网站建设对于电子商务的意义,绵阳住房和城乡建设厅官方网站,nas wordpress外网,静态网站建设课程设计算法训练DAY24|回溯1
第77题. 组合
力扣题目链接
给定两个整数 n 和 k#xff0c;返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n 4, k 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
上面我们说了要解决 n为100#xff0c;k为50的情况#xff0…算法训练DAY24|回溯1
第77题. 组合
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给定两个整数 n 和 k返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n 4, k 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
上面我们说了要解决 n为100k为50的情况暴力写法需要嵌套50层for循环那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。
递归来做层叠嵌套可以理解是开k层for循环每一次的递归中嵌套一个for循环那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。
此时递归的层数大家应该知道了例如n为100k为50的情况下就是递归50层。
一些同学本来对递归就懵回溯法中递归还要嵌套for循环可能就直接晕倒了
如果脑洞模拟回溯搜索的过程绝对可以让人窒息所以需要抽象图形结构来进一步理解。
我们在关于回溯算法你该了解这些 中说到回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构N叉树用树形结构来理解回溯就容易多了。
那么我把组合问题抽象为如下树形结构 可以看出这棵树一开始集合是 1234 从左向右取数取过的数不再重复取。
第一次取1集合变为234 因为k为2我们只需要再取一个数就可以了分别取234得到集合[1,2] [1,3] [1,4]以此类推。
每次从集合中选取元素可选择的范围随着选择的进行而收缩调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度k相当于树的深度。
那么如何在这个树上遍历然后收集到我们要的结果集呢
图中每次搜索到了叶子节点我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
在关于回溯算法你该了解这些 中我们提到了回溯法三部曲那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。
#回溯法三部曲 递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量一个用来存放符合条件单一结果一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下
vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合
vectorint path; // 用来存放符合条件结果
其实不定义这两个全局变量也是可以的把这两个变量放进递归函数的参数里但函数里参数太多影响可读性所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数既然是集合n里面取k个数那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数为int型变量startIndex这个参数用来记录本层递归的中集合从哪里开始遍历集合就是[1,...,n] 。
为什么要有这个startIndex呢
建议在77.组合视频讲解 (opens new window)中07:36的时候开始听startIndex 就是防止出现重复的组合。
从下图中红线部分可以看出在集合[1,2,3,4]取1之后下一层递归就要在[2,3,4]中取数了那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢靠的就是startIndex。 所以需要startIndex来记录下一层递归搜索的起始位置。
那么整体代码如下
vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合
vectorint path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) 回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢
path这个数组的大小如果达到k说明我们找到了一个子集大小为k的组合了在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
如图红色部分 此时用result二维数组把path保存起来并终止本层递归。
所以终止条件代码如下
if (path.size() k) {result.push_back(path);return;
} 单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程在如下图中可以看出for循环用来横向遍历递归的过程是纵向遍历。 如此我们才遍历完图中的这棵树。
for循环每次从startIndex开始遍历然后用path保存取到的节点i。
代码如下
for (int i startIndex; i n; i) { // 控制树的横向遍历path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i 1); // 递归控制树的纵向遍历注意下一层搜索要从i1开始path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点
}
可以看出backtracking递归函数通过不断调用自己一直往深处遍历总会遇到叶子节点遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了撤销本次处理的结果。
关键地方都讲完了组合问题C完整代码如下
class Solution {
private:vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合vectorint path; // 用来存放符合条件结果void backtracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() k) {result.push_back(path);return;}for (int i startIndex; i n; i) {path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i 1); // 递归path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点}}
public:vectorvectorint combine(int n, int k) {result.clear(); // 可以不写path.clear(); // 可以不写backtracking(n, k, 1);return result;}
}; 时间复杂度: O(n * 2^n) 空间复杂度: O(n)
还记得我们在关于回溯算法你该了解这些 中给出的回溯法模板么
如下
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}
for (选择本层集合中元素树中节点孩子的数量就是集合的大小) {处理节点;backtracking(路径选择列表); // 递归回溯撤销处理结果}
}
对比一下本题的代码是不是发现有点像 所以有了这个模板就有解题的大体方向不至于毫无头绪。
#总结
组合问题是回溯法解决的经典问题我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子就是n为100k为50的话直接想法就需要50层for循环。
从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。
然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构可以直观的看出搜索的过程。
接着用回溯法三部曲逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。
#剪枝优化
我们说过回溯法虽然是暴力搜索但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
在遍历的过程中有如下代码
for (int i startIndex; i n; i) {path.push_back(i);backtracking(n, k, i 1);path.pop_back();
}
这个遍历的范围是可以剪枝优化的怎么优化呢
来举一个例子n 4k 4的话那么第一层for循环的时候从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环从元素3开始的遍历都没有意义了。
这么说有点抽象如图所示 图中每一个节点图中为矩形就代表本层的一个for循环那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话都没有意义都是无效遍历。
所以可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了那么就没有必要搜索了。
注意代码中i就是for循环里选择的起始位置。
for (int i startIndex; i n; i) {
接下来看一下优化过程如下 已经选择的元素个数path.size(); 还需要的元素个数为: k - path.size(); 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) 1开始遍历
为什么有个1呢因为包括起始位置我们要是一个左闭的集合。
举个例子n 4k 3 目前已经选取的元素为0path.size为0n - (k - 0) 1 即 4 - ( 3 - 0) 1 2。
从2开始搜索都是合理的可以是组合[2, 3, 4]。
这里大家想不懂的话建议也举一个例子就知道是不是要1了。
所以优化之后的for循环是
for (int i startIndex; i n - (k - path.size()) 1; i) // i为本次搜索的起始位置
优化后整体代码如下
class Solution {
private:vectorvectorint result;vectorint path;void backtracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() k) {result.push_back(path);return;}for (int i startIndex; i n - (k - path.size()) 1; i) { // 优化的地方path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i 1);path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点}}
public:vectorvectorint combine(int n, int k) {backtracking(n, k, 1);return result;}
};
#剪枝总结
本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化这个优化如果不画图的话其实不好理解也不好讲清楚。
所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构然后可以直观的看出剪枝究竟是剪的哪里。
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