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就是指一组数据的存储结构
算法#xff1a;
就是操作数据的一组方法 数据结构和算法 两者关系
数据结构和算法是相辅相成的。数据结构是为算法服务的#xff0c;算法要作用在特定的数据结构之上。
数据结构是静态的#xff0c;它只是组织数据的一…数据结构
就是指一组数据的存储结构
算法
就是操作数据的一组方法 数据结构和算法 两者关系
数据结构和算法是相辅相成的。数据结构是为算法服务的算法要作用在特定的数据结构之上。
数据结构是静态的它只是组织数据的一种方式。如果不在它的基础上操作、构建算法孤立存在的数据结构就是没用的。 举例
图书馆储藏书籍你肯定见过吧为了方便查找图书管理员一般会将书籍分门别类进行“存储”。按照一定规律编号就是书籍这种“数据”的存储结构。那我们如何来查找一本书呢有很多种办法你当然可以一本一本地找也可以先根据书籍类别的编号是人文还是科学、计算机来定位书架然后再依次查找。笼统地说这些查找方法都是算法。 以上就是数据结构和算法的解释。 正文 这里面有
10 个数据结构数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树
10 个算法递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法。 复杂度分析上
数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题即如何让代码运行得更快如何让代码更省存储空间。所以执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢这里就要用到时间、空间复杂度分析。
为什么需要复杂度分析
你可能会有些疑惑我把代码跑一遍通过统计、监控就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗首先我可以肯定地说你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字叫事后统计法。但是这种统计方法有非常大的局限性。比如测试结果非常依赖测试环境测试结果受数据规模的影响很大。
所以我们需要一个不用具体的测试数据来测试就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是时间、空间复杂度分析方法。
大 O 复杂度表示法
算法的执行效率粗略地讲就是算法代码执行的时间。但是如何在不运行代码的情况下用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢
这里有段非常简单的代码求 1,2,3...n 的累加和。现在一块来估算一下这段代码的执行时间。 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;}return sum;}
从 CPU 的角度来看这段代码的每一行都执行着类似的操作读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样但是我们这里只是粗略估计所以可以假设每行代码执行的时间都一样为 unit_time。在这个假设的基础之上这段代码的总执行时间是多少呢
第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time指令周期 的执行时间第 4、5 行都运行了 n 遍所以需要 2n*unit_time 的执行时间所以这段代码总的执行时间就是 (2n2)*unit_time。可以看出来所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
按照这个分析思路我们再来看这段代码。 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;int j 1;for (; i n; i) {j 1;for (; j n; j) {sum sum i * j;}}}
我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢
第 2、3、4 行代码每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间第 5、6 行代码循环执行了 n 遍需要 2n * unit_time 的执行时间第 7、8 行代码循环执行了 n2遍所以需要 2n2 * unit_time 的执行时间。所以整段代码总的执行时间 T(n) (2n22n3)*unit_time。
尽管我们不知道 unit_time 的具体值但是通过这两段代码执行时间的推导过程我们可以得到一个非常重要的规律那就是所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式。注意大 O 就要登场了 来具体解释一下这个公式。其中T(n) 我们已经讲过了它表示代码执行的时间n 表示数据规模的大小f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式所以用 f(n) 来表示。公式中的 O表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
所以第一个例子中的 T(n) O(2n2)第二个例子中的 T(n) O(2n22n3)n2表示n的2次方。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势所以也叫作渐进时间复杂度asymptotic time complexity简称时间复杂度。
当 n 很大时你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度就可以记为T(n) O(n) T(n) O(n2)。
时间复杂度分析
前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下如何分析一段代码的时间复杂度有三个比较实用的方法可以分享。
1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
我刚才说了大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级就是整段要分析代码的时间复杂度。为了便于理解我还是拿前面的例子来说明。 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;}return sum;}
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间与 n 的大小无关所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过这两行代码被执行了 n 次所以总的时间复杂度就是 O(n)。
2. 加法法则总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
这里还有一段代码。你可以先试着分析一下然后再往下看跟我的分析思路是否一样。
int cal(int n) {int sum_1 0;int p 1;for (; p 100; p) {sum_1 sum_1 p;}int sum_2 0;int q 1;for (; q n; q) {sum_2 sum_2 q;}int sum_3 0;int i 1;int j 1;for (; i n; i) {j 1; for (; j n; j) {sum_3 sum_3 i * j;}}return sum_1 sum_2 sum_3;}
这个代码分为三部分分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度然后把它们放到一块儿再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢这段代码循环执行了 100 次所以是一个常量的执行时间跟 n 的规模无关。这里我要再强调一下即便这段代码循环 10000 次、100000 次只要是一个已知的数跟 n 无关照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响但是回到时间复杂度的概念来说它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势所以不管常量的执行时间多大我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢答案是 O(n) 和 O(n2)。
综合这三段代码的时间复杂度我们取其中最大的量级。所以整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
那我们将这个规律抽象成公式就是如果 T1(n)O(f(n))T2(n)O(g(n))那么 T(n)T1(n)T2(n)max(O(f(n)), O(g(n))) O(max(f(n), g(n)))。
3. 乘法法则嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
我刚讲了一个复杂度分析中的加法法则这儿还有一个乘法法则。类比一下你应该能“猜到”公式是什么样子的吧如果 T1(n)O(f(n))T2(n)O(g(n))那么 T(n)T1(n)*T2(n)O(f(n))*O(g(n))O(f(n)*g(n)).也就是说假设 T1(n) O(n)T2(n) O(n2)则 T1(n) * T2(n) O(n3)。
落实到具体的代码上我们可以把乘法法则看成是嵌套循环我举个例子给你解释一下。
int cal(int n) {int ret 0; int i 1;for (; i n; i) {ret ret f(i);} } int f(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;} return sum;}
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作那第 46 行的时间复杂度就是T1(n) O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作它的时间复杂度是 T2(n) O(n)所以整个 cal() 函数的时间复杂度就是T(n) T1(n) * T2(n) O(n*n) O(n2)。
刚刚讲了三种复杂度的分析技巧。不过你并不用刻意去记忆。实际上复杂度分析这个东西关键在于“熟练”。你只要多看案例多分析就能做到“无招胜有招”。
几种常见时间复杂度实例分析
虽然代码千差万别但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下这些复杂度量级几乎涵盖了你今后可以接触的所有代码的复杂度量级。 对于刚罗列的复杂度量级我们可以粗略地分为两类多项式量级和非多项式量级。
其中非多项式量级只有两个O(2n) 和 O(n!)。
我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NPNon-Deterministic Polynomial非确定多项式问题。
当数据规模 n 越来越大时非多项式量级算法的执行时间会急剧增加求解问题的执行时间会无限增长。所以非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1. O(1)
首先你必须明确一个概念O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法并不是指只执行了一行代码。比如这段代码即便有 3 行它的时间复杂度也是 O(1而不是 O(3)。 int i 8;int j 6;int sum i j;
我稍微总结一下只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说一般情况下只要算法中不存在循环语句、递归语句即使有成千上万行的代码其时间复杂度也是Ο(1)。
2. O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。 i1;while (i n) {i i * 2;}
根据我们前面讲的复杂度分析方法第三行代码是循环执行次数最多的。所以我们只要能计算出这行代码被执行了多少次就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出变量 i 的值从 1 开始取每循环一次就乘以 2。当大于 n 时循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗实际上变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来就应该是这个样子的 所以我们只要知道 x 值是多少就知道这行代码执行的次数了。通过 2xn 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了我就不多说了。xlog2n所以这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。现在我把代码稍微改下你再看看这段代码的时间复杂度是多少 i1;while (i n) {i i * 3;}
根据我刚刚讲的思路很简单就能看出来这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
实际上不管是以 2 为底、以 3 为底还是以 10 为底我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢
我们知道对数之间是可以互相转换的log3n 就等于 log32 * log2n所以 O(log3n) O(C * log2n)其中 Clog32 是一个常量。基于我们前面的一个理论在采用大 O 标记复杂度的时候可以忽略系数即 O(Cf(n)) O(f(n))。所以O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此在对数阶时间复杂度的表示方法里我们忽略对数的“底”统一表示为 O(logn)。
如果你理解了我前面讲的 O(logn)那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)我们循环执行 n 遍时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3. O(mn)、O(m*n)
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩先看代码
int cal(int m, int n) {int sum_1 0;int i 1;for (; i m; i) {sum_1 sum_1 i;}int sum_2 0;int j 1;for (; j n; j) {sum_2 sum_2 j;}return sum_1 sum_2;
}
从代码中可以看出m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大所以我们在表示复杂度的时候就不能简单地利用加法法则省略掉其中一个。所以上面代码的时间复杂度就是 O(mn)。
空间复杂度分析
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下空间复杂度全称就是渐进空间复杂度asymptotic space complexity表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
还是拿具体的例子来说明。
void print(int n) {int i 0;int[] a new int[n];for (i; i n; i) {a[i] i * i;}for (i n-1; i 0; --i) {print out a[i]}
}
跟时间复杂度分析一样我们可以看到第 2 行代码中我们申请了一个空间存储变量 i但是它是常量阶的跟数据规模 n 没有关系所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组除此之外剩下的代码都没有占用更多的空间所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以对于空间复杂度掌握刚我说的这些内容已经足够了。
总结
复杂度也叫渐进复杂度包括时间复杂度和空间复杂度用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系可以粗略地表示越高阶复杂度的算法执行效率越低。常见的复杂度并不多从低阶到高阶有O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。
复杂度分析下
最好、最坏情况时间复杂度
先试着分析一下这段代码的时间复杂度。
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {int i 0;int pos -1;for (; i n; i) {if (array[i] x) pos i;}return pos;
}
这段代码要实现的功能是在一个无序的数组array中查找变量 x 出现的位置。如果没有找到就返回 -1。按照上节课讲的分析方法这段代码的复杂度是 O(n)其中n 代表数组的长度。
在数组中查找一个数据并不需要每次都把整个数组都遍历一遍因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。但是这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {int i 0;int pos -1;for (; i n; i) {if (array[i] x) {pos i;break;}}return pos;
}
要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x那我们就需要把整个数组都遍历一遍时间复杂度就成了 O(n)。所以不同的情况下这段代码的时间复杂度是不一样的。
为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度我们需要引入三个概念最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。
顾名思义最好情况时间复杂度就是在最理想的情况下执行这段代码的时间复杂度。就像我们刚刚讲到的在最理想的情况下要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。同理最坏情况时间复杂度就是在最糟糕的情况下执行这段代码的时间复杂度。就像刚举的那个例子如果数组中没有要查找的变量 x我们需要把整个数组都遍历一遍才行所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。
平均情况时间复杂度
我们都知道最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度我们需要引入另一个概念平均情况时间复杂度后面我简称为平均时间复杂度。
平均时间复杂度又该怎么分析呢我还是借助刚才查找变量 x 的例子来解释。
要查找的变量 x 在数组中的位置有 n1 种情况在数组的 0n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下查找需要遍历的元素个数累加起来然后再除以 n1就可以得到需要遍历的元素个数的平均值即 我们知道时间复杂度的大 O 标记法中可以省略掉系数、低阶、常量所以咱们把刚刚这个公式简化之后得到的平均时间复杂度就是 O(n)。
这个结论虽然是正确的但是计算过程稍微有点儿问题。究竟是什么问题呢我们刚讲的这 n1 种情况出现的概率并不是一样的。我带你具体分析一下。
我们知道要查找的变量 x要么在数组里要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦为了方便你理解我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外要查找的数据出现在 0n-1 这 n 个位置的概率也是一样的为 1/n。所以根据概率乘法法则要查找的数据出现在 0n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
因此前面的推导过程中存在的最大问题就是没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样 这个值就是概率论中的加权平均值也叫作期望值所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。
引入概率之后前面那段代码的加权平均值为 (3n1)/4。用大 O 表示法来表示去掉系数和常量这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。
你可能会说平均时间复杂度分析好复杂啊还要涉及概率论的知识。实际上在大多数情况下我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。像我们上一节课举的那些例子那样很多时候我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下时间复杂度有量级的差距我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。
均摊时间复杂度
到此为止你应该已经掌握了算法复杂度分析的大部分内容了。下面我要给你讲一个更加高级的概念均摊时间复杂度以及它对应的分析方法摊还分析或者叫平摊分析。
均摊时间复杂度听起来跟平均时间复杂度有点儿像。对于初学者来说这两个概念确实非常容易弄混。我前面说了大部分情况下我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。 // array表示一个长度为n的数组// 代码中的array.length就等于nint[] array new int[n];int count 0;void insert(int val) {if (count array.length) {int sum 0;for (int i 0; i array.length; i) {sum sum array[i];}array[0] sum;count 1;}array[count] val;count;}
我先来解释一下这段代码。这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后也就是代码中的 count array.length 时我们用 for 循环遍历数组求和并清空数组将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间则直接将数据插入数组。
那这段代码的时间复杂度是多少呢你可以先用我们刚讲到的三种时间复杂度的分析方法来分析一下。
最理想的情况下数组中有空闲空间我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下数组中没有空闲空间了我们需要先做一次数组的遍历求和然后再将数据插入所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。
那平均时间复杂度是多少呢答案是 O(1)。我们还是可以通过前面讲的概率论的方法来分析。
假设数组的长度是 n根据数据插入的位置的不同我们可以分为 n 种情况每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外还有一种“额外”的情况就是在数组没有空闲空间时插入一个数据这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且这 n1 种情况发生的概率一样都是 1/(n1)。所以根据加权平均的计算方法我们求得的平均时间复杂度就是 至此为止前面的最好、最坏、平均时间复杂度的计算理解起来应该都没有问题。但是这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂不需要引入概率论的知识。这是为什么呢我们先来对比一下这个 insert() 的例子和前面那个 find() 的例子你就会发现这两者有很大差别。
首先find() 函数在极端情况下复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下复杂度才比较高为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。
我们再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入出现的频率是非常有规律的而且有一定的前后时序关系一般都是一个 O(n) 插入之后紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作循环往复。
所以针对这样一种特殊场景的复杂度分析我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样找出所有的输入情况及相应的发生概率然后再计算加权平均值。
针对这种特殊的场景我们引入了一种更加简单的分析方法摊还分析法通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字叫均摊时间复杂度。
那究竟如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上均摊下来这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。你都理解了吗
均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊所以我们并不会经常用到。为了方便你理解、记忆我这里简单总结一下它们的应用场景。如果你遇到了知道是怎么回事儿就行了。
对一个数据结构进行一组连续操作中大部分情况下时间复杂度都很低只有个别情况下时间复杂度比较高而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系这个时候我们就可以将这一组操作放在一块儿分析看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且在能够应用均摊时间复杂度分析的场合一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。
尽管很多数据结构和算法书籍都花了很大力气来区分平均时间复杂度和均摊时间复杂度但其实我个人认为均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊这只是个说法并不重要。 尝试分析下边代码
// 全局变量大小为10的数组array长度len下标i。
int array[] new int[10];
int len 10;
int i 0;// 往数组中添加一个元素
void add(int element) {if (i len) { // 数组空间不够了// 重新申请一个2倍大小的数组空间int new_array[] new int[len*2];// 把原来array数组中的数据依次copy到new_arrayfor (int j 0; j len; j) {new_array[j] array[j];}// new_array复制给arrayarray现在大小就是2倍len了array new_array;len 2 * len;}// 将element放到下标为i的位置下标i加一array[i] element;i;
}
最好是O(1)最差是O(n), 均摊是O(1) 数组
