兰州易天网站建设公司有哪些?,多媒体设计与制作毕业设计,制作一般网站,为什么备案关闭网站系列文章目录 前言 如今的机器人行动过于保守#xff0c;只能完成机械性能所能完成的一小部分任务#xff0c;实现一小部分性能。在某些情况下#xff0c;我们仍然从根本上受限于在结构化工厂环境中成熟的刚性机械臂控制技术#xff0c;在这种环境中#xff0c;可以使用大…系列文章目录 前言 如今的机器人行动过于保守只能完成机械性能所能完成的一小部分任务实现一小部分性能。在某些情况下我们仍然从根本上受限于在结构化工厂环境中成熟的刚性机械臂控制技术在这种环境中可以使用大型致动器来 塑造 机器的动态以实现精度和可重复性。欠驱动机器人技术的研究重点是构建控制系统利用机器的自然动态力图在速度、效率或鲁棒性方面实现非凡的性能。 在过去几年中利用机器学习设计的控制器展示了基于优化的控制的潜在威力但这些方法还不具备我们对更成熟的控制技术所期望的采样效率和算法可靠性。对欠驱动机器人的研究要求我们仔细观察优化机械系统时出现的优化景观了解并在优化和学习算法中利用这种结构。 一、动机
让我们从一些例子和视频开始。
1.1 本田的 ASIMO 与被动式动态行走机器人的对比 1996 年末本田汽车公司宣布他们已经在行走机器人技术领域闭门工作了近 15 年自此机器人技术的世界发生了翻天覆地的变化。他们的设计不断推陈出新最终形成了一种被称为 ASIMOAdvanced Step in Innovative MObility的仿人机器人。近 20 年来本田的机器人被广泛认为代表了行走机器人的技术水平尽管现在有许多机器人的设计和性能与 ASIMO 非常相似。我们将在讨论行走算法时花精力了解 ASIMO 的一些细节......现在我只想让大家熟悉 ASIMO 动作的外观和感觉 [立即观看下面的 ASIMO 视频]。 walking_while_avoiding_people 我希望您的第一反应是对 ASIMO 动作的质量和多样性感到难以置信。现在再看一看。虽然动作非常流畅但 ASIMO 的步态有些不自然。感觉有点像宇航员被沉重的太空服所束缚。事实上这是一个合理的比喻... ASIMO 的行走方式有点像不熟悉自己动态的人。它的控制系统使用高增益反馈因此需要相当大的关节扭矩以抵消机器的自然动力严格遵循所需的轨迹。这种控制方法带来了严重的代价。ASIMO 所消耗的能量按比例计算大约是人类在平地上行走所消耗能量的 20 倍按运输成本计算[1]。此外这种方法中的控制稳定功能只在状态空间相对较小的部分当站立脚平放在地面上时起作用因此 ASIMO 无法像人类一样快速移动也无法在未建模或不平坦的地形上行走。 相比之下我们现在来看看一种截然不同的行走机器人它被称为被动动态行走器PDW。这种 机器人 没有电机没有控制器也没有电脑但仍能仅靠重力在一个小斜坡上稳定行走 [立即观看上面的视频]。大多数人都会同意这种机器的被动步态比 ASIMO 的步态更自然当然也更有效率。被动行走机器的历史悠久早在 19 世纪中期就有被动行走玩具的专利。我们将详细讨论人们对这些机器动力学的了解以及已经取得的实验成果。史蒂夫-柯林斯在康奈尔大学安迪-鲁伊纳的实验室里制造了迄今为止最令人印象深刻的被动动态行走器[2]。 robot robot 被动式步行器证明在 ASIMO 上采用的高增益、动态消除反馈方法并非必要。事实上行走的动态效果非常好应该加以利用而不是抵消。 世界才刚刚开始看到这一愿景的模样。波士顿动力公司的这段视频是我最喜欢的视频之一 这一结果堪称工程学的奇迹仅机械设计就令人惊叹......。在这门课上我们将向你传授使机器人以这种方式运行所需的计算工具。我们还将尝试推理这些类型的动作有多稳健。别担心如果你没有一个超级轻便、超级能干、超级耐用的人形机器人那么我们会为你提供一个模拟器。
1.2 鸟类与现代飞机 在一种截然不同的机器上故事却惊人地相似。现代飞机在静止的空气中进行稳定的水平飞行非常有效。螺旋桨能非常有效地产生推力而且当今的凸面机翼已针对速度和/或效率进行了高度优化。我们很容易就会相信我们已经没有什么可以向鸟类学习的了。但是就像 ASIMO 一样这些机器大多局限于非常保守的、低攻击角的飞行状态在这种状态下机翼上的空气动力学原理非常清楚。鸟类经常在这一飞行范围之外例如当它们在栖木上着陆时执行机动动作在利用空中能量例如风方面它们比我们最好的飞机要有效得多。 因此鸟类是效率极高的飞行器有些鸟类能用极少的燃料进行数千公里的迁徙。游荡的信天翁可以在不拍打翅膀的情况下飞行数小时甚至数天--这些鸟类利用风在海面上形成的剪切层进行一种叫做动态翱翔的飞行。值得注意的是这些鸟类飞行的代谢成本与基线代谢成本没有区别[3]这表明它们几乎可以完全依靠风的梯度来飞行不可思议的距离逆风或顺风。其他鸟类通过与空气进行类似的丰富互动来提高效率包括编队飞行、热翱翔和山脊翱翔。小型鸟类和大型昆虫如蝴蝶和蝗虫利用 阵风翱翔 主要依靠风力迁徙数百甚至数千公里。 鸟类的机动性也令人难以置信。高度杂技飞机如 A-4 天鹰的滚转速率约为 720 度/秒[4]谷仓燕的滚转速率超过 5000 度/秒[4]。蝙蝠能以全速朝一个方向飞行并在保持前进速度的同时完全逆转方向而这一切只需两个多拍翼距离不到翼展的一半[5]。虽然来自机动飞行的定量流动可视化数据很少但一种主流理论认为这些动物产生突发性巨大机动力的能力可归因于不稳定空气动力学例如动物产生巨大的吸力涡旋以快速改变方向[6]。这些令人惊叹的能力经常被用于翱翔栖息、捕捉猎物以及在森林和洞穴中高速飞行等动作。即使是在高速和高转弯率的情况下这些动物也能表现出惊人的敏捷性--蝙蝠有时会用翅膀捕捉猎物游隼可以在以 240 英里/小时的速度俯冲时以 25 G 的速度在飞行途中抓住一只麻雀[7]甚至可以看到我们楼外的小鸟俯冲穿过链条栅栏捕食。 尽管已经记录了许多有关鸟类飞行的令人印象深刻的数据但我们的理解部分受限于实验的可及性--要在不打扰鸟类的情况下仔细测量鸟类及周围气流最令人印象深刻的动作是相当困难的。游鱼的动态与此密切相关也更便于研究。据了解海豚能以 20 海里的速度在波浪中优雅地游过[6]。众所周知蓝鳃太阳鱼等体型较小的鱼类具有一种逃逸反应它们能在不到一个体长的时间内将自己从静止状态推进到全速状态流动视觉效果确实证实这是通过沿着鱼体一侧形成一个巨大的吸力漩涡来实现的[8]--这与蝙蝠在不到一个体长的时间内改变方向的方式类似。甚至还观察到死鱼通过从圆柱体的尾流中吸取能量逆流而上的现象这种被动推进的方式可能是虹鳟在交配季节逆流而上的技术之一[9]。
1.3 机械臂 尽管机械臂在工业应用领域取得了长期的成功在消费应用领域也有着巨大的潜力但我们仍然没有能够在家中执行任何有意义任务的机械臂。诚然家用机器人的感知问题使用传感器检测/定位物体并理解场景非常困难。但是即使我们拥有了完美的感知系统我们的机器人要像人类一样灵巧、多才多艺地执行基本的物体操作任务仍然有很长的路要走。 如今大多数进行物体操作的机器人都使用一种刻板的管道。首先我们列举手部的几个接触点这些点也只有这些点才允许与世界接触。然后给定环境中的一个局部物体为手臂规划一条无碰撞轨迹将手移动到 预抓 位置。此时机器人会闭上眼睛比喻并合上手希望预抓取位置足够好这样就能成功抓取物体例如只通过手指的电流反馈就能知道何时停止合手。动力不足的手 使这种方法更加成功但整个方法实际上只适用于包围式抓取。 实际上包络抓取方法对于一些简单的拾取和放置任务来说可能是足够的但它并不能很好地代表人类是如何进行操纵的。当人类操纵物体时与物体和世界的接触互动是非常丰富的--我们经常使用环境的碎片作为固定物来减少不确定性我们通常利用滑动行为例如拿起东西或在手中调整方向而且如果我们使用手臂的整个表面来操纵一个大物体我们的大脑也不会产生 NaNs。 最近几年计算机视觉领域的巨大进步彻底打开了这一领域。我开始将自己的研究重点放在操纵领域的问题上。在操纵领域动态和感知之间的交互非常丰富。因此我开设了一套完全独立的操纵笔记和第二门课程。 顺便说一句在大多数情况下如果机器人未能在预期的接触时间/地点进行接触就会发生糟糕的事情。结果既搞笑又令人沮丧。(让我们来解决这个问题吧。
1.4 共同的主题 经典的机器人控制技术基于这样一种理念即反馈控制可以用来控制机器的动态。与此相反我在上面所举的例子表明要使我们的机器人获得出色的动态性能效率、灵活性和鲁棒性我们需要了解如何设计控制系统来利用动态性能而不是抵消动态性能。这就是本课程的主题。 令人惊讶的是机器人学中提出的许多正式控制思想并不支持 利用 动态的想法。最优控制公式我们将深入研究原则上允许这样做但非线性系统的最优控制仍然是一个具有挑战性的问题。在我开始写这些笔记的时候我曾开玩笑说要说服机器人控制研究人员考虑动力学问题你必须采取一些激烈的行动比如剥夺她的控制权--移除电机或强制执行扭矩限制。这种有趣的系统被称为 欠驱动 系统。正是在 欠驱动机器人学 领域开始了对我所倡导的控制类型的研究。
二、定义 根据牛顿的观点机械系统的动力学是二阶的。其状态由位置向量 q也称为配置向量和速度向量 以及可能还有时间给出。二阶控制动力系统的一般形式是 其中 是控制向量。
定义 1.1 欠驱动控制微分方程 二阶控制微分方程描述如下 在状态 和时间 t 中如果所得到的映射 是可射的对于每一个 都存在一个能产生预期响应的 那么系统就是全驱动的。否则就是欠驱动状态 在时间 t。 正如我们将要看到的我们所关心的许多机器人的动力学原理都是指令转矩的仿射因此让我们来考虑一种略微受限的形式
方程2 对于方程描述的控制动力系统如果我们有 则系统在 处处于欠驱动状态。不过这只是单向的 —— 有时我们会写出看起来像 2 的方程并具有全秩 但 等附加约束也会使系统欠动。 还请注意我们在此使用系统一词来描述数学模型可能是物理机器人的数学模型。当我们说系统驱动不足时我们指的是数学模型。试想一个带有两个执行器的双链节机器人一个带有刚性链节的典型模型可能是完全驱动的但如果我们增加额外的自由度来模拟链节中的少量柔性那么这个系统模型就可能是欠驱动的。这两个模型描述的是同一个机器人但保真度不同。两个执行器可能足以完全控制关节角度但却无法控制关节角度和链接的弯曲模式。 请注意控制系统是否欠驱动可能取决于系统的状态甚至取决于时间不过对于大多数系统包括本书中的所有系统来说欠驱动是模型的全局属性。如果一个模型在所有状态和时间下都处于欠驱动状态我们就将其称为欠驱动模型。在实践中只要系统在大多数状态下是完全驱动的我们通常非正式地将其称为完全驱动系统例如完全驱动 系统可能仍然存在关节限制或在运动学奇点处失去秩。不可否认这允许灰色区域的存在在灰色区域中将模型描述为完全驱动或未完全驱动我们应该只描述其状态可能会让人感觉别扭即使是工厂车间里功能强大的机械臂也有驱动器限制但我们通常可以为它们设计控制器就好像它们是完全驱动的一样。本文的主要关注点在于欠驱动对于制定控制策略非常有用/必要的模型。
例1.1 机械臂 简单双摆 请看上图中的简单机器人机械手。如附录所述该系统的运动方程非常简单采用标准的 机械手方程 形式 众所周知惯性矩阵 始终是均匀对称和正定的因此是可逆的。将该系统转化为方程形式即可得到 由于 总是满秩我们发现如果且仅如果 是行满秩机械手方程描述的系统就是全驱动的。在这个特殊的例子中和 关节处的电机扭矩和 系统完全驱动。
Python 示例 我个人认为当我能够进行实验并获得一些物理直觉时我的学习效果最好。这些笔记中的大多数章节都有一个可在 Deepnote 上运行的相关 Jupyter 笔记本本章的笔记本可让您轻松查看该系统的运行情况。 试试看您将看到如何模拟双摆甚至如何用符号检查动态。 注意您也可以在自己的机器上运行代码详情请参见附录。 虽然基本的双摆锤是完全驱动的但想象一下有点奇怪的情形我们在肘部有一个提供扭矩的电机但在肩部没有电机。在这种情况下我们有 和 。这个系统显然驱动不足。虽然这听起来像是一个臆造的例子但事实证明它几乎就是我们将在本课稍后研究的最简单的行走模型。 方程 2 中的矩阵 总是有 dim 行和 dim 列。因此正如示例中的情况一样最常见的欠动情况之一是 dim dim 这就意味着 不是全行秩。当机器人的关节没有电机时就会出现这种情况。但这并不是唯一的情况。例如人体拥有数量惊人的致动器肌肉在许多情况下每个关节拥有多块肌肉尽管驱动器的数量多于位置变量但当我在空中跳跃时没有任何肌肉输入组合能改变我质心的弹道轨迹空气动力效应除外。我的控制系统动力不足欠驱动。 关于符号的简要说明。在本课描述刚体系统动力学时我将使用 表示构型位置、 表示速度并用 表示完整状态 ( ). 附录中描述了这一约定的一个重要限制三维角速度不应表示为三维姿态的导数但这将使注释更加简洁。除非另有说明矢量总是作为列矢量处理。向量和矩阵用粗体表示标量不用粗体表示。
三、反馈等效 全驱动系统要比欠驱动系统更容易控制。关键的一点是对于已知动力学的全作用系统如 和 是已知的可以利用反馈将任意控制问题有效地转变为控制一个微小线性系统的问题。 如果 不是行满秩例如每个关节有多个执行器那么这个逆可能不是唯一的。考虑潜在的非线性反馈控制 其中 是新的控制输入控制器的输入。将此反馈控制器应用于方程 得到线性、解耦、二阶系统 换句话说如果 和 是已知的并且 是可逆的那么我们就说该系统 反馈等效 于 。有许多强大的结果将这一想法推广到了 和 是估计和而非已知的情况例如 [10]。
例1.2 双摆的反馈消除 比方说我们希望我们的简单双摆能像简单单摆带阻尼一样运动其动力学原理如下 使用以下方法即可轻松实现 由于我们嵌入的是非线性动力学而非线性动力学因此我们称之为 反馈消除 或 动态反转。这个想法揭示了为什么我说控制很容易 —— 对于已知动力学的全动确定性系统这种特殊情况。例如我本来可以很容易地反转重力。请注意如果机器人有 100 个关节这里的控制推导也不会更难。 您可以在笔记本中运行这些示例 一如既往我强烈建议您花几分钟时间通读源代码。 因此与全驱动系统不同控制设计者别无选择只能在控制设计中对被控对象更复杂的动态进行推理。如果这些动态是非线性的就会使反馈控制器的设计变得非常复杂。 一个相关的概念是反馈线性化。上例中的反馈消除控制器就是反馈线性化的一个例子 —— 利用反馈将非线性系统转换为可控线性系统。询问一个系统是否 可反馈线性化 并不等于询问它是否欠动即使是可控线性系统也可能欠动这一点我们很快就会讨论。 也许你的背景是优化或机器学习而不是线性控制对于你来说我可以说对于全动系统可以直接改变变量从而使优化图对于许多控制性能目标而言成为凸图。这些系统的优化/学习相对容易。对于欠驱动系统我们仍然可以利用力学来改善优化状况但这需要更多的洞察力。开发这些洞察力是本笔记的主题之一也将继续是一个活跃的研究领域。
四、输入和状态约束 虽然由于缺少执行器而造成的动态限制当然体现了本课程的核心但我们关心的许多系统也可能受到其他动态限制。例如我们机器上的执行器可能只能产生有限的机械力矩或者在自由空间中存在物理障碍物我们不能允许机器人与之接触。
定义 1.2 输入和状态约束 描述的动力系统可能受到一个或多个 描述的约束。 在实践中将仅取决于输入如 的约束条件如驱动器限制分离出来可能很有用因为它们往往比状态约束条件更容易处理。环境中的障碍物可能会表现为一个或多个仅取决于位置如 的约束条件。 根据我们对 欠驱动 的广义定义我们可以看出输入约束肯定会导致系统欠驱动。状态仅约束则更为微妙 —— 一般来说这些约束实际上降低了状态空间的维度因此需要更少维度的驱动来实现 完全 控制但我们只有在能够以 最小坐标 进行控制设计的情况下才能从中获益而这通常是很困难的。
例1.3 输入限制 考虑受约束的二阶线性系统 根据我们的定义这个系统是欠驱动的。例如没有 能产生加速度 . 输入和状态约束会使控制设计复杂化其方式与执行器数量不足类似即进一步限制了可行轨迹集通常需要类似的工具来找到控制解决方案。
4.1 非整体约束 您可能听说过 非全局系统nonholonomic system一词参见文献[11]并正在思考非全局系统与欠驱动的关系。简而言之非整体性约束是一种形式为 的约束它无法与形式为 的约束整体性约束整合在一起。非整体约束并不限制系统的可能配置而是限制达到这些配置的方式。整体约束会将系统的自由度减少一个而非整体约束则不会。汽车或传统的轮式机器人就是一个典型的例子
例 1.4 轮式机器人
考虑一个轮式机器人的简单模型其配置由笛卡尔位置 和方位 来描述因此 。 该系统受到防止侧滑的差分约束、 或等同于 这种约束不能被整合到配置约束中 —— 汽车可以到达任何配置 只是不能直接侧向移动--因此这是一种非整体性约束。 将轮式机器人与火车轨道上的机器人进行对比。火车轨道对应的是整体约束轨道约束可以直接写成系统配置 而无需使用速度 。轨迹约束了系统的可能配置。 轮式车辆上的无侧滑约束等非整体力学约束肯定会导致系统驱动不足。反之亦然--缺少驱动器的双摆系统虽然致动不足但通常不会被称为非整体力学系统。请注意拉格朗日运动方程的约束形式为 因此不符合非整体约束条件。
五、欠驱动机器人技术 如今欠驱动系统的控制设计在很大程度上依赖于优化和最优控制在基于模型的优化和控制的机器学习方面进展迅速但仍有许多问题有待解决。现在正是学习这方面知识的大好时机现在计算机视觉已经开始发挥作用我们可以向大型语言模型询问机器人应该做什么的高级指令例如聊天 GPT给我如何制作披萨的详细指令但我们在机器人学中仍有许多有趣的问题这些问题仍然很难解决因为它们是欠驱动的 足式机器人是欠驱动的。 考虑一个具有 个内部关节和 个执行器的腿式机器人。如果机器人不是用螺栓固定在地面上那么系统的自由度既包括内部关节也包括定义机器人在空间中的位置和方向的六个自由度。由于 n 和 n因此满足公式 n。 (大多数游泳和飞行机器人的驱动力不足。这里的情况与腿式机器人相同。每个控制面都会增加一个致动器和一个 DOF。这已经是一种简化因为系统的真实状态应该包括无限维的流动状态。 机器人操纵通常是欠驱动的。考虑一个全驱动机械臂。当机械臂操纵一个具有自由度的物体时即使一块砖头也有六个自由度它可能会出现欠动。如果力闭合得以实现并保持那么我们就可以认为该系统是完全致动的因为物体的自由度受限于手的自由度。当然除非被操纵物体具有额外的自由度例如任何可变形的物体。 即使是全驱动和无约束系统的控制系统也可以利用欠驱动系统的经验加以改进尤其是在需要提高运动效率或降低设计复杂度的情况下。
六、课程目标 本课程研究优化理论、控制理论、运动规划和机器学习中快速发展的计算工具这些工具可用于设计欠驱动系统的反馈控制。本课程的目标是开发这些工具以便设计出比当前最先进技术更动态、更敏捷的机器人。
这门课的目标受众包括计算机科学和机械/航空专业从事机器人研究的学生。虽然我假定学生对线性代数、ODE 和 Python 比较熟悉但课程说明旨在提供课程所需的大部分材料和参考资料。 我得坦白一件事 实际上我认为我们在这些笔记中涉及的材料的价值远远超出了机器人学。我认为系统理论为组织极其复杂系统的计算提供了一种强大的语言尤其是当人们试图编程和/或分析反馈回路中具有连续变量的系统时顺便说一句这种情况在整个计算机科学和工程中都会发生。我希望你能发现这些工具具有广泛的实用性即使你眼前没有一个能够后空翻的仿人机器人。
七、练习
7.1 Atlas Backflip Atlas doing a backflip and Atlas standing. 在本章开头您已经看到阿特拉斯人形机器人在做后空翻动作。现在请看上图中机器人的两种状态。假设 Atlas 的致动器可以产生无约束力矩 请确定以下陈述是否为真。请简要说明理由。
仿人机器人的状态可以用其所有关节的角度和角速度来表示。在做后空翻动作时左图中的状态仿人机器人完全处于活动状态。站立时右图中的状态人形完全处于活动状态。
7.2 状态空间中的轨迹跟踪 取一个动力学受方程 2 控制的机器人假设它在所有时间 t 的所有状态 下都是完全驱动的。 对于任何两次可变的期望轨迹 是否总能找到一个控制信号 使 在所有 条件下都符合 和 现在来看看最简单的全驱动机器人双积分器。这个系统的动力学方程为 你可以把它想象成一个质量为 的小车在直轨上移动由力 u 控制。下图描述了当 u0 时的相位图。是否可能找到一个控制信号 使双积分器从初始状态 沿直线蓝色轨迹到达原点如果我们将 设为 红色轨迹答案会改变吗 7.3 双摆的任务空间控制 在上面的例子中我们已经看到每个关节都有一个电机的双摆是一个全驱动系统。在此我们考虑它的一个变体我们不使用肩部和肘部的执行器来控制机器人而是直接对质量块 第二连杆的顶端施加一个力。让 成为这个力的水平分量向右为正和垂直分量向上为正。这一修改使得附录示例中推导出的运动方程几乎保持不变唯一的区别是矩阵 现在是 的函数即使用附录中的 使用新控制输入的双摆是否在所有状态下都是完全驱动的如果不是请指出哪些状态下双摆处于欠动状态。
7.4 平面四旋翼飞行器的欠驱动 在课程的后半部分我们将对四旋翼飞行器的动力学进行深入研究目前只需查看平面四旋翼飞行器部分的运动方程结构。四旋翼飞行器受限在垂直面内运动重心向下。配置向量 包含质心位置和俯仰角。控制输入是两个旋翼产生的推力 。输入 u 可以有两种符号并且没有限制。 确定系统处于欠激励状态 的状态集。 对于系统处于欠驱动的所有状态找出一个无法瞬间达到的加速度。使用运动方程对您的主张进行严格证明将候选加速度插入动力学中并尝试找出矛盾之处如 。
7.5 Drake 系统
课程软件 Drake 为动力系统提供了强大的建模语言。本笔记本中的练习将帮助您编写第一个 Drake 系统。 八、Python 示例
8.1 导入包
import matplotlib.pyplot as plt
import mpld3
import numpy as np
from IPython.display import Markdown, display
from pydrake.all import (AddMultibodyPlantSceneGraph,DiagramBuilder,Expression,LogVectorOutput,MakeVectorVariable,MeshcatVisualizer,MultibodyPlant,Parser,RigidTransform_,Simulator,SpatialInertia_,StartMeshcat,ToLatex,UnitInertia_,Variable,VectorSystem,
)from underactuated import (ConfigureParser,ManipulatorDynamics,running_as_notebook,
)if running_as_notebook:mpld3.enable_notebook()
# Start the visualizer (run this cell only once, each instance consumes a port)
meshcat StartMeshcat() 8.2 双摆动力学
第一个单元举例说明如何运行模拟并将结果制成动画
def double_pendulum_demo():# Set up a block diagram with the robot (dynamics) and a visualization block.builder DiagramBuilder()plant, scene_graph AddMultibodyPlantSceneGraph(builder, time_step0.0)# Load the double pendulum from Universal Robot Description Formatparser Parser(plant)ConfigureParser(parser)parser.AddModelsFromUrl(package://underactuated/models/double_pendulum.urdf)plant.Finalize()builder.ExportInput(plant.get_actuation_input_port())MeshcatVisualizer.AddToBuilder(builder, scene_graph, meshcat)meshcat.Set2dRenderMode(xmin-2.8, xmax2.8, ymin-2.8, ymax2.8)logger LogVectorOutput(plant.get_state_output_port(), builder)diagram builder.Build()# Set up a simulator to run this diagramsimulator Simulator(diagram)if running_as_notebook:simulator.set_target_realtime_rate(1.0)# Set the initial conditionscontext simulator.get_mutable_context()context.SetContinuousState([1.0, 1.0, 0.0, 0.0]) # (theta1, theta2, theta1dot, theta2dot)diagram.get_input_port(0).FixValue(context, [0.0, 0.0]) # Zero input torques# Simulatesimulator.AdvanceTo(10.0)# Plot the resultsplt.figure()fields [shoulder, elbow]log logger.FindLog(context)for i in range(2):plt.subplot(2, 1, i 1)plt.plot(log.sample_times(), log.data()[(i, i 2), :].transpose())plt.legend([position, velocity])plt.xlabel(t)plt.ylabel(fields[i])plt.grid(True)display(mpld3.display())double_pendulum_demo()
值得一看的是描述机器人的文件。URDF 和 SDF 是两种标准格式它们甚至可以用来描述非常复杂的机器人如波士顿动力公司的仿人机器人。
?xml version1.0?robot xmlnshttp://drake.mit.eduxmlns:xsihttp://www.w3.org/2001/XMLSchema-instancexsi:schemaLocationhttp://drake.mit.edu ../../doc/drakeURDF.xsd nameSimpleDoublePendulummaterial nameblackcolor rgba0 0 0 1 //materialmaterial nameMITredcolor rgba.6 .2 .2 1 //materiallink namebaseinertialorigin xyz0 0 0 /mass value0.01 /inertia ixx0 ixy0 ixz0 iyy0 iyz0 izz0 //inertial/linkjoint namebase_weld typefixedparent linkworld /child linkbase //jointlink nameupper_arminertial origin xyz0 0 -1 rpy0 0 0 /mass value1 /inertia ixx0 ixy0 ixz0 iyy0 iyz0 izz0/ /inertialvisualorigin xyz0 0 -.5 rpy0 0 0 /geometrycylinder length1 radius.01 //geometrymaterial nameblack //visual visualorigin xyz0 0 -1/geometrysphere radius.1//geometrymaterial nameMITred //visual/linkjoint nameshoulder typecontinuousparent linkbase/child linkupper_arm /axis xyz0 1 0 //jointtransmission typeSimpleTransmission nameshoulder_transactuator nameshoulder /joint nameshoulder /mechanicalReduction1/mechanicalReduction/transmissionlink namelower_arminertial origin xyz0 0 -1 rpy0 0 0 /mass value1 /inertia ixx0 ixy0 ixz0 iyy0 iyz0 izz0/ /inertialvisualorigin xyz0 0 -.5 rpy0 0 0 /geometrycylinder length1 radius.01 //geometrymaterial nameblack //visual visualorigin xyz0 0 -1/geometrysphere radius.1//geometrymaterial nameMITred //visual/linkjoint nameelbow typecontinuousparent linkupper_arm/origin xyz0 0 -1 /child linklower_arm /axis xyz0 1 0 //jointtransmission typeSimpleTransmission nameelbow_transactuator nameelbow /joint nameelbow /mechanicalReduction1/mechanicalReduction/transmission/robot
8.3 检查动力学机械手方程
我们还可以使用 Drake 来评估操纵器方程。 首先我们将评估特定机器人为质量、链路长度等分配数值和特定机器人状态下的操纵器方程。
plant MultibodyPlant(time_step0)
parser Parser(plant)
ConfigureParser(parser)
parser.AddModelsFromUrl(package://underactuated/models/double_pendulum.urdf)
plant.Finalize()# Evaluate the dynamics numerically
q [0.1, 0.1]
v [1, 1]
(M, Cv, tauG, B, tauExt) ManipulatorDynamics(plant, q, v)
display(Markdown($M ToLatex(M, precision2) $))
display(Markdown($Cv ToLatex(Cv, precision2) $))
display(Markdown($\\tau_G ToLatex(tauG, precision2) $))
display(Markdown($B ToLatex(B, precision2) $))
display(Markdown($\\tau_{ext} ToLatex(tauExt, precision2) $))
Drake 在支持符号计算使用浮点系数方面也相当独特。 下面是一个打印双摆符号动力学的例子。 (如果你曾经写出过机器人的方程式你就会知道它们很快就会变得复杂。
# Evaluate the dynamics symbolically
def SymbolicManipulatorEquations():plant MultibodyPlant(time_step0)parser Parser(plant)ConfigureParser(parser)parser.AddModelsFromUrl(package://underactuated/models/double_pendulum.urdf)plant.Finalize()sym_plant plant.ToSymbolic()sym_context sym_plant.CreateDefaultContext()# State variablesq MakeVectorVariable(2, q)v MakeVectorVariable(2, v)vd MakeVectorVariable(2, \dot{v})# Parametersm MakeVectorVariable(2, m)l MakeVectorVariable(2, l)# TODO: pending https://github.com/RobotLocomotion/drake/issues/17245# g Variable(g)# sym_plant.mutable_gravity_field().SetGravityVector(sym_context, [0, 0, -g])upper_arm sym_plant.GetBodyByName(upper_arm)inertia SpatialInertia_[Expression](m[0],[0, 0, -l[0]],UnitInertia_[Expression](l[0] * l[0], l[0] * l[0], 0),)upper_arm.SetSpatialInertiaInBodyFrame(sym_context, inertia)lower_arm sym_plant.GetBodyByName(lower_arm)inertia SpatialInertia_[Expression](m[1],[0, 0, -l[1]],UnitInertia_[Expression](l[1] * l[1], l[1] * l[1], 0),)lower_arm.SetSpatialInertiaInBodyFrame(sym_context, inertia)elbow_frame sym_plant.GetJointByName(elbow).frame_on_parent()elbow_frame.SetPoseInParentFrame(sym_context, RigidTransform_[Expression]([0, 0, -l[0]]))(M, Cv, tauG, B, tauExt) ManipulatorDynamics(sym_plant, q, v, sym_context)display(Markdown($M ToLatex(M, precision2) $))display(Markdown($Cv ToLatex(Cv, precision2) $))display(Markdown($\\tau_G ToLatex(tauG, precision2) $))display(Markdown($B ToLatex(B, precision2) $))display(Markdown($\\tau_{ext} ToLatex(tauExt, precision2) $))SymbolicManipulatorEquations()
我们使用类似的机制来支持自动区分我们很快就会看到这方面的例子
8.4 双摆的反馈消除
像单摆一样行动 首先我们将简单控制器作为一个系统来实现该系统接收摆锤状态并输出电机扭矩。
class Controller(VectorSystem):Defines a feedback controller for the double pendulum.The controller applies torques at the joints in order to:1) cancel out the dynamics of the double pendulum,2) make the first joint swing with the dynamics of a single pendulum, and3) drive the second joint towards zero.The magnitude of gravity for the imposed single pendulum dynamics is takenas a constructor argument. So you can do fun things like pretending thatgravity is zero, or even inverting gravity!def __init__(self, multibody_plant, gravity):# 4 inputs (double pend state), 2 torque outputs.VectorSystem.__init__(self, 4, 2)self.plant multibody_plantself.g gravitydef DoCalcVectorOutput(self, context, double_pend_state, unused, torque):# Extract manipulator dynamics.q double_pend_state[:2]v double_pend_state[-2:](M, Cv, tauG, B, tauExt) ManipulatorDynamics(self.plant, q, v)# Desired pendulum parameters.length 2.0b 0.1# Control gains for stabilizing the second joint.kp 1kd 0.1# Cancel double pend dynamics and inject single pend dynamics.torque[:] (Cv- tauG- tauExt M.dot([self.g / length * np.sin(q[0]) - b * v[0],-kp * q[1] - kd * v[1],]))def simulate(gravity-9.8):builder DiagramBuilder()plant, scene_graph AddMultibodyPlantSceneGraph(builder, time_step0.0)# Load the double pendulum from Universal Robot Description Formatparser Parser(plant)ConfigureParser(parser)parser.AddModelsFromUrl(package://underactuated/models/double_pendulum.urdf)plant.Finalize()controller builder.AddSystem(Controller(plant, gravity))builder.Connect(plant.get_state_output_port(), controller.get_input_port(0))builder.Connect(controller.get_output_port(0), plant.get_actuation_input_port())MeshcatVisualizer.AddToBuilder(builder, scene_graph, meshcat)meshcat.Set2dRenderMode(xmin-2.8, xmax2.8, ymin-2.8, ymax2.8)diagram builder.Build()# Set up a simulator to run this diagramsimulator Simulator(diagram)if running_as_notebook:simulator.set_target_realtime_rate(1.0)# Set the initial conditionscontext simulator.get_mutable_context()context.SetContinuousState((1.0, 0.0, 0.2, 0.0)) # (θ₁, θ₂, θ̇₁, θ̇₂)# Simulatesimulator.AdvanceTo(3.0)
如果我们用默认参数重力 -9.8m/s来模拟这个系统那么我们的双摆就会像单摆一样。
simulate() 但是如果我们已经走到了这一步我们几乎可以用任何东西来取代动力学。 例如只需一个简单的改动我们就能利用反馈消除来反转重力
simulate(gravity9.8)
References
Steven H. Collins and Andy Ruina and Russ Tedrake and Martijn Wisse, Efficient bipedal robots based on passive-dynamic walkers, Science, vol. 307, pp. 1082-1085, February 18, 2005. [ link ]Steven H. Collins and Martijn Wisse and Andy Ruina, A Three-Dimensional Passive-Dynamic Walking Robot with Two Legs and Knees, International Journal of Robotics Research, vol. 20, no. 7, pp. 607-615, July, 2001.J.P.Y. Arnould and D.R. Briggs and J.P. Croxall and P.A. Prince and A.G. Wood, The foraging behaviour and energetics of wandering albatrosses brooding chicks, Antarctic Science, vol. 8, no. 3, pp. 229-236, 1996.Wei Shyy and Yongsheng Lian and Jian Teng and Dragos Viieru and Hao Liu, Aerodynamics of Low Reynolds Number Flyers, Cambridge University Press , 2008.Xiaodong Tian and Jose Iriarte-Diaz and Kevin Middleton and Ricardo Galvao and Emily Israeli and Abigail Roemer and Allyce Sullivan and Arnold Song and Sharon Swartz and Kenneth Breuer, Direct measurements of the kinematics and dynamics of bat flight, Bioinspiration \ Biomimetics, vol. 1, pp. S10-S18, 2006.Michael S. Triantafyllou and George S. Triantafyllou, An efficient swimming machine, Scientific American, vol. 272, no. 3, pp. 64, March, 1995.Vance A. Tucker, Gliding Flight: Speed and Acceleration of Ideal Falcons During Diving and Pull Out, Journal of Experimental Biology, vol. 201, pp. 403-414, Nov, 1998.Eric D. Tytell and George V. Lauder, Hydrodynamics of the escape response in bluegill sunfish, Lepomis macrochirus, The Journal of Experimental Biology, vol. 211, pp. 3359-3369, 2008.D.N. Beal and F.S. Hover and M.S. Triantafyllou and J.C. Liao and G. V. Lauder, Passive propulsion in vortex wakes, Journal of Fluid Mechanics, vol. 549, pp. 385芒鈧€402, 2006.Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li, Applied Nonlinear Control, Prentice Hall , October, 1990.Anthony Bloch and P. Crouch and J. Baillieul and J. Marsden, Nonholonomic Mechanics and Control, Springer , April 8, 2003.
注这是麻省理工学院一门课程的工作笔记。它们将在 2023 年春季学期中不断更新。
book{underactuated,title Underactuated Robotics,subtitle Algorithms for Walking, Running, Swimming, Flying, and Manipulation,howpublished Course Notes for MIT 6.832,author Tedrake, Russ,year 2023
}
