如何注册网站域名和购买虚拟主机,为第三方网站做推广,做网站的公司怎么推销,影视公司排行榜什么是导数导数是高数中的重要概念#xff0c;被应用于多种学科。从物理意义上讲#xff0c;导数就是求解变化率的问题#xff1b;从几何意义上讲#xff0c;导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。我们熟知的速度公式#xff1a;v s/t#xff0c;这求解的是平均速度被应用于多种学科。 从物理意义上讲导数就是求解变化率的问题从几何意义上讲导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。 我们熟知的速度公式v s/t这求解的是平均速度实际上往往需要知道瞬时速度 当t趋近于t0即t-t0趋近于0时得到的就是顺时速度。设Δtt-t0s是t的函数sf(t)瞬时速度用数学表示就是 为什么sf(t)呢请看下图 将横轴作为距离以时间为单位分隔在t0时间经过的距离是f(t0)S0在t时间经过的距离是f(t)s 在几何上如下图所示 直线a与曲线相切于点Q直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率k(y-y0)/(x-x0)当b以Q为轴心沿着曲线旋转时铉长|PQ|趋近于0即x-x0时极限存在 有上述两个问题可以看出变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式 定义Δx x-x0, Δy y - y0 f(x) – f(x0) f(x0 Δx) - f(x0)上面的公式可以写成 由此得出导数的概念设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量x在x0处取得增量Δx点x0Δx仍在该邻域内时相应地函数y取得增量Δy如果Δy与Δx之比当Δx-0时的极限存在则称函数yf(x)在点x0处可导并称这个极限为函数yf(x)在点x0处的导数记作f’(x0) 也记作 简写为1/x求导 根据导数公式代入f(x) 1/x 这就OK了所以说导数很简单因为它仅有一个公式但没完因为上式没有任何意义仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式对于所有求导当Δx-0时分母为0所以必须将导数进一步简化。 需要注意的是求f’(x)的完整说法是求f(x)在定义域某一点的导数所以x是已知的求某一点的导数当然要知道这个点是什么。求切线所在三角形的面积 如下图所示直线MN是曲线1/x的切线切点是(x0,y0)求S△MON S△MON 1/2(MO * ON)已知条件是切点(x0,y0)需要求解的未知条件是MO和NO。 直线MN的公式是ykxb根据上节的介绍1/x在x0,y0的导数是MN的斜率 -1/x02代入得 y0-1/x02 b 1/x0 (-1/x02) x0 b b 2/x0 设N点的坐标是(x,0)代入ykxb得 0(-1/x02)x2/x0 x 2x0 即OM 2x0 同理MO2y0 S△MON 1/2(MO * ON) 1/2(2x02y0) 1/2(2x0)(2/x0) 2幂函数求导 f(x) Xn的导数f’(x) nxn-1 例(3x6)’ 3 * 6x6-1 18x5 该公式可以扩展到多项式中 (3x3 6x10) 3 * 3x3-1 6 * 10 x10-1 9x2 60x9sin和cos求导 下面是sinx和cosx的去曲线图sinxcosx sin0° 0sin90° sin(π/2) 1 求导时需要用到几个公式 1、2不解释3、4后面会给出证明(sinx)’(cosx)’为什么会有公式3、4 需要从几何意义上证明。 上图是一个单位圆将Δx用θ替换。由于单位圆r1弧长MN(2πr ) (θ/360) (2πr)(θ/2π) θ。 公式3 当θ趋近于0时PN比弧长MN更快地趋近于0所以公式3成立。 公式4sinθMP/OMMP. 当θ趋近于0时MP越来越趋近与MN趋近但不等于0所以函数可导的条件 如果一个函数的定义域为全体实数即函数在其上都有定义那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在它的左右极限存在且相等推导而来。 可导的函数一定连续连续的函数不一定可导不连续的函数一定不可导。 下面是两个不可导的例子f(x)x1/3 f(x)x1/3f’(x)x-2/3/3在x0处分母为0所以在x0处不可导。实际上该函数在x0处的切线是y轴导数趋近于无穷不符合导数的定义。f(x)|x| 几何上切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说当切线经过曲线上的某点即切点时切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。f(x)|x|在x0点时曲线没有唯一方向即在x0点没有切线所以该函数在x0点不可导。总结导数的物理意义描述变化率几何意义切线的斜率导数公式:基本函数求导公式1) (C)’ 02) (1/x)’ -1/x23) (xn)’ nxn-14) (sinx)’ cosx5) (cosx)’-sinx 4.可导的充要条件它的左右极限存在且相等可导的函数一定连续连续的函数不一定可导不连续的函数一定不可导。
