设计主题网站,WordPress无法下单,wordpress导购主题免费,计算机科学与技术傅里叶分析不仅仅是一个数学工具#xff0c;更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
一、什么是频域 时域
时域是信号在时间轴随时间变化的总体概括#xff1b;频域是把时域波形的表达式做傅立叶等变化得到复频域的表达式#xff0c;所画出的波形就是频谱图更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
一、什么是频域 时域
时域是信号在时间轴随时间变化的总体概括频域是把时域波形的表达式做傅立叶等变化得到复频域的表达式所画出的波形就是频谱图是描述频率变化和幅度变化的关系。
示波器用来看时域内容频普仪用来看频域内容。时域 时间域time domain。自变量是时间即横轴是时间纵轴是信号的变化。其动态信号x(t ) 是描述信号在不同时刻取值的函数。频域 频率域frequency domain。自变量是频率即横轴是频率纵轴是该频率信号的幅度也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。
时域分析与频域分析
对信号进行时域分析时有时一些信号的时域参数相同但并不能说明信号就完全相同。因为信号不仅随时间变化还与频率、相位等信息有关这就需要进一步分析信号的频率结构并在频率域中对信号进行描述。动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换等来实现。很简单时域分析的函数是参数是t也就是yf(t )频域分析时参数是w也就是yF(w ) 两者之间可以互相转化。时域函数通过傅立叶或者拉普拉斯变换就变成了频域函数。 傅里叶告诉我们任何周期函数都可以看作是不同振幅不同相位正弦波的叠加。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱 正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。 Fourier series square wave circles animation 傅里叶级数方波圆动画 Fourier series sawtooth wave circles animatio 傅立叶级数锯齿波圆动画 介绍完了频域的基本组成单元我们就可以看一看一个矩形波在频域里的另一个模样了
这是什么奇怪的东西
这就是矩形波在频域的样子是不是完全认不出来了教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想以及无穷的吐槽其实教科书只要补一张图就足够了频域图像也就是俗称的频谱就是—— 再清楚一点 可以发现在频谱中偶数项的振幅都是0也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。 Fourier series and transform 傅里叶级数及其变换
想象一下世界上每一个看似混乱的表象实际都是一条时间轴上不规则的曲线但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢
三、傅里叶级数Fourier Series的相位谱
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分这在工程上称为滤波是信号处理最重要的概念之一只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。这段有点难度看不懂的可以直接跳过这段微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法大学数学瞬间变小学算术有没有。 继续说相位谱
通过时域到频域的变换我们得到了一个从侧面看的频谱但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wtθ)中振幅频率相位缺一不可不同相位决定了波的位置所以对于频域分析仅仅有频谱振幅谱是不够的我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢我们看下图这次为了避免图片太混论我们用7个波叠加的图。 鉴于正弦波是周期的我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢为了看的更清楚我们将红色的点投影到下平面投影点我们用粉色点来表示。当然这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离并不是相位。 这里需要纠正一个概念时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi就得到了相位差。
在完整的立体图中我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期就得到了最下面的相位谱。所以频谱是从侧面看相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话可以告诉她“对不起我只是想看看你的相位谱。”
注意到相位谱中的相位除了0就是Pi。因为costPi-cost所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是由于cost2Picost所以相位差是周期的pi和3pi5pi7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pipi]所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合
四、傅里叶变换Fourier Tranformation
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的离散的正弦波但是宇宙似乎并不是周期的。
傅里叶变换则是将一个时域非周期的连续信号转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了还是上一张图方便大家理解吧 或者我们也可以换一个角度理解傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说钢琴谱其实并非一个连续的频谱而是很多在时间上离散的频率但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢
从频率较高的方向看。 以上是离散谱那么连续谱是什么样子呢
尽情的发挥你的想象想象这些离散的正弦波离得越来越近逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海 很抱歉为了能让这些波浪更清晰的看到我没有选用正确的计算参数而是选择了一些让图片更美观的参数不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧原来离散谱的叠加变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。 五、 欧拉公式 虚数i这个概念大家在高中就接触过但那时我们只知道它是-1 的平方根可是它真正的意义是什么呢? 这里有一条数轴在数轴上有一个红色的线段它的长度是1。当它乘以 3 的时候它的长度发生了变化变成了蓝色的线段而当它乘以-1 的时候就变成了绿色的线段或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。 同时我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面也称复平面。这样我们就了解到乘虚数i的一个功能——旋转。
现在就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场—— 这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析但是乘它为宇宙第一公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。 这个公式关键的作用是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义 欧拉公式所描绘的是一个随着时间变化在复平面上做圆周运动的点随着时间的改变在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分也就是螺旋线在左侧的投影就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解大家可以参考复数的物理意义是什么
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助我们便知道正弦波的叠加也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢
光波
高中时我们就学过自然光是由不同颜色的光叠加而成的而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验 所以其实我们在很早就接触到了光的频谱只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里我们可以用两种方法来理解正弦波
第一种前面已经讲过了就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解 将以上两式相加再除2得到 这个式子可以怎么理解呢
我们刚才讲过e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了
举个例子的话就是极化方向不同的两束光波磁场抵消电场加倍。这里逆时针旋转的我们称为正频率而顺时针旋转的我们称为负频率注意不是复频率。
好了刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱现在想一想连续的螺旋线会是什么样子
想象一下再往下翻 是不是很漂亮
你猜猜这个图形在时域是什么样子 哈哈是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句那个像大海螺一样的图为了方便观看我仅仅展示了其中正频率的部分负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的每一条螺旋线都有着不同的振幅旋转半径频率旋转周期以及相位。而将所有螺旋线连成平面就是这幅海螺图了。
好了讲到这里相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了我们最后用一张图来总结一下
