房山新农村建设网站,江苏网站建设方案,住房城乡建设部举报网站,whois域名查询官网文章目录 经典格言数学习题古今评注拓展学习#xff08;一#xff09;大数定理#xff08;二#xff09;伯努利级数 经典格言
真正的问题#xff0c;不在于机器是否思考#xff0c;而在于人们是否思考。——BF斯金纳#xff08;B. F. Skinner#xff09; BF斯金纳一大数定理二伯努利级数 经典格言
真正的问题不在于机器是否思考而在于人们是否思考。——B·F·斯金纳B. F. Skinner B·F·斯金纳这位行为主义心理学的大师级人物以一句振聋发聩的名言揭示了一个引人深思的观点“真正的问题不在于机器是否思考而在于人们是否思考。”这句话犹如一把锐利的双刃剑一方面切割了对于人工智能过度关注其是否具备“思考”能力的传统迷思另一方面则尖锐地指向了人类自身在信息爆炸时代所面临的认知挑战。 首先斯金纳的这番言论对科技发展的反思可谓一针见血。随着人工智能和机器学习技术的日新月异社会上关于“机器是否会思考”的讨论热度始终居高不下。然而在斯金纳看来这种担忧或许偏离了重点。毕竟机器思考与否并不直接影响到我们作为人类的生活质量和思维深度无论机器多么智能它依然是由人类设计并服务于人类需求的工具。与其纠结于机器能否模拟人类思考不如聚焦于如何利用这些技术更好地提升人类生活和促进社会发展。 其次这句话更是对我们自身的一种警醒。在信息过载的时代背景下便捷的搜索、海量的数据、高效的算法似乎正逐步替代人们的深度思考与独立判断。人们越来越依赖于机器处理信息、解决问题而在这一过程中个体主动思考的习惯和能力却可能在悄然退化。斯金纳提醒我们真正的危机并非来自机器可能拥有的思考能力而是人类自身在知识获取过程中逐渐丧失的批判性思考、创新思维以及道德判断等核心素养。 因此斯金纳的这句名言既是对科技进步的独特洞察又是对人类内在精神世界的深刻关切。他倡导我们在拥抱智能化的同时更应坚守思考的价值保持对世界的好奇心与独立见解使科技发展真正成为推动人类进步而非取代人类智慧的力量源泉。 数学习题 古今评注
伯努利家族这个听起来像是马戏团里高超杂技世家的名字实际上是一个星光熠熠的数学家集群。在17世纪至18世纪的欧洲科学界他们就像是一串璀璨的数学明珠镶嵌在了历史的长河中以其独特的家族竞争和卓越贡献在数学乃至物理学领域留下了深刻的印记。
首先出场的是家族中的两位先驱者——雅各布·伯努利Jacob Bernoulli1654-1705与约翰·伯努利Johann Bernoulli1677-1748兄弟俩虽同出一门却在数学战场上犹如一对激烈的竞争对手。他们在微积分学、概率论等领域你追我赶共同推动了数学的进步。雅各布是“大数定律”的发现者而约翰则在教学和科研上独树一帜他们的学术之争犹如一场没有硝烟的智慧之战为后世留下了丰富的数学遗产。
随后约翰的两个儿子尼古拉·伯努利Nicholas Bernoulli1695-1726和丹尼尔·伯努利Daniel Bernoulli1700-1782继承了家族的数学基因。然而命运似乎给尼古拉开了一个残酷的玩笑他在年仅31岁时因一次不幸的溺水事故英年早逝其数学才华如同流星划过夜空短暂却耀眼。但他的探索精神无疑为家族荣耀增添了一抹悲壮色彩。
相比之下丹尼尔·伯努利则像一颗持久燃烧的恒星他不仅在数学领域成就斐然提出了著名的“伯努利定律”对流体力学做出了重大贡献还涉足统计力学、概率论等多个科学领域。他的智慧之光一直照亮到82岁的高龄直至生命尽头都在孜孜不倦地探索科学的边界。
总之伯努利家族堪称数学界的“梦幻队”他们之间的竞争与合作既有家族亲情的温馨互动又有学术争鸣的激烈碰撞这种独特的家族氛围和不懈追求科学真理的精神使得他们在世界数学史上留下了浓墨重彩的一笔。
拓展学习
一大数定理
大数定理是概率论中的核心理论之一主要描述了在重复独立随机试验中随着试验次数趋于无穷大时事件发生的频率趋于其概率的规律。这个定理包含两种表述形式 弱大数定律Weak Law of Large Numbers, WLLN如果有一个独立同分布的随机变量序列 { X 1 , X 2 , . . . , X n } \{X_1, X_2, ..., X_n\} {X1,X2,...,Xn}且它们的期望值都为同一个常数 μ \mu μ那么当样本容量 n n n 趋向于无穷大时样本均值 ( 1 n ) ⋅ ( X 1 X 2 . . . X n ) \displaystyle\left(\frac{1}{n}\right) \cdot (X_1 X_2 ... X_n) (n1)⋅(X1X2...Xn) 几乎必然地以概率1的方式趋近于 μ \mu μ。这意味着对于任何正数 ε \varepsilon ε样本均值与期望值之差的绝对值大于 ε \varepsilon ε 的概率将随着试验次数增加而趋于零 lim n → ∞ P ( ∣ 1 n ( X 1 X 2 ⋯ X n ) − μ ∣ ε ) 0 \lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{1}{n}(X_1 X_2 \cdots X_n) - \mu\right| \varepsilon\right) 0 n→∞limP(∣∣∣∣n1(X1X2⋯Xn)−μ∣∣∣∣ε)0 强大数定律Strong Law of Large Numbers, SLLN强大数定律比弱大数定律更强硬它表明上述随机变量序列的样本均值以几乎处处收敛即概率1的方式到期望值 μ \mu μ P ( lim n → ∞ 1 n ( X 1 X 2 ⋯ X n ) μ ) 1 P\left(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}(X_1 X_2 \cdots X_n) \mu\right) 1 P(n→∞limn1(X1X2⋯Xn)μ)1 这意味着除了一个概率为零的集合外样本均值对所有的实验结果都将无限接近于 μ \mu μ。
简单来说大数定理告诉我们在进行大量独立重复试验时尽管每次试验的结果可能有波动但长期来看试验结果的平均值会非常稳定地接近某个确定值即该事件的概率或期望值。这一理论在统计推断、保险精算、风险评估等领域具有极其重要的应用价值。
二伯努利级数
伯努利级数Bernoulli series是数学分析中的一个概念它是以瑞士数学家雅各布·伯努利命名的一类幂级数。在微积分学中伯努利多项式是一组特殊的多项式序列每一项伯努利多项式的系数都是伯努利数。
伯努利多项式通常表示为 B n ( x ) B_n(x) Bn(x)其中 n n n 为非负整数 x x x 是一个变量。伯努利多项式的递推公式定义如下 B 0 ( x ) 1 B_0(x) 1 B0(x)1 B 1 ( x ) x − 1 2 B_1(x) x - \frac{1}{2} B1(x)x−21对于 n ≥ 1 n \geq 1 n≥1有 B n 1 ( x ) ( 2 n 1 ) x ⋅ B n ( x ) − n ⋅ B n − 1 ( x ) B_{n1}(x) (2n 1)x \cdot B_n(x) - n \cdot B_{n-1}(x) Bn1(x)(2n1)x⋅Bn(x)−n⋅Bn−1(x)
相应的伯努利级数指的是伯努利多项式关于 x x x 的泰勒级数展开即 f ( x ) ∑ n 0 ∞ B n ( x ) n ! f(x) \displaystyle \sum_{n0}^{\infty} \frac{B_n(x)}{n!} f(x)n0∑∞n!Bn(x)
其中伯努利数 B n B_n Bn 是常数项对于不同的 n n n 值有不同的数值并且具有丰富的数学特性与应用例如在解决物理问题、计算特殊函数以及在组合数学等领域都有重要应用。
需要注意的是这里的“伯努利级数”有时也特指伯努利数生成函数的级数形式即 ∑ n 0 ∞ B n n ! x n \displaystyle\sum_{n0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n n0∑∞n!Bnxn
这个级数可以用来计算任意阶数的伯努利数。
