地区门户网站 wap app,cdn接入wordpress出错,优化怎么做,常用的网络推广方法有文章目录 复数矩阵附录极大线性无关组向量叉积 复数矩阵
矩阵 A A A 的元素 a i j ∈ C a_{ij}\in\Complex aij∈C #xff0c;称为复矩阵。现将实数矩阵的一些概念推广到复数矩阵#xff0c;相应的一些性质在复数矩阵同样适用。
定义#xff1a;设复矩阵 A ( a i j… 文章目录 复数矩阵附录极大线性无关组向量叉积 复数矩阵
矩阵 A A A 的元素 a i j ∈ C a_{ij}\in\Complex aij∈C 称为复矩阵。现将实数矩阵的一些概念推广到复数矩阵相应的一些性质在复数矩阵同样适用。
定义设复矩阵 A ( a i j ) m × n A(a_{ij})_{m\times n} A(aij)m×n
矩阵 A ˉ ( a i j ‾ ) \bar A(\overline{a_{ij}}) Aˉ(aij) 称为矩阵 A A A 的共轭矩阵.矩阵 A H A ˉ T A^H\bar A^T AHAˉT 称为矩阵 A A A 的共轭转置又叫Hermite转置。若 A H A A^HA AHA则称 A A A 为 Hermitian 矩阵是实数域对称阵的推广。若 A H A A A H I A^HAAA^HI AHAAAHI即 A − 1 A H A^{-1}A^H A−1AH 则称 A A A 为酉矩阵(unitary matrix)是实数域正交阵的推广。复向量长度 ∥ z ∥ 2 ∣ z 1 ∣ 2 ∣ z 1 ∣ 2 ⋯ ∣ z n ∣ 2 \|\mathbf z\|^2|z_1|^2|z_1|^2\cdots|z_n|^2 ∥z∥2∣z1∣2∣z1∣2⋯∣zn∣2内积 u H v u ˉ 1 v 1 u ˉ 2 v 2 ⋯ u ˉ n v n \mathbf u^H\mathbf v\bar u_1v_1\bar u_2v_2\cdots\bar u_nv_n uHvuˉ1v1uˉ2v2⋯uˉnvn正交 u H v 0 \mathbf u^H\mathbf v0 uHv0
性质 A B ‾ A ‾ B ‾ \overline{AB}\overline A\overline B ABAB k A ‾ k ˉ A ˉ \overline{kA}\bar k \bar A kAkˉAˉ A B ‾ A ˉ B ˉ \overline{AB}\bar A\bar B ABAˉBˉ ( A B ) H B H A H (AB)^HB^HA^H (AB)HBHAH内积满足共轭交换率 u H v v H u ‾ \mathbf u^H\mathbf v\overline{\mathbf v^H\mathbf u} uHvvHuHermitian 矩阵可正交对角化 A P Λ P − 1 P Λ P H AP\Lambda P^{-1}P\Lambda P^H APΛP−1PΛPHHermitian 矩阵的每个特征值都是实数
附录
极大线性无关组
由向量组线性相关的定义容易得到以下结论
(1) 向量组线性相关 ⟺ \iff ⟺向量组中存在向量能被其余向量线性表示。 (2) 向量组线性无关 ⟺ \iff ⟺向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。
线性等价给定两个向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a r b 1 , b 2 , ⋯ , b s \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r \\ \mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_s a1,a2,⋯,arb1,b2,⋯,bs 如果其中的每个向量都能被另一个向量组线性表示则两个向量组线性等价。
例如向量组 a , b , a b \mathbf a,\mathbf b,\mathbf a\mathbf b a,b,ab 与向量组 a , b \mathbf a,\mathbf b a,b 线性等价。
极大线性无关组从向量组 A A A 中取 r r r 个向量组成部分向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a r \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r a1,a2,⋯,ar 若满足
(1) 部分向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a r \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r a1,a2,⋯,ar 线性无关 (2) 从 A A A 中任取 r 1 r1 r1个向量组成的向量组 都线性相关。
则称向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a r \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r a1,a2,⋯,ar 为极大线性无关组(maximum linearly independent group)。极大线性无关组包含的向量个数为向量组的秩。
性质
(1) 一个向量组的极大线性无关组不一定是惟一的 (2) 一个向量组与它的极大线性无关组是等价的 (3) 一个向量组的任意两个极大线性无关组中包含的向量个数相同称为向量组的秩(rank)。全由零向量组成的向量组的秩为零 (4) 两个线性等价的向量组的秩相等 (5) 两个等价的向量组生成的向量空间相同。
向量叉积
平面叉积 [ v 1 v 2 ] × [ w 1 w 2 ] det [ v 1 w 1 v 2 w 2 ] \begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}\det\begin{bmatrix}v_1 w_1\\ v_2 w_2 \end{bmatrix} [v1v2]×[w1w2]det[v1v2w1w2] 大小等于 v , w v,w v,w 围成的平行四边形的面积
三维叉积 [ v 1 v 2 v 3 ] × [ w 1 w 2 w 3 ] det [ i v 1 w 1 j v 2 w 2 k v 3 w 3 ] \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}\det\begin{bmatrix}\mathbf i v_1 w_1\\\mathbf j v_2 w_2 \\\mathbf k v_3 w_3 \end{bmatrix} v1v2v3 × w1w2w3 det ijkv1v2v3w1w2w3 大小等于 v , w v,w v,w 围成的平行六面体的体积方向遵循右手定则。
