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贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 发展#xff0c;用来描述两个条件概率之间的关系#xff0c;比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法则#xff0c;可以立刻导出#xff1a;P(A∩B) P(A)*P(B|A)P(B)*P(A|B)。如上公式也可变形为#xf…一、贝叶斯
贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 发展用来描述两个条件概率之间的关系比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法则可以立刻导出P(A∩B) P(A)*P(B|A)P(B)*P(A|B)。如上公式也可变形为P(B|A) P(A|B)*P(B) / P(A)。
例1一座别墅在过去的 20 年里一共发生过 2 次被盗别墅的主人有一条狗狗平均每周晚上叫 3 次在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0.9问题是在狗叫的时候发生入侵的概率是多少我们假设 A 事件为狗在晚上叫B 为盗贼入侵则以天为单位统计P(A) 3/7P(B) 2/(20*365) 2/7300P(A|B) 0.9按照公式很容易得出结果P(B|A) 0.9*(2/7300) / (3/7) 0.00058 例2现分别有 A、B 两个容器在容器 A 里分别有 7 个红球和 3 个白球在容器 B 里有 1 个红球和 9 个白球现已知从这两个容器里任意抽出了一个球问这个球是红球且来自容器 A 的概率是多少?假设已经抽出红球为事件 B选中容器 A 为事件 A则有P(B) 8/20P(A) 1/2P(B|A) 7/10按照公式则有P(A|B) (7/10)*(1/2) / (8/20) 0.875贝叶斯公式为利用搜集到的信息对原有判断进行修正提供了有效手段。在采样之前经济主体对各种假设有一个判断先验概率关于先验概率的分布通常可根据经济主体的经验判断确定当无任何信息时一般假设各先验概率相同较复杂精确的可利用包括最大熵技术或边际分布密度以及相互信息原理等方法来确定先验概率分布。
例3 贝叶斯法则的举例分析 可以将贝叶斯法则的分析思路表达如下。 挑战者B不知道原垄断者A是属于高阻挠成本类型还是低阻挠成本类型但B知道如果A属于高阻挠成本类型B进入市场时A进行阻挠的概率是20%此时A为了保持垄断带来的高利润不计成本地拼命阻挠如果A属于低阻挠成本类型B进入市场时A进行阻挠的概率是100%。 博弈开始时B认为A属于高阻挠成本企业的概率为70%因此B估计自己在进入市场时受到A阻挠的概率为 0.7×0.20.3×10.44 0.44是在B给定A所属类型的先验概率下A可能采取阻挠行为的概率。 当B进入市场时A确实进行阻挠。使用贝叶斯法则根据阻挠这一可以观察到的行为B认为A属于高阻挠成本企业的概率变成A属于高成本企业的概率0.7A属于高成本企业的先验概率×0.2高成本企业对新进入市场的企业进行阻挠的概率÷0.440.32 根据这一新的概率B估计自己在进入市场时受到A阻挠的概率为 0.32×0.20.68×10.744 如果B再一次进入市场时A又进行了阻挠。使用贝叶斯法则根据再次阻挠这一可观察到的行为B认为A属于高阻挠成本企业的概率变成。 A属于高成本企业的概率0.32A属于高成本企业的先验概率×0.2高成本企业对新进入市场的企业进行阻挠的概率÷0.7440.086 这样根据A一次又一次的阻挠行为B对A所属类型的判断逐步发生变化越来越倾向于将A判断为低阻挠成本企业了。 以上例子表明在不完全信息动态博弈中参与人所采取的行为具有传递信息的作用。尽管A企业有可能是高成本企业但A企业连续进行的市场进入阻挠给B企业以A企业是低阻挠成本企业的印象从而使得B企业停止了进入地市场的行动。 应该指出的是传递信息的行为是需要成本的。假如这种行为没有成本谁都可以效仿那么这种行为就达不到传递信息的目的。只有在行为需要相当大的成本因而别人不敢轻易效仿时这种行为才能起到传递信息的作用。 传递信息所支付的成本是由信息的不完全性造成的。但不能因此就说不完全信息就一定是坏事。研究表明在重复次数有限的囚徒困境博弈中不完全信息可以导致博弈双方的合作。理由是当信息不完全时参与人为了获得合作带来的长期利益不愿过早暴露自己的本性。这就是说在一种长期的关系中一个人干好事还是干坏事常常不取决于他的本性是好是坏而在很大程度上取决于其他人在多大程度上认为他是好人。如果其他人不知道自己的真实面目一个坏人也会为了掩盖自己而在相当长的时期内做好事。[2]
