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函数逼近是使用一种简单易算的函数来近似表示一个复杂函数。 该问题可转化为求解线性方程组 G n C F n G_{n}CF_{n} GnCFn
其中#xff0c;系数 C ( c 0 , c 1 , ⋯ , c n ) T , F n ( ( f , φ 0 ) , ( f , φ 1 ) , ⋯ , ( f , φ n ) ) T C(c…最佳平方逼近
函数逼近是使用一种简单易算的函数来近似表示一个复杂函数。 该问题可转化为求解线性方程组 G n C F n G_{n}CF_{n} GnCFn
其中系数 C ( c 0 , c 1 , ⋯ , c n ) T , F n ( ( f , φ 0 ) , ( f , φ 1 ) , ⋯ , ( f , φ n ) ) T C(c_{0},c_{1},\cdots,c_{n})^{\mathrm{T}},F_{n}((f,\varphi_{0}),(f,\varphi_{1}),\cdots,(f,\varphi_{n}))^{\mathrm{T}} C(c0,c1,⋯,cn)T,Fn((f,φ0),(f,φ1),⋯,(f,φn))T G n G_n Gn是格拉姆矩阵。称该线性方程组为法方程组或正规方程组。
最佳平方逼近的解函数为 φ ∗ ∑ i 0 n c i ∗ φ i \varphi^*\sum_{i0}^nc_i^*\varphi_i φ∗∑i0nci∗φi。
最佳平方逼近函数继承内积即 ( φ ∗ , φ ∗ ) ( φ ∗ , f ) (\varphi^*,\varphi^*)(\varphi^*,f) (φ∗,φ∗)(φ∗,f)。
取逼近区间[a,b]为[0,1]时其平方误差为 ∥ φ ∗ − f ∥ 2 2 ( f , f ) − F n T C ∗ ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x − F n T C ∗ . \parallel\varphi^*-f\parallel_2^2(f,f)-F_n^\mathrm{T}C^*\int_0^1f^2(x) \mathrm{d}x-F_n^\mathrm{T} C^* . ∥φ∗−f∥22(f,f)−FnTC∗∫01f2(x)dx−FnTC∗.
正交系
内积空间 V V V上的两个元素 f f f和 g g g如果有内积 ( f , g ) 0 (f,g)0 (f,g)0则称 f f f和 g g g关于内积 ( ⋅ , ⋅ ) (\cdot,\cdot) (⋅,⋅)正交。若内积空间上的元素系 { f i } \{f_{i}\} {fi}满足两两正交 { ( f i , f j ) 0 ( i ≠ j ) , ( f i , f i ) γ i 0 , \begin{cases}(f_i,f_j)0\quad(i\neq j) ,\\(f_i,f_i)\gamma_i0 ,\end{cases} {(fi,fj)0(ij),(fi,fi)γi0, 则称 { f i } \{f_{i}\} {fi}为正交系若有 ( f i , f i ) 1 ( i 0 , 1 , 2 , 3... ) (f_i,f_i)1(i0,1,2,3...) (fi,fi)1(i0,1,2,3...)则称 { f i } \{f_{i}\} {fi}为标准正交系。
给定一组正交基法方程组系数矩阵 G n G_n Gn为对角矩阵其解向量为 C ∗ ( ( φ 0 , f ) ( φ 0 , φ 0 ) , ( φ 1 , f ) ( φ 1 , φ 1 ) , ⋯ , ( φ n , f ) ( φ n , φ n ) ) T . C^* \left(\frac{(\varphi_0,f)}{(\varphi_0,\varphi_0)},\frac{(\varphi_1,f)}{(\varphi_1,\varphi_1)},\cdots,\frac{(\varphi_n,f)}{(\varphi_n,\varphi_n)}\right)^\mathrm{T}. C∗((φ0,φ0)(φ0,f),(φ1,φ1)(φ1,f),⋯,(φn,φn)(φn,f))T. 函数 f ( x ) f(x) f(x)的最佳平方逼近函数为 φ ∗ ( φ 0 , f ) ( φ 0 , φ 0 ) φ 0 ( φ 1 , f ) ( φ 1 , φ 1 ) φ 1 ⋯ ( φ n , f ) ( φ n , φ n ) φ n . \varphi^*\frac{(\varphi_0,f)}{(\varphi_0,\varphi_0)}\varphi_0\frac{(\varphi_1,f)}{(\varphi_1,\varphi_1)}\varphi_1\cdots\frac{(\varphi_n,f)}{(\varphi_n,\varphi_n)}\varphi_n. φ∗(φ0,φ0)(φ0,f)φ0(φ1,φ1)(φ1,f)φ1⋯(φn,φn)(φn,f)φn. 平方误差为 ∥ f − φ ∗ ∥ 2 2 ( f , f ) − ∑ i 0 n ( f , φ i ) 2 ( φ i , φ i ) . \parallel f-\varphi^*\parallel_2^2(f,f)-\sum_{i0}^n\frac{(f,\varphi_i)^2}{(\varphi_i,\varphi_i)}. ∥f−φ∗∥22(f,f)−i0∑n(φi,φi)(f,φi)2.
