电子商务网站开发项目策划书,慈溪企业网站,广告设计自学教程,五个h5制作网站矩阵的谱半径与条件数
2023年11月18日 文章目录 矩阵的谱半径与条件数1. 矩阵的谱半径2. 谱半径与范数的关系3. 矩阵的条件数下链 1. 矩阵的谱半径
定义 设 A ∈ C n n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cnn #xff0c; λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n { \lambda_1,\lambda_2…矩阵的谱半径与条件数
2023年11月18日 文章目录 矩阵的谱半径与条件数1. 矩阵的谱半径2. 谱半径与范数的关系3. 矩阵的条件数下链 1. 矩阵的谱半径
定义 设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cn×n λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n { \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n} λ1,λ2,⋯,λn 是A的特征值则称 ρ ( A ) max 1 ≤ i ≤ n ∣ λ i ∣ \rho(A)\max_{1\le i\le n}| \lambda_i| ρ(A)1≤i≤nmax∣λi∣ 为矩阵 A {A} A 的谱半径。矩阵的谱指的是一个矩阵的特征值的集合。
定理 设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cn×n 则 ρ ( A H ) ρ ( A T ) ρ ( A ) {\rho(A^ \mathrm H)\rho(A^ \mathrm T)\rho(A)} ρ(AH)ρ(AT)ρ(A) ρ ( A k ) [ ρ ( A ) ] k {\rho(A^k)[\rho(A)]^k} ρ(Ak)[ρ(A)]k当 A {A} A 是正规矩阵时 ρ ( A ) ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 {\rho(A) || A ||_{2 }} ρ(A)∣∣A∣∣2 2. 谱半径与范数的关系
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n λ {\lambda} λ 是 A {A} A 的一个特征值 x {x} x 是 A {A} A 属于 λ { \lambda} λ 的特征向量则 A x λ x Ax \lambda x Axλx 对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 中任一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m { || \cdot ||_{m }} ∣∣⋅∣∣m 以及与它相容的向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v { || \cdot ||_{v }} ∣∣⋅∣∣v 有 ∣ λ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ v ∣ ∣ λ x ∣ ∣ v ∣ ∣ A x ∣ ∣ v ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ v | \lambda| \cdot || x ||_{v } || \lambda x ||_{ v} || Ax ||_{ v} \le || A ||_{ } \cdot || x ||_{v } ∣λ∣⋅∣∣x∣∣v∣∣λx∣∣v∣∣Ax∣∣v≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣v 从而 ∣ λ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ | \lambda| \le || A ||_{ } ∣λ∣≤∣∣A∣∣ 于是有如下定理。
定理 ρ ( A ) ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ { \rho(A)\le || A ||_{ }} ρ(A)≤∣∣A∣∣ 其中 ∣ ∣ A ∣ ∣ { || A ||_{ }} ∣∣A∣∣ 是 A {A} A 的任一矩阵范数。 定理 设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cn×n 则任意 ϵ 0 { \epsilon0} ϵ0 必存在 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m { || \cdot ||_{m }} ∣∣⋅∣∣m 使得 ∣ ∣ A ∣ ∣ m ≤ ρ ( A ) ϵ || A ||_{ m} \le \rho(A) \epsilon ∣∣A∣∣m≤ρ(A)ϵ 也就是虽然矩阵范数可能大于谱近谱半径的矩阵半径却又总是存在无限接范数。数值分析中谱半径可以认为是算子范数。 3. 矩阵的条件数
引理 设 P ∈ C n × n {P\in \mathbb C^{n \times n} } P∈Cn×n 若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||_{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ P ∣ ∣ 1 { || P ||_{ }1} ∣∣P∣∣1 则 I − P {I-P} I−P 可逆。 定理 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆 δ A ∈ C n × n { \delta A\in \mathbb C^{n \times n} } δA∈Cn×n 。若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||_{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ 1 { || A^{-1} \delta A ||_{ }1} ∣∣A−1δA∣∣1 则 A δ A {A \delta A} AδA 可逆 ∣ ∣ ( A δ A ) − 1 ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ {|| (A \delta A)^{-1} ||_{ }\le \frac{|| A^{-1} ||_{ }}{1- || A^{-1} \delta A ||_{ }}} ∣∣(AδA)−1∣∣≤1−∣∣A−1δA∣∣∣∣A−1∣∣ ∣ ∣ A − 1 − ( A δ A ) − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ {\frac{||A^{-1}- (A \delta A)^{-1} ||_{ }}{|| A^{-1} ||_{ }} \le \frac{|| A^{-1} \delta A ||_{ }}{1- || A^{-1} \delta A ||_{ }}} ∣∣A−1∣∣∣∣A−1−(AδA)−1∣∣≤1−∣∣A−1δA∣∣∣∣A−1δA∣∣ 矩阵扰动后逆矩阵的相对误差小于右端式子
定义 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||_{ }} ∣∣⋅∣∣ 是 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数称 cond ( A ) ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ \text{cond}(A) || A ||_{ } \cdot || A^{-1} ||_{ } cond(A)∣∣A∣∣⋅∣∣A−1∣∣ 为矩阵 A {A} A 的条件数。
推论 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆 δ A ∈ C n × n { \delta A\in \mathbb C^{n \times n} } δA∈Cn×n 。若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||_{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ 1 { || A^{-1}|| \cdot || \delta A ||_{ }1} ∣∣A−1∣∣⋅∣∣δA∣∣1 则 ∣ ∣ A − 1 − ( A δ A ) − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ cond ( A ) ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 − cond ( A ) ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ \frac{||A^{-1}- (A \delta A)^{-1} ||_{ }}{|| A^{-1} ||_{ }} \le \frac{|| A ||_{ }|| A^{-1} ||_{ }\frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}{1-|| A ||_{ }|| A^{-1} ||_{ }\frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}} \frac{\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}{1-\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}} ∣∣A−1∣∣∣∣A−1−(AδA)−1∣∣≤1−∣∣A∣∣∣∣A−1∣∣∣∣A∣∣∣∣δA∣∣∣∣A∣∣∣∣A−1∣∣∣∣A∣∣∣∣δA∣∣1−cond(A)∣∣A∣∣∣∣δA∣∣cond(A)∣∣A∣∣∣∣δA∣∣
定理 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆 δ A ∈ C n × n { \delta A\in \mathbb C^{n \times n} } δA∈Cn×n b {b} b δ b ∈ C n { \delta b\in \mathbb C^n} δb∈Cn 。若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||_{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ 1 { || A^{-1}|| \cdot || \delta A ||_{ }1} ∣∣A−1∣∣⋅∣∣δA∣∣1 则非齐次线性方程组 A x b 与 ( A δ A ) ( x δ x ) b δ b Axb \,\,\, 与 \,\,\, (A \delta A)(x \delta x)b \delta b Axb与(AδA)(xδx)bδb 的解满足 ∣ ∣ δ x ∣ ∣ v ∣ ∣ x ∣ ∣ v ≤ cond ( A ) 1 − cond ( A ) ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ( ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ δ b ∣ ∣ v ∣ ∣ b ∣ ∣ v ) \frac{|| \delta x ||_{ v}}{|| x ||_{v }}\le \frac{\text{cond}(A) }{1-\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}} \bigg( \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}\frac{|| \delta b ||_{ v}}{||b ||_{ v}} \bigg) ∣∣x∣∣v∣∣δx∣∣v≤1−cond(A)∣∣A∣∣∣∣δA∣∣cond(A)(∣∣A∣∣∣∣δA∣∣∣∣b∣∣v∣∣δb∣∣v) 其中 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v { || \cdot ||_{v }} ∣∣⋅∣∣v 是 C n { \mathbb C^n} Cn 上与矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||_{ }} ∣∣⋅∣∣ 相容的向量范数。 根据函数 f ( x ) x 1 − x f(x) \frac{x}{1-x} f(x)1−xx 的图像当 cond ( A ) { \text{cond}(A)} cond(A) 很大则说求逆或求解线性方程组是病态的。 下链
