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定义
直观理解 公式推导
一次贝塞尔曲线#xff08;线性公式#xff09;
二次贝塞尔曲线#xff08;二次方公式#xff09; 三次贝塞尔曲线#xff08;三次方公式#xff09;
n次贝塞尔曲线#xff08;一般参数公式#xff09;
代码实现 参考链接…目录
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定义
直观理解 公式推导
一次贝塞尔曲线线性公式
二次贝塞尔曲线二次方公式 三次贝塞尔曲线三次方公式
n次贝塞尔曲线一般参数公式
代码实现 参考链接
贝塞尔曲线Bezier Curve原理及公式推导_bezier曲线-CSDN博客
贝塞尔曲线Bezier Curve原理、公式推导及matlab代码实现-CSDN博客
贝塞尔曲线——这个是可以在线控制点来绘制贝塞尔曲线的网站
定义
贝塞尔曲线用于计算机图形绘制形状CSS 动画和许多其他地方。 贝塞尔曲线(Bezier curve)又称贝兹曲线或贝济埃曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线贝兹曲线定义起始点、终止点也称锚点、控制点。通过调整控制点贝塞尔曲线的形状会发生变化。 贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具如PhotoShop等。 1962年法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法并给出了详细的计算公式因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名称为贝塞尔曲线。 贝塞尔曲线的一些特性
使用个控制点来控制曲线的形状曲线通过起始点 和终止点接近但不通过中间点 曲线的阶次等于控制点的数量减一。 对于两个点我们能得到一条线性曲线直线三个点 — 一条二阶曲线四个点 — 一条三阶曲线。 曲线总是在控制点的凸包内部 由于最后一个属性在计算机图形学中可以优化相交测试。如果凸包不相交则曲线也不相交。因此首先检查凸包的交叉点可以非常快地给出“无交叉”结果。检查交叉区域或凸包更容易因为它们是矩形三角形等见上图比曲线简单的多。
直观理解
Step 1. 在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接 Step 2. 在线段和上找到、两点使得 Step 3. 连接并在上找到点使其满足抛物线的三切线定理 Step 4. 找出符合上述条件的所有点 上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的有阶贝塞尔曲线
曲线图示一阶 二阶 三阶 四阶 五阶 公式推导
一次贝塞尔曲线线性公式 定义给定点、线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线这条线由下式给出且其等同于线性插值 其中公式里的、同步表示为其或轴坐标。
假设坐标为坐标为坐标为则有 同理有 于是可将上式简写为 二次贝塞尔曲线二次方公式 定义二次贝塞尔曲线的路径由给定点、、的函数给出 假设、上的点为、上的点为上的点为也即为曲线上的点。则根据一次贝塞尔曲线公式有 将上式中、带入中即可得到二次贝塞尔曲线的公式 三次贝塞尔曲线三次方公式
同理可得三次贝塞尔曲线公式 n次贝塞尔曲线一般参数公式 定义给定点、、则次贝塞尔曲线由下式给出 n次贝塞尔曲线的公式可由如下递归表达 进一步可以得到贝塞尔曲线的递推计算公式 代码实现
首先来看不同阶数的贝塞尔曲线公式来找共同点
N2:
N3:
N4:
可将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示 设有常数 a,b 和 c则该表达式可统一表示为如下形式 根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则
b: 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示
N1:---------1 N2:--------1 1 N3:------1 2 1 N4:-----1 3 3 1 N5:---1 4 6 4 1 a 值的改变规则为 杨辉三角
-------------------------------------------------------------------
理论基础有了开始写代码
a 值用杨辉三角计算b c 值在for 循环里计算从传入的点坐标读取。
step1首先使用杨辉三角的方式生成a值 N len(control_points)ta np.zeros((N, N))# 初始化杨辉三角左右两边的值为1for i in range(N):ta[i, 0] 1ta[i, i] 1# 计算杨辉三角for row in range(2, N):for col in range(1, row):ta[row, col] ta[row-1, col-1] ta[row-1, col] step2生成贝塞尔曲线上的点 p np.zeros((M, 2))for i in range(M):t i / M # 确定每一个点的比例for k in range(N):c k # 分别确定 a, b, c 三个系数b N - c - 1 # 分别确定 a, b, c 三个系数a ta[N-1, k] # 分别确定 a, b, c 三个系数# 确定点的 x 和 y 坐标p[i, 0] a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 0]p[i, 1] a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 1]完整代码 # N表示控制点个数M表示时间步
import numpy as np
from scipy.special import combdef calculate_bezier_curve(control_points, M1000):N len(control_points)ta np.zeros((N, N))# 初始化杨辉三角左右两边的值为1for i in range(N):ta[i, 0] 1ta[i, i] 1# 计算杨辉三角for row in range(2, N):for col in range(1, row):ta[row, col] ta[row-1, col-1] ta[row-1, col]p np.zeros((M, 2))for i in range(M):t i / M # 确定每一个点的比例for k in range(N):c k # 分别确定 a, b, c 三个系数b N - c - 1 # 分别确定 a, b, c 三个系数a ta[N-1, k] # 分别确定 a, b, c 三个系数# 确定点的 x 和 y 坐标p[i, 0] a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 0]p[i, 1] a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 1]return p# 示例调用
control_points np.array([(0, 0), (1, 2), (2, 0)])
result_points calculate_bezier_curve(control_points)# 打印结果
print(result_points)# 可视化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize(12, 6))
plt.plot(result_points[:, 0], result_points[:, 1], labelBezier Curve) 下图是一个生成的二阶贝塞尔曲线有3个控制点 另外一种实现方式 def bezier_curve(points, n_times1000):Generate a Bezier curve from control points.Args:points (list of tuples): control points.n_times (int): number of time steps (resolution of the curve).Returns:list of tuples: points on the bezier curve.n_points len(points)t np.linspace(0, 1, n_times)curve np.zeros((n_times, 2))for i in range(n_points):binom comb(n_points - 1, i) # 计算二项式系数即组合数。表示从 n_points - 1 个元素中选择 i 个元素的方式有多少种。curve np.outer(binom * (t ** i) * ((1 - t) ** (n_points - 1 - i)), points[i])return curvecontrol_points1 [(0, 0), (1, 2), (2, 0)]
bezier1 bezier_curve(control_points1)
print(bezier1)
