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IEEE754 标准是一种用于浮点数表示和运算的标准#xff0c;由国际电工委员会#xff08;IEEE#xff09;制定。它定义了浮点数的编码格式、舍入规则以及基本的算术运算规则#xff0c;旨在提供一种可移植性和一致性的方式来表示和处理浮点数 IEEE754 …1. IEEE754 标准简介
IEEE754 标准是一种用于浮点数表示和运算的标准由国际电工委员会IEEE制定。它定义了浮点数的编码格式、舍入规则以及基本的算术运算规则旨在提供一种可移植性和一致性的方式来表示和处理浮点数 IEEE754 标准定义了两种常见的浮点数格式单精度32位和双精度64位。这些格式使用了符号、阶码指数、尾数的二进制表示形式其中符号表示浮点数的正负指数表示浮点数的数量级而尾数表示浮点数的精度。同时IEEE754 标准还定义了特殊值如正无穷大、负无穷大和 NaN非数值 IEEE754 标准还规定了浮点数的四种基本算术运算加法、减法、乘法和除法。这些运算遵循一定的舍入规则以确保结果在浮点数表示范围内具有最佳的精度和准确性 使用 IEEE754 标准可以提供一种统一的浮点数表示和运算方式使得不同的计算机和编程语言之间可以进行浮点数数据的可靠交换和计算。需要注意的是IEEE754 标准仍然存在一些舍入误差和精度限制因此在进行浮点数运算时需要小心处理并考虑数值精度可能导致的误差问题
2. float 的存储方式
float 占用 32 位的存储空间32 位被分为了如下的三个部分各个部分所占的位数如下图所示右边为低位
符号位符号位为 0 说明该浮点数为正数若为 1 则说明浮点数为负数阶码代表该浮点数被二进制科学表示法规范化后的指数阶码采用移码表示后面会有具体的例子进行讲解尾数被二进制规格化后要求小数点前一位数必须为 1由于所有的浮点数都采用这样的方式进行处理所以尾数中实际隐含了最高位 1例如尾数为 M则实际在还原时相当于是 1.M后面会有具体的例子进行讲解
设一个浮点数的符号存储的二进制为 s阶码为 E尾数为 M 则存储的该浮点数为(-1)s×1.M×2E-偏置值在单精度浮点数中该偏置值为127 还需要注意的是在 IEEE754 中阶码全 0 和全 1 的情况被列为了特殊情况后面的小节会讲到所以阶码实际可以使用的范围为 1~254
2.1 浮点数如何转为 IEEE754 标准
例如现在有十进制数85.125 其中整数部分为85对应二进制为 101 0101 小数部分为0.125对应二进制为 001 所以 85.125 对应的二进制就为101 0101.001 规范化后1.010101001 x 2^6 符号位为0 阶码6127偏置值 133 对应二进制为133 10000101 尾码010101001注意这里的尾码实际上没有包含最高位的 1由于这里没有 23 位后续会补 0 直到尾码有 23 位 IEEE754 标准下的存储二进制为
符号1位阶码8位尾数23位01000 0101010 1010 0100 0000 0000 0000
对应的十六进制数为42 AA 40 00
2.2 IEEE754 标准如何转化为浮点数
现有符合 IEEE754 标准的以十六进制存储的浮点数C1 51 00 00 转为二进制数然后将每一位与之含义对应
符号1位阶码8位尾数23位11000 0010101 0001 0000 0000 0000 0000
其中 s 1 M 101 0001 0000 0000 0000 0000 对应十进制为.6328125需要注意的是这里的数值代表的是小数点后面的数值 E 1000 0010 对应的十进制为 130 然后我们带入上面给出的公式中 (-1)1×1.6328125×2130-127 -1.6328125×23 -1.6328125×8 -13.0625 所以 C1 51 00 00 所代表的浮点数就是 -13.0625
3. double 的存储方式
double 占用 64 位的存储空间64 位被分为了如下的三个部分各个部分所占的位数如下图所示右边为低位 双精度浮点数中该偏置值为1023阶码实际可以使用的范围为 1~2046。其余的存储方式与 float 是一样的这里就不再赘述
4. IEEE754 制定的特殊值
当阶码全为 0
尾数 M 不全为 0 时表示非规格化小数±(0.xxx…xx)×2-126尾数 M 全为 0 时表示真值 ±0
当阶码全为 1
尾数 M 全为 0表示无穷大尾数 M 不全为 0表示数值“NAN”如0/0、∞-∞等
4.1 浮点数的存储范围
有了前面小节的铺垫相信很容易可以求出来 float 的存储范围了首先来寻找 float 可以表示的最大值无穷除外 让符号为 0阶码为 254尾数全部为 1这样我们可以得到下面的二进制
符号1位阶码8位尾数23位01111 1110111 1111 1111 1111 1111 1111
带入公式(-1)0×(2-2-23)×2254-127 (2-2-23)×2127 2128-2104 这个就是 float 可以表示的最大的值只要加上负号就是它可以表示的最小的值 但这还不是我们的目标根据上面的学习我们知道了 float 在靠近 0 的地方其实会有很多的数字不能表示到那么他可以表示的最小/大的规范化正/负数是多少呢 我们来考虑在什么情况下float 可以取到最小规范化正数的值 让符号为 0阶码为 1尾数全部为 0这样我们可以得到下面的二进制
符号1位阶码8位尾数23位00000 0001000 0000 0000 0000 0000 0000
带入公式(-1)0×1.0×21-127 2-126 这个就是 float 可以表示的最小规范化正数的值只要加上负号就是它可以表示的最大规范化负数的值 double类型可以根据上面的方法如法炮制这里就不再赘述具体的范围可以参考下面的表格
格式最小正值最大正值float2-126(2-2-23)×2127double2-1022(2-2-52)×21023
格式最大负值最小负值float(2-23-2)×2127-2-126double(2-52-2)×21023-2-1022
根据上面的表格可以看到浮点数并不是连续的表示数轴上的数准确的说浮点数本身就只能间断的表示某一些数但是我这里所说间断指的是在一大段的范围内浮点数都是无法表示的比如 float 类型从 0~2-126 这一段的数字它就无法进行表示可以参考下面的图示
当发生下溢时会被当做机器零处理发生上溢时会被当做无穷来处理 IEEE754 还制定了浮点数运算的规则有兴趣的读者可以自行查阅本文就不做说明了
