若A可以经过若干次初等变换到B则称A与B等价记作 A~B
具备传递性A~B B~C 则A~C具备对称性 A~B B~A具备反身性A~A
3.行阶梯矩阵 A 4 ∗ 4 ( 1 2 3 3 0̸ 3 4 5 0̸ 0̸ 2 1 0̸ 0̸ 0̸ 0̸ ) A_{4*4} \begin{pmatrix} 1 233\\ \not0 345\\ \not0 \not021\\ \not0\not0\not0\not0 \end{pmatrix} A4∗4 1000230034203510 如果一个矩阵的零行都位于非零行下方并且每个非零行左起第一个非零元素的列数由上而下严格递增则称该矩阵为行阶梯矩阵 最简行阶梯矩阵对于一个行阶梯矩阵如果每行左起第一个非零元素元素都是1并且这些1所在的列其他元素都是0则称最简行阶梯矩阵行最简形矩阵 A 4 ∗ 4 ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 ) A_{4*4} \begin{pmatrix} 1 000\\ 0 100\\ 0 013\\ 0000 \end{pmatrix} A4∗4 1000010000100030 再对A进行初等列变换得到A的标准型 A 4 ∗ 4 ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) A_{4*4} \begin{pmatrix} 1 000\\ 0 100\\ 0 010\\ 0000 \end{pmatrix} A4∗4 1000010000100000
定义mnr其中mn为行数列数 而该标准型左上角的单位阵可以由r确定所以三个数就可以表示出标准型 E r ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) E_r \begin{pmatrix} 1 00\\ 0 10\\ 0 01\\ \end{pmatrix} Er 100010001 所有与A等价的矩阵组成一个等价类标准型是这个类中最简单的矩阵
十五、初等矩阵与步骤记录
1.定理
定义由单位阵E经过一次初等变换形成的矩阵叫做初等矩阵
定理2 对A(m*n)进行一次初等行变换相当于在A左侧乘相应的m阶初等矩阵 对A(m*n)进行一次初等列变换相当于在A右侧乘相应的n阶初等矩阵
因为这个定理我们可以只需要记录下来从A到E变换过程的所有初等矩阵再对E来一遍就可以求出A的逆矩阵
2.初等变换法求逆矩阵 A 3 ∗ 3 ( 1 1 − 1 3 2 − 2 5 − 2 1 ) A_{3*3} \begin{pmatrix} 1 1-1\\ 3 2-2\\ 5 -21\\ \end{pmatrix} A3∗3 13512−2−1−21 ( 1 1 − 1 ∣ 1 0 0 3 2 − 2 ∣ 0 1 0 5 − 2 1 ∣ 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 1-1| 100\\ 3 2-2|010\\ 5 -21|001\\ \end{pmatrix} 13512−2−1−21∣∣∣100010001 ( 1 0 0 ∣ − 2 1 0 0 1 0 ∣ − 13 6 − 1 0 0 1 ∣ − 16 7 − 1 ) \begin{pmatrix} 1 00| -210\\ 0 10|-136-1\\ 0 01|-167-1\\ \end{pmatrix} 100010001∣∣∣−2−13−161670−1−1
3.初等矩阵的性质
性质
初等矩阵都可逆逆矩阵仍是初等矩阵初等矩阵的转置还是初等矩阵
十六、矩阵的秩
1.k阶子式
在矩阵A中任取K个行K个列交叉处的元素不改变相对位置形成的新的k阶行列式
2.矩阵的秩
有一个不等于0的 r 阶子式所有 r1 阶子式等于0 满足这两个条件的子式叫做最高阶非零子式r称为矩阵的秩
性质 R A R ( A T ) R ( k A ) ( 常数 k ̸ 0 ) 存在 x 阶子式不为 0 R ( A ) s 所有 t 阶子式为 0 R ( A ) t A 为 n 阶方阵 A 为奇异矩阵的充要条件 R ( A ) n RA R(A^T) R(kA) (常数k \not0)\\ 存在x阶子式不为0R(A)s\\ 所有t阶子式为0R(A)t\\ A为n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件R(A) n RAR(AT)R(kA)(常数k0)存在x阶子式不为0R(A)s所有t阶子式为0R(A)tA为n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件R(A)n
3.满秩矩阵、降秩矩阵
R(A) min(m , n) 称为满秩矩阵否则为降秩矩阵
4.求矩阵的秩
按定义初等行变换到行阶梯矩阵非零行的个数为R的值
5.矩阵秩的性质
A为mn阶矩阵B为nk阶矩阵
(1).性质1 C ( m k ) ∗ ( n l ( A O O B ) C_{(mk)*(nl} \begin{pmatrix} A O\\ O B\\ \end{pmatrix} C(mk)∗(nl(AOOB) R ( C ) R ( A ) R ( B ) R(C) R(A) R(B) R(C)R(A)R(B)
(2).性质2 C ( m k ) ∗ ( n l ( A O C B ) C_{(mk)*(nl} \begin{pmatrix} A O\\ C B\\ \end{pmatrix} C(mk)∗(nl(ACOB) Q ( m k ) ∗ ( n l ( A D O B ) Q_{(mk)*(nl} \begin{pmatrix} A D\\ O B\\ \end{pmatrix} Q(mk)∗(nl(AODB) R ( C ) R ( A ) R ( B ) R ( Q ) R ( A ) R ( B ) R(C) R(A) R(B)\\ R(Q) R(A) R(B) R(C)R(A)R(B)R(Q)R(A)R(B)
(3).性质3 R A R B R ( A B ) RARBR(AB) RARBR(AB)
(4).性质4 R ( A B ) m i n { R ( A ) , R ( b ) } R(AB)min\{R(A),R(b)\} R(AB)min{R(A),R(b)}
(5).性质5 R ( A ) R ( B ) − n R ( A B ) R(A)R(B)-nR(AB) R(A)R(B)−nR(AB)
(6).性质6 A B O , R A R B n AB O,RARBn ABO,RARBn
十七、分块矩阵 分块矩阵就是随意切成n块然后再算 它把子矩阵作为元素运算性质和矩阵相同
分块对角矩阵若 A i A_i Ai都是方阵则A称为对角分块矩阵 A 3 ∗ 3 ( A 1 A 2 . . . A s ) A_{3*3} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2\\ ...\\ A_s\\ \end{pmatrix} A3∗3 A1A2...As
尽量选择良好的分块可以提高效率 A 3 ∗ 3 ( 9 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 4 0 0 0 2 ) ( 9 0 ∣ 0 0 2 1 ∣ 0 0 − − − − − 0 0 ∣ 3 4 0 0 ∣ 0 2 ) A_{3*3} \begin{pmatrix} 9 000\\ 2100\\ 00 34\\ 0 002\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 0|00\\ 21|00\\ -----\\ 00 |34\\ 0 0|02\\ \end{pmatrix} A3∗3 9200010000300042 92−0001−00∣∣−∣∣00−3000−42
十八、线性方程组
1.非齐次线性方程组 { a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 . . . a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 . . . a 2 n x n b 2 . . . a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 . . . a n n x n b n \begin{cases} a_{11}x_1 a_{12}x_2a_{13}x_3 ... a_{1n}x_n b_1 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2a_{23}x_3 ... a_{2n}x_n b_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1 a_{n2}x_2a_{n3}x_3 ... a_{nn}x_n b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2a13x3...a1nxnb1a21x1a22x2a23x3...a2nxnb2...an1x1an2x2an3x3...annxnbn
2.齐次线性方程组 { a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 . . . a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 . . . a 2 n x n 0 . . . a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 . . . a n n x n 0 \begin{cases} a_{11}x_1 a_{12}x_2a_{13}x_3 ... a_{1n}x_n 0 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2a_{23}x_3 ... a_{2n}x_n 0 \\ ...\\ a_{n1}x_1 a_{n2}x_2a_{n3}x_3 ... a_{nn}x_n0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2a13x3...a1nxn0a21x1a22x2a23x3...a2nxn0...an1x1an2x2an3x3...annxn0 简单来看就是b全是0的非齐次
3.系数矩阵与增广矩阵 A x b x 称为未知数向量 b 为常数项向量 A x b\\ x称为未知数向量b为常数项向量 Axbx称为未知数向量b为常数项向量 有一个方程组如下 { a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 . . . a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 . . . a 2 n x n b 2 . . . a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 . . . a n n x n b n \begin{cases} a_{11}x_1 a_{12}x_2a_{13}x_3 ... a_{1n}x_n b_1 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2a_{23}x_3 ... a_{2n}x_n b_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1 a_{n2}x_2a_{n3}x_3 ... a_{nn}x_n b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2a13x3...a1nxnb1a21x1a22x2a23x3...a2nxnb2...an1x1an2x2an3x3...annxnbn 该方程组的系数矩阵为 A m ∗ n ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n a 31 a 32 a 33 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( n − 1 ) n a n 1 a n 2 . . . a n ( n − 1 ) a n n ) A_{m*n} \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13}...a_{1n}\\ a_{21} a_{22}a_{23}...a_{2n}\\ a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n}\\ ...............\\ ............a_{(n-1)n}\\ a_{n1}a_{n2}...a_{n(n-1)}a_{nn}\\ \end{pmatrix} Am∗n a11a21a31......an1a12a22a32......an2a13a23a33........................an(n−1)a1na2na3n...a(n−1)nann
该方程组的增广矩阵为 A ~ m ∗ n ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n b 1 a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n b 2 a 31 a 32 a 33 . . . a 3 n b 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( n − 1 ) n b n − 1 a n 1 a n 2 . . . a n ( n − 1 ) a n n b n ) \widetilde{A}_{m*n} \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13}...a_{1n}b_1\\ a_{21} a_{22}a_{23}...a_{2n}b_2\\ a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n}b_3\\ ...............\\ ............a_{(n-1)n}b_{n-1}\\ a_{n1}a_{n2}...a_{n(n-1)}a_{nn}b_n\\ \end{pmatrix} A m∗n a11a21a31......an1a12a22a32......an2a13a23a33........................an(n−1)a1na2na3n...a(n−1)nannb1b2b3bn−1bn
4.线性方程组的解
满足线性方程组的一组数x1 k1,x2 k2…叫做线性方程组的解或者特解 写成向量形式,叫做线性方程组的解向量记作 x ( k 1 , k 2 , . . . k n ) T x (k_1,k_2,...k_n)^T x(k1,k2,...kn)T
全体解向量的集合叫做解集求解集的过程叫解线性方程组 如果两个线性方程组结集相同称他们为同解线性方程组 表达线性方程组全部解的表达式称为通解
5.高斯消元法解线性方程组 求解非齐次线性方程组 { x 1 − 2 x 2 3 x 3 − x 4 1 3 x 1 − x 2 5 x 3 − 3 x 4 2 2 x 1 x 2 2 x 3 − 2 x 4 3 求解非齐次线性方程组\begin{cases} x_1 -2 x_23x_3 -x_4 1 \\ 3x_1 - x_25x_3 -3x_4 2 \\ 2x_1 x_22x_3 -2x_43 \end{cases} 求解非齐次线性方程组⎩ ⎨ ⎧x1−2x23x3−x413x1−x25x3−3x422x1x22x3−2x43 A ~ ( 1 − 2 3 − 1 ∣ 1 3 − 1 5 − 3 ∣ − 1 2 1 2 − 2 ∣ − 2 ) ( 1 − 2 3 − 1 ∣ 1 0 5 − 4 0 ∣ − 1 0 0 0 0 ∣ − 2 ) B ~ \widetilde A \begin{pmatrix} 1 -23-1|1\\ 3 -15-3|-1\\ 212-2|-2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 -23-1|1\\ 0 5-40|-1\\ 0000|-2\\ \end{pmatrix} \widetilde B A 132−2−11352−1−3−2∣∣∣1−1−2 100−2503−40−100∣∣∣1−1−2 B { x 1 1 2 x 2 − 3 x 3 x 4 x 2 2 4 x 3 / 5 0 − 2 \begin{cases} x_1 12 x_2-3x_3 x_4 \\ x_2 2 4x_3/5\\ 0-2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x112x2−3x3x4x224x3/50−2
显然第三个方程矛盾该方程组无解 步骤如下
写出增广矩阵初等行变换为行阶梯矩阵取每行首个非零元素对应x作为因变量
6.线性方程组解与秩的关系
(1)对于齐次/非齐次方程组 R A R A ~ 无解 R A R n A ~ 有唯一解 R A R n A ~ 有无穷多解 RAR\widetilde A无解\\ RAR n\widetilde A有唯一解\\ RAR n\widetilde A有无穷多解 RARA 无解RARnA 有唯一解RARnA 有无穷多解
(2)对于齐次方程组 R ( A ) n 有唯一解只有零解 R ( A ) n 有无穷多解有非零解 R(A) n \space \space 有唯一解只有零解\\ R(A)n \space \space 有无穷多解有非零解 R(A)n 有唯一解只有零解R(A)n 有无穷多解有非零解
当齐次方程组的系数矩阵为方阵时行列式为0说明R(A)n
1. 任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵. 2. 当且仅当主对角线上的元素中有0上三角阵的行列式为0. 3. n阶上三角阵行阶梯矩阵的秩 n 主对角线上0的个数.
十九、向量与线性
1.向量
只有一行的矩阵称为行向量一列的矩阵称为列向量 α ( 1 2 3 ) , β ( 1 2 3 ) \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix},\beta \begin{pmatrix} 1 23\\ \end{pmatrix} α 123 ,β(123) 元素个数n称为维数而第i个元素称为向量的第i个分量
2.向量组
若干个同维的列(行)向量所组成的集合称为向量组 A n ∗ m ( α 1 , α 2 , . . . α m ) A_{n*m}(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_m) An∗m(α1,α2,...αm)
3.线性组合 对于 A n ∗ m ( α 1 , α 2 , . . . α m ) 实数 ( k 1 , k 2 . . . k m ) k 1 α 1 k 2 α 2 . . . k m α m 称为向量组 A 的线性组合 ( k 1 , k 2 . . . k m ) 称为这个向量组的系数 对于A_{n*m}(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_m)实数(k_1,k_2...k_m)\\ k_1\alpha_1 k_2\alpha_2 ...k_m\alpha_m称为向量组A的线性组合\\ (k_1,k_2...k_m)称为这个向量组的系数 对于An∗m(α1,α2,...αm)实数(k1,k2...km)k1α1k2α2...kmαm称为向量组A的线性组合(k1,k2...km)称为这个向量组的系数
简单来说就是把里面的向量随便乘一堆非线性的常量系数加一起就是线性组合
4.线性表示
如果A的通过线性组合能表示出β我们称β是向量组A的线性组合或者β可以被A线性表示 如果有AB两个向量组B中每个向量都能被A线性表示称向量组B可以被A线性表示 若AB可以相互线性表示则记作A~BAB等价 β 可以被 A 线性表示 R ( A ) R ( A β ) m B 可以被 A 表示 R ( A B ) R ( A ) R ( A ) R ( B ) A 等价于 B R ( A ) R ( B ) R ( A B ) β可以被A线性表示R(A) R(A \space \space β) m\\ B可以被A表示 R(A\space \space B) R(A)R(A)R(B)\\ A 等价于B R(A) R(B) R(A\space \space B) β可以被A线性表示R(A)R(A β)mB可以被A表示R(A B)R(A)R(A)R(B)A等价于BR(A)R(B)R(A B)
5.线性相关 对于 A n ∗ m ( α 1 , α 2 , . . . α m ) 存在实数 ( k 1 , k 2 . . . k m ) 使 k 1 α 1 k 2 α 2 . . . k m α m 0 则称 A 线性相关否则称 A 线性无关 对于A_{n*m}(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_m)存在实数(k_1,k_2...k_m)\\ 使k_1\alpha_1 k_2\alpha_2 ...k_m\alpha_m 0\\ 则称A线性相关否则称A线性无关 对于An∗m(α1,α2,...αm)存在实数(k1,k2...km)使k1α1k2α2...kmαm0则称A线性相关否则称A线性无关
对于向量组 A A A而言 A 线性无关 R ( A ) m A 线性相关 R ( A ) m A线性无关R(A) m\\ A线性相关R(A)m A线性无关R(A)mA线性相关R(A)m 推论m个n维向量组成向量组nm时一定线性相关n1个n维向量一定相关 推论包含零向量的向量组一定线性相关 注意若向量组只有一个向量向量线性相关的充要条件是这个向量为0向量注意若向量组只有两个向量线性相关的充要条件是共线三个共面 定理6若A中至少有一个向量可以由其他向量表示A线性相关 定理7A线性无关而向量组A β线性相关则β可以被A唯一表示 定理8A中有部分向量线性相关则A线性相关A线性无关任意部分向量线性无关 定理9若A能被B线性表示且A的向量数量比B多A线性相关 推论A可由B线性表示A线性无关则A的元素数不多于B
6.极大无关组
1定义
在向量组A中能找出r个向量满足
r个向量线性无关任意r1个向量线性相关
简单理解就是找一组元素数量最多的线性无关的向量能表示A中任意向量我们称这个向量组为 A 0 A_0 A0 A 0 A_0 A0就是向量组A的一个最大的无关向量组称极大无关组向量个数r称为向量组A的秩 注意 只含零向量的向量组没用极大无关组规定秩为0 线性无关向量组的极大无关组是本身 一般向量组的极大无关组不唯一元素个数相等相互等价 定理10向量组与它的极大无关组等价 定理11若A中存在r阶子式不等于0则这个子式所在r个列向量线性无关 若所有r阶子式为0则任意r个向量线性相关 定理12向量组的秩等于向量组组成的矩阵的秩某个r阶子式非零则这个子式所在r个列向量是A的极大无关组
二十、方程组解的结构
1.齐次方程
性质 β 1 β 2 β1 β2 β1β2 是 A x 0 Ax 0 Ax0的两个解那么 k 1 β 1 k 2 β 2 k1β1 k2β2 k1β1k2β2也是它的解 定义 若 β 1 β 2 . . . β n β1β2...βn β1β2...βn线性无关 Ax0的任意解可以被 β 1 β 2 . . . β n β1β2...βn β1β2...βn表示出来 我们称 β 1 β 2 . . . β n β1β2...βn β1β2...βn为 A x 0 Ax 0 Ax0的基础解系 定理13 如果齐次方程有非零解一定有基础解系且基础解系解向量个数n-r r为系数矩阵A的秩n为未知量个数n-r是自由未知量个数 通解 x k 1 β 1 k 2 β 2 . . . k n β n x k1β1k2β2...knβn xk1β1k2β2...knβn
2.非齐次方程
性质2β1 β2 是 A x b Ax b Axb的两个解那么β1 - β2是Ax0的解 性质3 η是 A x b Axb Axb的解β是 A x 0 Ax0 Ax0的解则 η β ηβ ηβ是 A x b Axb Axb的解 定理14若 η ∗ η* η∗ 是 A x b Axb Axb的一个特解 A x 0 Ax0 Ax0的基础解为 β 1 . . . β n − r β1...βn-r β1...βn−r 则通解 x η ∗ β 1 β n − r x η* β1βn-r xη∗β1βn−r
