百度收录删除旧网站,易展 网站建设,网站收录需要多久,小型电子商务网站开发文章目录 2. 简单应力状态下的应力应变关系2.1 简单拉伸的应力应变关系2.2 真实应力应变关系2.3 应力-应变关系简化模型 2. 简单应力状态下的应力应变关系
我们在高中就学过#xff0c;弹簧拉伸力和变形量成比例#xff0c;对于一般的金属材料#xff0c;在一定载荷以内这种… 文章目录 2. 简单应力状态下的应力应变关系2.1 简单拉伸的应力应变关系2.2 真实应力应变关系2.3 应力-应变关系简化模型 2. 简单应力状态下的应力应变关系
我们在高中就学过弹簧拉伸力和变形量成比例对于一般的金属材料在一定载荷以内这种结论也是成立的这种情况称之为弹性。在下面的材料力学单向拉伸试验的结果中我们可以看到材料先发生弹性变形超过一定极限后产生塑性变形。
2.1 简单拉伸的应力应变关系
材料拉伸试样如下图1所示在试验时在试样两端夹持施加载荷试验在载荷作用下会伸长记录相应时刻的载荷-位移数据并以此绘制曲线如下图2所示。 图 1 拉伸试样 图1 \quad拉伸试样 图1拉伸试样 图 2 载荷 − 变形曲线 图2 \quad载荷-变形曲线 图2载荷−变形曲线 但一般会进行以下变换 σ F A 0 , ε Δ l 0 (1) \sigma\frac{F}{A_0}, \varepsilon\frac{\Delta}{l_0}\tag{1} σA0F,εl0Δ(1) 那么可以将载荷-变形曲线变换成 σ − ε \sigma-\varepsilon σ−ε应力应变曲线如下图3。 图 3 σ − ε 曲线 图3\quad \sigma-\varepsilon曲线 图3σ−ε曲线 其中A点称为上屈服点B为下屈服点材料在两者之间呈现流动状态应力不发生显著变化只增加应变一般上屈服点和下屈服点区别不大此屈服流动的现象一般在低碳钢中存在合金钢等往往没有明显的特征用 σ s \sigma_s σs来代替称材料的屈服强度。材料在 σ s \sigma_s σs以下呈现弹性变形也就是载荷去除之后变形能够完全恢复且应力和应变成比例。同时金属材料压缩的应力应变曲线基本上与拉伸的应力应变曲线接近。
有一些金属可能没有上下屈服流动阶段如下图4。
在应力超过弹性极限后会产生塑性应变 ε p \varepsilon^p εp缓慢卸去载荷变形也不能完全恢复见图4中 ε p \varepsilon^p εp这种现象成为屈服。同时卸载曲线也是线性的并且斜率和刚开始的弹性段一样直到反向屈服。
图4中A’为材料的压缩屈服点假设A与A’对称即压缩屈服等于拉伸屈服左图为多晶材料多晶材料反向屈服点M’一般绝对值小于A’称为包晶格效应Bauschingerx effect即在拉伸方向的强化导致压缩方向的弱化这种效应在后文中还会应用就是随动强化模型。
右图为单晶材料材料反向屈服点M’一般绝对值大于A’即在拉伸方向的强化导致压缩方向的同样的强化这种效应在后文中还会应用就是等向强化模型。 图 4 加载 / 卸载应力应变曲线 图4\quad 加载/卸载应力应变曲线 图4加载/卸载应力应变曲线
2.2 真实应力应变关系
在图3中在应力达到最高点C以前应力和应变一同增加到达C点后应变增加应力却下降了。事实上在C点前由于泊松比的存在变形前试样的截面随着载荷增加会慢慢减小但是在随着变形的继续某一时刻横截面会较迅速的减小这种现象称为颈缩也称塑性失稳由于截面的迅速缩小试样的承载能力随之下降相应的名义应力也下降。因此实际上名义应力在变形量小的时候跟试样的真实应力差别不大但是在颈缩时名义应力和真实应力较大差别。
按照定义定义真实应力 σ ~ \widetilde{\sigma} σ 如下 σ ~ P A (2) \widetilde{\sigma}\frac{P}{A}\tag{2} σ AP(2) 其中 A A A为试样瞬时截面 P P P为试样瞬时载荷。
瞬时的应变增量 d ε ~ d\widetilde{\varepsilon} dε 如下所示 d ε ~ d l ′ l ′ (3) d\widetilde{\varepsilon}\frac{dl}{l}\tag{3} dε l′dl′(3) 其中 l ′ l l′为试样瞬时长度 d l ′ dl dl′为试样瞬时伸长量。
那么真实应变 ε ~ \widetilde{\varepsilon} ε 为 ε ~ ∫ l 0 l d l ′ l ′ ln ( l ′ ) ∣ l 0 l ln ( l l 0 ) ln ( l − l 0 l 0 l 0 ) ln ( 1 ε ) (4) \widetilde{\varepsilon}\int_{l_0}^{l}\frac{dl}{l}\ln(l)|_{l_0}^{l}\ln(\frac{l}{l_0})\ln(\frac{l-l_0l_0}{l_0})\ln(1\varepsilon)\tag{4} ε ∫l0ll′dl′ln(l′)∣l0lln(l0l)ln(l0l−l0l0)ln(1ε)(4)
在材料进入塑性阶段材料表现出塑性流动的特征这里需要引用材料几乎不可压缩的假设因此有 A 0 l 0 A l (5) A_0l_0Al\tag{5} A0l0Al(5)
那么真实应力变 σ ~ \widetilde{\sigma} σ 为 σ ~ P A P A 0 ⋅ A 0 A P A 0 ⋅ l l 0 σ e ε ~ σ ( 1 ε ) (6) \widetilde{\sigma}\frac{P}{A}\frac{P}{A_0}\cdot\frac{A_0}{A}\frac{P}{A_0}\cdot\frac{l}{l_0}\sigma e^{\widetilde{\varepsilon}}\sigma (1\varepsilon)\tag{6} σ APA0P⋅AA0A0P⋅l0lσeε σ(1ε)(6)
在图5右侧曲线中C为名义应力达到最大值在此时有 d σ d ε 0 (7) \frac{d\sigma}{d\varepsilon}0\tag{7} dεdσ0(7)
在图5右侧曲线中C为名义应力达到最大值对应的真实应力点C’’其中真实应力有式6那么有 d σ ~ d ε σ (8) \frac{d\widetilde{\sigma}}{d\varepsilon}\sigma\tag{8} dεdσ σ(8)
在图5左侧曲线中C为名义应力达到最大值对应的真实应力点C’真实应力和真实应变应满足的条件如下 d σ ~ d ε ~ ( d σ d ε ⋅ d ε d ε ~ ) e ε ~ σ e ε ~ σ e ε ~ σ ~ (9) \frac{d\widetilde{\sigma}}{d\widetilde{\varepsilon}}(\frac{d\sigma}{d\varepsilon}\cdot\frac{d\varepsilon}{d\widetilde{\varepsilon}})e^{\widetilde{\varepsilon}}\sigma e^{\widetilde{\varepsilon}}\sigma e^{\widetilde{\varepsilon}}\widetilde{\sigma}\tag{9} dε dσ (dεdσ⋅dε dε)eε σeε σeε σ (9) 图 5 应力应变曲线 图5\quad 应力应变曲线 图5应力应变曲线
2.3 应力-应变关系简化模型
在理论分析中常常采用简化的应力应变模型来分析具体问题实际工程中也多有应用。
简化模型一理想弹塑性模型
如下图6所示那么应力应变关系可以写为 σ { E ε , ε ≤ ε s σ s s i g n ε , ε ε s (10) \sigma\begin{cases}E\varepsilon \quad,\quad \varepsilon\le\varepsilon_s\\ \sigma_s sign \varepsilon \quad,\quad \varepsilon\gt\varepsilon_s \end{cases}\tag{10} σ{Eεσssignε,ε≤εs,εεs(10) 图 6 理想弹塑性模型 图6\quad 理想弹塑性模型 图6理想弹塑性模型
简化模型二线性强化弹塑性模型
如下图7所示那么应力应变关系可以写为 σ { E ε , ε ≤ ε s σ s E ’ ( ε − ε s ) , ε ε s (11) \sigma\begin{cases}E\varepsilon \quad,\quad \varepsilon\le\varepsilon_s\\ \sigma_s E’( \varepsilon-\varepsilon_s) \quad,\quad \varepsilon\gt\varepsilon_s \end{cases}\tag{11} σ{EεσsE’(ε−εs),ε≤εs,εεs(11) 图 7 线性强化弹塑性模型 图7\quad 线性强化弹塑性模型 图7线性强化弹塑性模型
当然上式当进入塑性后还可以写成另外一种形式如下所示 ε ε e ε p (12) \varepsilon\varepsilon^e\varepsilon^p\tag{12} εεeεp(12) σ σ s h ε p (13) \sigma\sigma_sh\varepsilon^p\tag{13} σσshεp(13) 可以通过下图来确定h下图为应力-塑性应变图由图7可知 E ′ d σ d ε (14) E\frac{d\sigma}{d\varepsilon}\tag{14} E′dεdσ(14) 同时由图8可知 h d σ d ε p d σ d ε − d ε e 1 d ε d σ − d ε e d σ 1 1 E ′ − 1 E (15) h\frac{d\sigma}{d\varepsilon^p}\frac{d\sigma}{d\varepsilon-d\varepsilon^e}\frac{1}{\frac{d\varepsilon}{d\sigma}-\frac{d\varepsilon^e}{d\sigma}}\frac{1}{\frac{1}{E}-\frac{1}{E}}\tag{15} hdεpdσdε−dεedσdσdε−dσdεe1E′1−E11(15) 代入13那么有 ε p σ − σ s h ( σ − σ s ) ( 1 E ′ − 1 E ) \varepsilon^p\frac{\sigma-\sigma_s}{h}(\sigma-\sigma_s)(\frac{1}{E}-\frac{1}{E}) εphσ−σs(σ−σs)(E′1−E1) 那么相应的式(11)可以改写为 ε ε e ε p σ E ( σ − σ s ) ( 1 E ′ − 1 E ) (16) \varepsilon\varepsilon^e\varepsilon^p\frac{\sigma}{E} ( \sigma-\sigma_s)(\frac{1}{E}-\frac{1}{E})\tag{16} εεeεpEσ(σ−σs)(E′1−E1)(16)
同时有 0 1 h 1 E ′ − 1 E 1 E ′ (17) 0\lt\frac{1}{h}\frac{1}{E}-\frac{1}{E}\lt\frac{1}{E}\tag{17} 0h1E′1−E1E′1(17) 那么有以下结论 h E ′ (18) h\gt E\tag{18} hE′(18) 而其物理意义如下图 图 8 h 的物理意义在 σ − ε p 图中 图8\quad h的物理意义在\sigma-\varepsilon^p 图中 图8h的物理意义在σ−εp图中
