网站首页ico怎么做,网上推广有哪些方法,wordpress设置固定链接后404,wordpress 教学视频白话特征向量 一个方阵 A A A 与列向量 v v v 的乘积会生成一个新的列向量。这个新向量通常与原向量有着不同的方向#xff0c;矩阵在这里代表一个线性变换。然而#xff0c;某些向量会保持其原始方向。我们称这种向量为矩阵 A A A 的特征向量#xff08;eigenvector矩阵在这里代表一个线性变换。然而某些向量会保持其原始方向。我们称这种向量为矩阵 A A A 的特征向量eigenvector。
在本文中我们将探讨特征向量、特征值和矩阵的特征方程。并且以 2 维方阵为例教大家如何计算矩阵的特征向量和特征值。 文章目录 举个例子特征向量的定义特征方程求 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵的特征值利用特征值求特征向量 举个例子
考虑矩阵 T T T: T ( 1 3 2 2 ) T \begin{pmatrix} 1 3 \\ 2 2 \end{pmatrix} T(1232) 如果将矩阵 T T T 乘以向量 ( 2 , 0 ) (2,0) (2,0) 会得到一个新的向量 ( 2 , 4 ) (2,4) (2,4): ( 1 3 2 2 ) ( 2 0 ) ( 2 4 ) \begin{pmatrix} 1 3 \\ 2 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} (1232)(20)(24) 如下图所示。左图中原始向量 ( 2 , 0 ) (2, 0) (2,0) 用青色表示。它还显示了其他几个不同颜色的向量。右图展示了由上述矩阵 T T T 变换后的同一组向量 一般来讲右边每个变换后的向量与左边的原始向量相比其大小和方向都有所不同。
有两个特殊的向量在经过 T T T 矩阵变换后方向不变这两个向量是 ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1) 和 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2) 这些向量被称为 T T T 的特征向量。青色向量 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 被变换为向量 ( 4 , 4 ) (4,4) (4,4)。变换后的向量与原始向量指向相同的方向但长度是原来的 4 4 4 倍。我们说向量 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 是 T T T 的一个特征向量其特征值为 4 4 4。
橙色向量 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2) 被变换为向量 ( 3 , − 2 ) (3,-2) (3,−2)。它指向与原始向量方向完全相反的方向换种说法是说它具有相同的方向但长度为负。向量 ( 3 , − 2 ) (3, -2) (3,−2) 等于 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2) 乘以 − 1 -1 −1因此我们说这个向量也是 T T T 的一个特征向量其特征值为 − 1 -1 −1。
特征向量的定义
我们用下列方程定义特征向量 A v λ v Av \lambda v Avλv 其中 A A A 是一个 n n n 阶方阵上述示例中是一个 2 2 2 阶方阵 v v v 是一个 n n n 阶向量而 λ \lambda λ 是一个标量常数。
如果 v v v 是 A A A 的一个特征向量则 λ \lambda λ 是对应 A A A 的特征向量 v v v 的一个特征值。
通常特征值的个数等于矩阵的阶数因此在前面的示例中有两个特征值因为它是一个 2 2 2 阶矩阵。每个特征值都与一个特征向量相关联但请记住如果 v v v 是一个特征向量那么 v v v 的任何标量倍数也是一个特征向量。重要的只是向量的方向。
此外有时也可能出现合并情况。例如一个 2 2 2 阶矩阵可能只有一个特征值对应于两个不共线的不同特征向量。
特征方程
根据上面定义的特征向量的方程 A v λ v Av \lambda v Avλv我们可以利用单位矩阵来寻找特征值。
单位矩阵是一个方阵其中主对角线上的每个元素都是 1 1 1所有其他元素都是 0 0 0。如果我们用同阶的单位矩阵乘以任何向量 v v v它会使向量保持不变 I v v Ivv Ivv 因此我们可以将原方程右侧的 v v v 替换为 I x Ix Ix方程仍然成立 A v λ I v Av \lambda Iv AvλIv 然后将两项都移到方程的左侧并提取公因子 v v v 整理后得到下面的方程。 ( A − λ I ) v 0 (A-\lambda I)v 0 (A−λI)v0 注意上面方程中 0 0 0 代表零向量而不是标量值 0 0 0。例如如果 v v v 是 2 2 2 阶向量则 0 0 0 表示 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)。
这表明矩阵 ( A − λ I ) (A-\lambda I) (A−λI) 总能将向量 v v v 变换为 0 0 0这意味着其行列式必须为 0 0 0。因此 ∣ A − λ I ∣ 0 \vert A-\lambda I \vert 0 ∣A−λI∣0 这便是矩阵 A A A 的特征方程。我们在这里不进行证明但这个方程的解就是 A A A 的特征值从这些特征值我们可以找到对应的特征向量。
求 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵的特征值
让我们用上面介绍的特征方程来求矩阵 A ( 1 3 2 2 ) A\begin{pmatrix} 1 3 \\ 2 2 \end{pmatrix} A(1232) 的特征向量。其特征方程如下 ∣ A − λ I ∣ ∣ ( 1 3 2 2 ) − λ ( 1 0 1 1 ) ∣ ∣ ( 1 3 2 2 ) − ( λ 0 1 λ ) ∣ ∣ ( 1 − λ 3 2 2 − λ ) ∣ \begin{aligned} \vert A-\lambda I \vert \Bigg\vert \begin{pmatrix} 1 3 \\ 2 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 0 \\ 1 1 \end{pmatrix} \Bigg\vert \\ \Bigg\vert \begin{pmatrix} 1 3 \\ 2 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda 0 \\ 1 \lambda \end{pmatrix} \Bigg\vert \\ \Bigg\vert \begin{pmatrix} 1-\lambda 3 \\ 2 2-\lambda \end{pmatrix}\Bigg\vert \end{aligned} ∣A−λI∣ (1232)−λ(1101) (1232)−(λ10λ) (1−λ232−λ) 根据 2 2 2 阶矩阵的行列式计算公式 ∣ a b c d ∣ a d − b c \begin{vmatrix}a b \\ c d\end{vmatrix}ad-bc acbd ad−bc可得 ∣ A − λ I ∣ ( 1 − λ ) ( 2 − λ ) − 2 ⋅ 3 λ 2 − 3 λ − 4 \begin{aligned} \vert A-\lambda I \vert (1-\lambda)(2-\lambda)-2 \cdot 3 \\ \lambda^2-3\lambda-4 \end{aligned} ∣A−λI∣(1−λ)(2−λ)−2⋅3λ2−3λ−4 解二次方程 λ 2 − 3 λ − 4 0 \lambda^2-3\lambda-4 0 λ2−3λ−40 得 λ − 1 λ 4 \lambda -1 \qquad \lambda4 λ−1λ4 这就是矩阵 A A A 都特征值。
利用特征值求特征向量
我们利用 ( A − λ I ) v 0 (A-\lambda I)v 0 (A−λI)v0 求特征向量。
上面我们已经推导出 A − λ I ( 1 − λ 3 2 2 − λ ) A-\lambda I \begin{pmatrix} 1-\lambda 3 \\ 2 2-\lambda \end{pmatrix} A−λI(1−λ232−λ) 。代入上面公式可得 ( A − λ I ) v ( 1 − λ 3 2 2 − λ ) ( x y ) 0 (A-\lambda I)v \begin{pmatrix} 1-\lambda 3 \\ 2 2-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} 0 (A−λI)v(1−λ232−λ)(xy)0 将上一步求得的特征值 λ − 1 , λ 4 \lambda -1 , \lambda4 λ−1,λ4 分别代入可得: 当 λ − 1 \lambda-1 λ−1 时 ( 2 3 2 2 ) ( x y ) 0 \begin{pmatrix} 2 3 \\ 2 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} 0 (2232)(xy)0得到如下二元一次方程组 { 2 x 3 y 0 2 x 3 y 0 \begin{cases} 2x3y0 \\ 2x3y0 \end{cases} {2x3y02x3y0 这个两个方程是线性相关的共线的因此有无数组解我们只能得到一个关系 x − 2 3 y x-\frac{2}{3}y x−32y。 这是一条过原点斜率为 − 2 3 -\frac{2}{3} −32 的直线方程。我们的特征向量可以是该线上的任何向量。 在一开始我们通过图形的方式展示了向量 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2) 是一个特征向量这个向量在此直线上。但我们也看到任何具有相同斜率的向量也是特征向量。因此例如 ( − 6 , 4 ) (-6, 4) (−6,4) 也是一个特征向量并且它也满足相同的关系。存在无数具有不同长度但相同斜率的向量。我们可以选择任何向量但通常选择具有整数分量的最小向量如果存在这样的向量。 当 λ 4 \lambda4 λ4 时 ( − 3 3 2 − 2 ) ( x y ) 0 \begin{pmatrix} -3 3 \\ 2 -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} 0 (−323−2)(xy)0得到如下二元一次方程组 { − 3 x 3 y 0 2 x − 2 y 0 \begin{cases} -3x3y0 \\ \enspace\:2x-2y0 \end{cases} {−3x3y02x−2y0 这个两个方程也是线性相关的共线的因此有无数组解我们得到关系 x y xy xy。 这同样是一条通原点斜率为 1 1 1 的直线。因此 ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1) 是一个特征向量 ( 2 , 2 ) (2, 2) (2,2) 等也是特征向量。
