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图#xff08;graph#xff09;是一种非线性数据结构#xff0c;由顶点#xff08;vertex#xff09;和边#xff08;edge#xff09;组成。可以将图 #x1d43a; 抽象地表示为一组顶点 #x1d449; 和一组边 #x1d438; 的集合。
如果将顶点看作节点#…图
图graph是一种非线性数据结构由顶点vertex和边edge组成。可以将图 抽象地表示为一组顶点 和一组边 的集合。
如果将顶点看作节点将边看作连接各个节点的引用指针就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。 相较于线性关系链表和分治关系树网络关系图的自由度更高因而更为复杂。
图的常见类型与术语
根据边是否具有方向可分为无向图和有向图。 在无向图中边表示两顶点之间的“双向”连接关系 在有向图中边具有方向性即 → 和 ← 两个方向的边是相互独立的。 根据所有顶点是否连通可分为连通图和非连通图
还可以为边添加“权重”变量从而得到有权图。
图数据结构包含以下常用术语 邻接adjacency当两顶点之间存在边相连时称这两顶点“邻接”。 路径path从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。 度degree一个顶点拥有的边数。
图的表示
邻接矩阵
设图的顶点数量为 邻接矩阵 使用一个 × 大小的矩阵来表示图每一行列代表一个顶点矩阵元素代表边用 1 或 0 表示两个顶点之间是否存在边。
设邻接矩阵为 、顶点列表为 那么矩阵元素 [, ] 1 表示顶点 [] 到顶点 [] 之间存在边反之 [, ] 0 表示两顶点之间无边。 邻接矩阵具有以下特性 1.顶点不能与自身相连因此邻接矩阵主对角线元素没有意义 2.对于无向图两个方向的边等价此时邻接矩阵关于主对角线对称 3.将邻接矩阵的元素从 1 和 0 替换为权重则可表示有权图。
使用邻接矩阵表示图时可以直接访问矩阵元素以获取边因此增删查改操作的效率很高时间复杂度均为 (1) 。然而矩阵的空间复杂度为 (^2) 内存占用较多。
邻接表
邻接表使用 个链表来表示图链表节点表示顶点。第 个链表对应顶点 其中存储了该顶点的所有邻接顶点与该顶点相连的顶点。 邻接表仅存储实际存在的边而边的总数通常远小于 ^2 因此它更加节省空间。然而在邻接表中需要通过遍历链表来查找边因此其时间效率不如邻接矩阵。
邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似因此也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时可以将链表转化为 AVL 树或红黑树从而将时间效率从 () 优化至 (log ) 还可以把链表转换为哈希表从而将时间复杂度降至 (1) 。
图的常见应用 图的基础操作
图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。 在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下实现方式有所不同。
基于邻接矩阵的实现
给定一个顶点数量为 的无向图 添加或删除边 直接在邻接矩阵中修改指定的边即可使用 (1) 时间。而由于是无向图因此需要同时更新两个方向的边。 添加顶点 在邻接矩阵的尾部添加一行一列并全部填 0 即可使用 () 时间。 删除顶点 在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况需要将 ( − 1)^ 2 个元素“向左上移动”从而使用 (^2) 时间。 初始化 传入 个顶点初始化长度为 的顶点列表 vertices 使用 () 时间初始化 × 大小的邻接矩阵 adjMat 使用 (^2) 时间。
/*** File: graph_adjacency_matrix.cpp* Created Time: 2023-02-09* Author: what-is-me (whatismeoutlook.jp)*/#include ../utils/common.hpp/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {vectorint vertices; // 顶点列表元素代表“顶点值”索引代表“顶点索引”vectorvectorint adjMat; // 邻接矩阵行列索引对应“顶点索引”public:/* 构造方法 */GraphAdjMat(const vectorint vertices, const vectorvectorint edges) {// 添加顶点for (int val : vertices) {addVertex(val);}// 添加边// 请注意edges 元素代表顶点索引即对应 vertices 元素索引for (const vectorint edge : edges) {addEdge(edge[0], edge[1]);}}/* 获取顶点数量 */int size() const {return vertices.size();}/* 添加顶点 */void addVertex(int val) {int n size();// 向顶点列表中添加新顶点的值vertices.push_back(val);// 在邻接矩阵中添加一行adjMat.emplace_back(vectorint(n, 0));// 在邻接矩阵中添加一列for (vectorint row : adjMat) {row.push_back(0);}}/* 删除顶点 */void removeVertex(int index) {if (index size()) {throw out_of_range(顶点不存在);}// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点vertices.erase(vertices.begin() index);// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行adjMat.erase(adjMat.begin() index);// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列for (vectorint row : adjMat) {row.erase(row.begin() index);}}/* 添加边 */// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引void addEdge(int i, int j) {// 索引越界与相等处理if (i 0 || j 0 || i size() || j size() || i j) {throw out_of_range(顶点不存在);}// 在无向图中邻接矩阵关于主对角线对称即满足 (i, j) (j, i)adjMat[i][j] 1;adjMat[j][i] 1;}/* 删除边 */// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引void removeEdge(int i, int j) {// 索引越界与相等处理if (i 0 || j 0 || i size() || j size() || i j) {throw out_of_range(顶点不存在);}adjMat[i][j] 0;adjMat[j][i] 0;}/* 打印邻接矩阵 */void print() {cout 顶点列表 ;printVector(vertices);cout 邻接矩阵 endl;printVectorMatrix(adjMat);}
};/* Driver Code */
int main() {/* 初始化无向图 */// 请注意edges 元素代表顶点索引即对应 vertices 元素索引vectorint vertices {1, 3, 2, 5, 4};vectorvectorint edges {{0, 1}, {0, 3}, {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}};GraphAdjMat graph(vertices, edges);cout \n初始化后图为 endl;graph.print();/* 添加边 */// 顶点 1, 2 的索引分别为 0, 2graph.addEdge(0, 2);cout \n添加边 1-2 后图为 endl;graph.print();/* 删除边 */// 顶点 1, 3 的索引分别为 0, 1graph.removeEdge(0, 1);cout \n删除边 1-3 后图为 endl;graph.print();/* 添加顶点 */graph.addVertex(6);cout \n添加顶点 6 后图为 endl;graph.print();/* 删除顶点 */// 顶点 3 的索引为 1graph.removeVertex(1);cout \n删除顶点 3 后图为 endl;graph.print();return 0;
}基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 、边总数为 m 添加边 在顶点对应链表的末尾添加边即可使用 (1) 时间。因为是无向图所以需要同时添加两个方向的边。 删除边 在顶点对应链表中查找并删除指定边使用 () 时间。在无向图中需要同时删除两个方向的边。 添加顶点 在邻接表中添加一个链表并将新增顶点作为链表头节点使用 (1) 时间。 删除顶点 需遍历整个邻接表删除包含指定顶点的所有边使用 ( ) 时间。 初始化 在邻接表中创建 个顶点和 2 条边使用 ( ) 时间。 以下是邻接表的代码实现。实际代码有以下不同: 1.为了方便添加与删除顶点以及简化代码使用列表动态数组来代替链表。 2.使用哈希表来存储邻接表key 为顶点实例value 为该顶点的邻接顶点列表链表。
另外在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点这样做的原因是如果与邻接矩阵一样用列表索引来区分不同顶点那么假设要删除索引为 的顶点则需遍历整个邻接表将所有大于 的索引全部减 1 效率很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。
/*** File: graph_adjacency_list.cpp* Created Time: 2023-02-09* Author: what-is-me (whatismeoutlook.jp), Krahets (krahets163.com)*/#include ../utils/common.hpp/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {public:// 邻接表key顶点value该顶点的所有邻接顶点unordered_mapVertex *, vectorVertex * adjList;/* 在 vector 中删除指定节点 */void remove(vectorVertex * vec, Vertex *vet) {for (int i 0; i vec.size(); i) {if (vec[i] vet) {vec.erase(vec.begin() i);break;}}}/* 构造方法 */GraphAdjList(const vectorvectorVertex * edges) {// 添加所有顶点和边for (const vectorVertex * edge : edges) {addVertex(edge[0]);addVertex(edge[1]);addEdge(edge[0], edge[1]);}}/* 获取顶点数量 */int size() {return adjList.size();}/* 添加边 */void addEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 vet2)throw invalid_argument(不存在顶点);// 添加边 vet1 - vet2adjList[vet1].push_back(vet2);adjList[vet2].push_back(vet1);}/* 删除边 */void removeEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 vet2)throw invalid_argument(不存在顶点);// 删除边 vet1 - vet2remove(adjList[vet1], vet2);remove(adjList[vet2], vet1);}/* 添加顶点 */void addVertex(Vertex *vet) {if (adjList.count(vet))return;// 在邻接表中添加一个新链表adjList[vet] vectorVertex *();}/* 删除顶点 */void removeVertex(Vertex *vet) {if (!adjList.count(vet))throw invalid_argument(不存在顶点);// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表adjList.erase(vet);// 遍历其他顶点的链表删除所有包含 vet 的边for (auto adj : adjList) {remove(adj.second, vet);}}/* 打印邻接表 */void print() {cout 邻接表 endl;for (auto adj : adjList) {const auto key adj.first;const auto vec adj.second;cout key-val : ;printVector(vetsToVals(vec));}}
};效率对比 从表上看似乎邻接表哈希表的时间效率与空间效率最优。但实际上在邻接矩阵中操作边的效率更高只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
图的遍历
树代表的是“一对多”的关系而图则具有更高的自由度可以表示任意的“多对多”关系。因此可以把树看作图的一种特例。显然树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。
图的遍历方式也可分为两种广度优先遍历和深度优先遍历。
广度优先遍历
广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式从某个节点出发始终优先访问距离最近的顶点并一层层向外扩张。 从左上角顶点出发首先遍历该顶点的所有邻接顶点然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点以此类推直至所有顶点访问完毕。
算法实现
BFS 通常借助队列来实现代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。 1.将遍历起始顶点 startVet 加入队列并开启循环 2.在循环的每轮迭代中弹出队首顶点并记录访问然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部 3.循环步骤 2. 直到所有顶点被访问完毕后结束。 为了防止重复遍历顶点需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些节点已被访问。
/*** File: graph_bfs.cpp* Created Time: 2023-03-02* Author: Krahets (krahets163.com)*/#include ../utils/common.hpp
#include ./graph_adjacency_list.cpp/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vectorVertex * graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex *startVet) {// 顶点遍历序列vectorVertex * res;// 哈希表用于记录已被访问过的顶点unordered_setVertex * visited {startVet};// 队列用于实现 BFSqueueVertex * que;que.push(startVet);// 以顶点 vet 为起点循环直至访问完所有顶点while (!que.empty()) {Vertex *vet que.front();que.pop(); // 队首顶点出队res.push_back(vet); // 记录访问顶点// 遍历该顶点的所有邻接顶点for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {if (visited.count(adjVet))continue; // 跳过已被访问的顶点que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问}}// 返回顶点遍历序列return res;
}/* Driver Code */
int main() {/* 初始化无向图 */vectorVertex * v valsToVets({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9});vectorvectorVertex * edges {{v[0], v[1]}, {v[0], v[3]}, {v[1], v[2]}, {v[1], v[4]},{v[2], v[5]}, {v[3], v[4]}, {v[3], v[6]}, {v[4], v[5]},{v[4], v[7]}, {v[5], v[8]}, {v[6], v[7]}, {v[7], v[8]}};GraphAdjList graph(edges);cout \n初始化后图为\\n;graph.print();/* 广度优先遍历 */vectorVertex * res graphBFS(graph, v[0]);cout \n广度优先遍历BFS顶点序列为 endl;printVector(vetsToVals(res));// 释放内存for (Vertex *vet : v) {delete vet;}return 0;
} 广度优先遍历的序列并不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱。
复杂度分析
时间复杂度所有顶点都会入队并出队一次使用 (| |) 时间在遍历邻接顶点的过程中由于是无向图因此所有边都会被访问 2 次使用 (2||) 时间总体使用 (| | ||) 时间。 空间复杂度列表 res 哈希表 visited 队列 que 中的顶点数量最多为 | | 使用 (| |) 空间。
深度优先遍历
深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。从左上角顶点出发访问当前顶点的某个邻接顶点直到走到尽头时返回再继续走到尽头并返回以此类推直至所有顶点遍完成。
算法实现
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似在深度优先遍历中也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点以避免重复访问顶点。
/*** File: graph_dfs.cpp* Created Time: 2023-03-02* Author: Krahets (krahets163.com)*/#include ../utils/common.hpp
#include ./graph_adjacency_list.cpp/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, unordered_setVertex * visited, vectorVertex * res, Vertex *vet) {res.push_back(vet); // 记录访问顶点visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问// 遍历该顶点的所有邻接顶点for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {if (visited.count(adjVet))continue; // 跳过已被访问的顶点// 递归访问邻接顶点dfs(graph, visited, res, adjVet);}
}/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vectorVertex * graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex *startVet) {// 顶点遍历序列vectorVertex * res;// 哈希表用于记录已被访问过的顶点unordered_setVertex * visited;dfs(graph, visited, res, startVet);return res;
}/* Driver Code */
int main() {/* 初始化无向图 */vectorVertex * v valsToVets(vectorint{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6});vectorvectorVertex * edges {{v[0], v[1]}, {v[0], v[3]}, {v[1], v[2]},{v[2], v[5]}, {v[4], v[5]}, {v[5], v[6]}};GraphAdjList graph(edges);cout \n初始化后图为 endl;graph.print();/* 深度优先遍历 */vectorVertex * res graphDFS(graph, v[0]);cout \n深度优先遍历DFS顶点序列为 endl;printVector(vetsToVals(res));// 释放内存for (Vertex *vet : v) {delete vet;}return 0;
}直虚线代表向下递推表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点 曲虚线代表向上回溯表示此递归方法已经返回回溯到了开启此方法的位置。
深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点先往哪个方向探索都可以即邻接顶点的顺序可以任意打乱都是深度优先遍历。 以树的遍历为例“根 → 左 → 右”“左 → 根 → 右”“左 → 右 → 根”分别对应前序、中序、后序遍历它们展示了三种遍历优先级然而这三者都属于深度优先遍历。
复杂度分析
时间复杂度所有顶点都会被访问 1 次使用 (| |) 时间所有边都会被访问 2 次使用 (2||) 时间总体使用 (| | ||) 时间。 空间复杂度列表 res 哈希表 visited 顶点数量最多为 | | 递归深度最大为 | | 因此使用 (| |) 空间。
学习地址
学习地址https://github.com/krahets/hello-algo 重新复习数据结构所有的内容都来自这里。
