免费制作婚介网站,网站开发完了备案,如何选择购物网站建设,怎么选择五屏网站建设文章目录 一、概述二、符号表2.1 常用符号表2.2 希腊字母表 三、集合的表示与运算3.1 集合的表示3.2 元素与集合3.3 集合的运算3.4 幂集3.5 笛卡尔积3.6 作业 一、概述 本系列内容参考闵老师的博客#xff1a;数学表达式: 从恐惧到单挑 (符号表) #xff08;1#xff09;数学… 文章目录 一、概述二、符号表2.1 常用符号表2.2 希腊字母表 三、集合的表示与运算3.1 集合的表示3.2 元素与集合3.3 集合的运算3.4 幂集3.5 笛卡尔积3.6 作业 一、概述 本系列内容参考闵老师的博客数学表达式: 从恐惧到单挑 (符号表) 1数学表达式的几个注意事项
公式这种说法具有误导性应该用equation或者expression表示数学表达式的特点不是复杂而是与文字相比起来简单准确数学表达式不是越难懂越好而是越简洁易懂越好 2数学表达式学习建议
建议最好找《离散数学》、《概率论与数理统计》、《机器学习》西瓜书等书籍模仿其次是顶刊论文一般论文不要看从简单到复杂 3一些准则
提到“XXX 公式”时提出者必须是大数学家提到“XXX 说”时这个人的水平不能低于周志华国际人工智能联合会理事会主席不可将其他可视化工具写的数学表达式转换为latex
二、符号表
2.1 常用符号表 下表为符号常用表在“ 文字 ”的两边加上“ $ ”符号即变成左边的符号需要在markdown编辑器下添加该模式写出的表达式的源码与Latex比较一致还有一些符号需要逐步加入。
表2.1 常用符号表 符号文字涵义备注 x {x} xx标量小写字母 x \mathbf{x} x\mathbf{x}向量小写字母 X \mathbf{X} X\mathbf{X}矩阵、集合大写字母 x T \mathbf{x}^{\mathrm{T}} xT\mathbf{x}^{\mathrm{T}}向量转置T表示transpose 注意表示向量、集合等可以使用粗体 \mathbf{x} ( x \mathbf{x} x)\bm{x} ( x \bm{x} x)\boldsymbol{x} ( x \boldsymbol{x} x)。主要全文统一即可建议使用\mathbf{x}。
2.2 希腊字母表
表2.2 希腊字母表 希腊字母小写、大写LaTex形式希腊字母小写、大写Latex形式 α A \alpha A αA\alpha A μ N \mu N μN\mu N β B \beta B βB\beta B ξ Ξ \xi \Xi ξΞ\xi \Xi γ Γ \gamma \Gamma γΓ\gamma \Gamma o O o O oOo O δ Δ \delta \Delta δΔ\delta \Delta π Π \pi \Pi πΠ\pi \Pi ϵ ε E \epsilon \varepsilon E ϵεE\epsilon \varepsilon E ρ ϱ P \rho \varrho P ρϱP\rho \varrho P ζ Z \zeta Z ζZ\zeta Z σ Σ \sigma \Sigma σΣ\sigma \Sigma η H \eta H ηH\eta H τ T \tau T τT\tau T θ ϑ Θ \theta \vartheta \Theta θϑΘ\theta \vartheta \Theta υ Υ \upsilon \Upsilon υΥ\upsilon \Upsilon ω Ω \omega \Omega ωΩ\omega \Omega ϕ φ Φ \phi \varphi \Phi ϕφΦ\phi \varphi \Phi κ K \kappa K κK\kappa K χ X \chi X χX\chi X λ Λ \lambda \Lambda λΛ\lambda \Lambda ψ Ψ \psi \Psi ψΨ\psi \Psi μ M \mu M μM\mu M ι \iota ι\iota
三、集合的表示与运算 集合论是数学的基础更是计算机的基础。在默认情况下集合元素不可重复在组合数学中有可重集的概念。另外集合元素是无序的。
3.1 集合的表示 1枚举法 A { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} A{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 表示阿拉伯数字的集合 N { 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{N}\{0,1,2,\dots\} N{0,1,2,…} 表示自然数的集合 Ω { a , b , … , z } \mathbf{\Omega}\{\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}\} Ω{a,b,…,z} 表示英文字母表的集合。其中这里面的字母是非斜体的表示不是变量。另外未加“ $ ”符号的表达式为\mathbf{\Omega} {\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}}。有时候在\Omega之外没有加\mathbf作为希腊字母的影响没有英文字母的影响大。 2 表示向量、集合等可以使用粗体 \mathbf{x} ( x \mathbf{x} x)\bm{x} ( x \bm{x} x)\boldsymbol{x} ( x \boldsymbol{x} x)。主要全文统一建议使用\mathbf{x}即可西瓜书应该使用的是mathbf。 3枚举法的几种简记
如果是两个整数之间的枚举集合可使用简记 [ 1..10 ] { 1 , 2 , … , 10 } [1..10]\{1,2,\dots,10\} [1..10]{1,2,…,10}也可以使用变量如 [ i . . j ] [\textrm{i}..\textrm{j}] [i..j]。注意这里是两个点而不是三个点的\dots。两个点多见于Pascal语言更多内容请见https://baike.baidu.com/item/%E5%8C%BA%E9%97%B4/1273117。开区间3, 5表示大于3小于5的所有实数闭区间 [3, 5] 表示大于或等于3小于或等于5的所有实数。这是基础数学的内容不仅限于离散数学的范畴。 X { x i } i 1 n { x 1 , x 2 , … , x n } \mathbf{X}\{x_{i}\}_{i1}^{n}\{x_1,x_2,\dots,x_n\} X{xi}i1n{x1,x2,…,xn} 表示集合有n个元素。该式子的源码为\mathbf{X}{x_{i}}_{i1}^{n}{x_1,x_2,\dots,x_n}。x_2可以省略。 4谓词法 奇数的集合可以表示为 O { x ∣ x ∈ N , x m o d 2 1 } { x ∈ N ∣ x m o d 2 1 } \mathbf{O}\{x|x\in\mathbb{N},x \mod 21\}\{x\in\mathbb{N}\ |\ x \mod 21\} O{x∣x∈N,xmod21}{x∈N ∣ xmod21}. 第一种表示方法最基础将元素放在竖线的左边元素满足的条件放在竖线的右边第二种表示方法比较常用将元素基本限制放在竖线左边提升颜值。 5常用集合
实数 R {\mathbb{R}} R源码为 \mathbb{R}. 有些地方也写成 R {\mathcal{R}} R 源码为 \mathcal{R}有理数 Q \mathbf{Q} Q源码为 \mathbf{Q} 6平凡子集
空集 ∅ \emptyset ∅源码为 \emptyset不可以写为 ϕ \phi ϕ源码为 \phi这是错误写法全集universe U \mathbf{U} U这个一般在离散数学中使用源码为\mathbf{U}
3.2 元素与集合 x ∈ X x\in\mathbf{X} x∈X表示元素和集合的关系源码为x\in\mathbf{X} A ⊆ B \mathbf{A}\subseteq\mathbf{B} A⊆B表示集合与集合之间的关系源码为\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}
3.3 集合的运算
集合的基数 ∣ X ∣ \vert\mathbf{X}\vert ∣X∣表示 X \mathbf{X} X中元素的个数其源码为\vert \mathbf{X} \vert 或者 |\mathbf{X}|这里不太清楚 \vert 和竖线的区别。其中 ∣ ∅ ∣ 0 \vert\emptyset\vert0 ∣∅∣0并 X ∪ Y \mathbf{X}\cup\mathbf{Y} X∪Y表示两个集合的并源码为\mathbf{X} \cup \mathbf{Y} ⋃ i 1 n X i \bigcup_{i1}^{n}\mathbf{X}_{i} ⋃i1nXi表示n个集合的并源码为\bigcup_{i1}^{n} \mathbf{X}{i} 这个方式与 ∑ i 1 n i 1 2 ⋯ n n ( n 1 ) 2 \sum_{i1}^n i12\dotsn\frac{n(n1)}{2} ∑i1ni12⋯n2n(n1)是一致的源码为\sum{i1}^n i12\dotsn\frac{n(n1)}{2}交 X ∩ Y \mathbf{X}\cap\mathbf{Y} X∩Y表示两个集合的交源码为\mathbf{X} \cap \mathbf{Y} ⋂ i 1 n X i \bigcap_{i1}^{n}\mathbf{X}_i ⋂i1nXi表示几个集合的交源码为\bigcap_{i1}^{n} \mathbf{X}_i差 X ∖ Y \mathbf{X}\setminus\mathbf{Y} X∖Y表示两个集合的差源码为\mathbf{X} \setminus \mathbf{Y}setminus是专门为集合设计的使用减号显得不够专业补 X ‾ U ∖ X \overline{\mathbf{X}}\mathbf{U}\setminus\mathbf{X} XU∖X表示为 X \mathbf{X} X的补集这里 U \mathbf{U} U为全集源码为\overline{\mathbf{X}}\mathbf{U} \setminus \mathbf{X}有时候式子用了\overline会比较难看也可以使用 ¬ X \neg\mathbf{X} ¬X源码为\neg \mathbf{X}但是\neg是逻辑运算的符号表示“非”只能是凑合使用
3.4 幂集 幂集power set表示为 2 A { B ∣ B ⊆ A } 2^{\mathbf{A}}\{\mathbf{B}\vert\mathbf{B}\subseteq\mathbf{A}\} 2A{B∣B⊆A}源码为2^{\mathbf{A}} {\mathbf{B} \vert \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}}。 例如 A { 0 , 1 , 2 } \mathbf{A}\{0,1,2\} A{0,1,2}则 2 A { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } , { 0 , 1 , 2 } } 2^{\mathbf{A}}\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} 2A{∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}源码为2^{\mathbf{A}}{\emptyset,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}} 其中 ∣ 2 A ∣ 2 ∣ A ∣ 2 3 8 \vert2^{\mathbf{A}}\vert2^{\vert\mathbf{A}\vert}2^38 ∣2A∣2∣A∣238源码为\vert2{\mathbf{A}}\vert2{\vert \mathbf{A} \vert}2^38从基本的组合数学知识可知若一个集合有 n n n个元素要么全选要么不选相当于 n {n} n位二进制数所以有 2 n 2^{n} 2n中可能这也是幂集的来由。 B ⊆ A \mathbf{B}\subseteq\mathbf{A} B⊆A源码为\mathbf{B}\subseteq\mathbf{A} 与 B ∈ 2 A \mathbf{B}\in2^{\mathbf{A}} B∈2A源码为\mathbf{B}\in2^{\mathbf{A}}等价并且后者看起来把简单的问题复杂化但是在一些特殊情况下是有用的。一般而言只讨论有穷集的密集不考虑无穷极的密集。在空闲时候可以思考 ∣ 2 N ∣ ∣ R ∣ \vert2^{\mathbb{N}}\vert\vert\mathbb{R}\vert ∣2N∣∣R∣源码为\vert 2^{\mathbb{N}} \vert\vert \mathbb{R} \vert表示2的可数无穷次方为一阶不可数无穷。
3.5 笛卡尔积 笛卡尔积表示为 A × B { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } \mathbf{A}\times\mathbf{B}\{(a,b)\vert a\in\mathbf{A},b\in\mathbf{B}\} A×B{(a,b)∣a∈A,b∈B}源码为\mathbf{A} \times \mathbf{B}{(a,b)\vert a \in \mathbf{A},b \in \mathbf{B}}
相当于一个集合中各选一个元素出来然后组成一个新的元素对元素对是有序的 ( a , b ) ≠ ( b , a ) (a,b)\ne(b,a) (a,b)(b,a)源码为(a,b)\ne(b,a)因此 A × B ≠ B × A \mathbf{A}\times\mathbf{B}\ne\mathbf{B}\times\mathbf{A} A×BB×A源码为\mathbf{A} \times \mathbf{B} \ne \mathbf{B} \times \mathbf{A}。其中\ne 是not equal的简写也可以写为\neq ∅ × B ∅ \emptyset\times\mathbf{B}\emptyset ∅×B∅空集无元素源码为\emptyset \times \mathbf{B}\emptyset对于有穷集合不考虑无穷集合 ∣ A × B ∣ ∣ A ∣ × ∣ B ∣ \vert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\vert\vert\mathbf{A}\vert\times\vert\mathbf{B}\vert ∣A×B∣∣A∣×∣B∣源码为\vert \mathbf{A} \times \mathbf{B} \vert\vert \mathbf{A} \vert \times \vert \mathbf{B} \vert当这两个元素有一个为空集的时候本式也成立一维数据所在的空间为 R \mathbb{R} R\mathbb{R}二维数据所在的空间为 R × R R 2 \mathbb{R}\times\mathbb{R}\mathbb{R}^2 R×RR2\mathbb{R} \times \mathbb{R}\mathbb{R}2三维数据的空间为$\mathbf{R}^3$\mathbf{R}3以此类推 n n n维数据的空间为 R n \mathbf{R}^n Rn
3.6 作业
令 A { 3 , 5 } \mathbf{A}\{3,5\} A{3,5}写出 2 A 2^{\mathbf{A}} 2A 2 A { ∅ , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 } } 2^{\mathbf{A}}\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\} 2A{∅,{3},{5},{3,5}}源码为2^{\mathbf{A}}{\emptyset,{3},{5},{3,5}}。
展开 2 ∅ 2^{\emptyset} 2∅ 2 ∅ { ∅ , { ∅ } } 2^\emptyset\ \{\emptyset\ , \{\emptyset\}\} 2∅ {∅ ,{∅}}源码为2^\emptyset\ {\emptyset\ , {\emptyset}}。
令 A { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A}\{5,6,7,8,9\} A{5,6,7,8,9}写出 A \mathbf{A} A的其它两种表示方法 A \mathbf{A} A的另外两种表示方法如下
枚举法 A { 5 , 6 , … , 9 } \mathbf{A}\{5,6,\dots,9\} A{5,6,…,9}源码为\mathbf{A}{5,6,\dots,9}区间表示法 A { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 9 } \mathbf{A}\{x\in\mathbb{N}\ \vert \ 5\leq x \leq 9\} A{x∈N ∣ 5≤x≤9}源码为\mathbf{A}{x \in \mathbb{N} \vert 5 \leq x \leq 9}
