木蚂蚁网站正在建设中,营销网站制作企业,深圳市网络营销公司,wordpress 数据库 媒体库0. 简介
介绍计算机中数的表示方法#xff0c;主要内容来自 c s a p p csapp csapp。
1. 整数的表示
包括有符号整数与无符号整数的表示。
假设 w → [ w n − 1 w n − 2 . . . w 0 ] \overrightarrow w[w_{n-1}w_{n-2}...w_0] w [wn−1wn−2...w0] 为一种整数。…0. 简介
介绍计算机中数的表示方法主要内容来自 c s a p p csapp csapp。
1. 整数的表示
包括有符号整数与无符号整数的表示。
假设 w → [ w n − 1 w n − 2 . . . w 0 ] \overrightarrow w[w_{n-1}w_{n-2}...w_0] w [wn−1wn−2...w0] 为一种整数。
1.1 无符号整数
计算机是二进制的且数据长度固定。
所以无符号二进制数实际上直接表示即可。 B 2 U ( w → ) ∑ i 0 n − 1 w i × 2 i B2U(\overrightarrow w)\sum_{i0}^{n-1}w_i \times 2^{i} B2U(w )i0∑n−1wi×2i
1.2 有符号整数 补码编码 最高位来表示符号位 B 2 T ( w → ) − w n − 1 ∗ 2 n − 1 ∑ i 0 n − 2 w i × 2 i B2T(\overrightarrow w)-w_{n-1}*2^{n-1}\sum_{i0}^{n-2}w_i\times2^i B2T(w )−wn−1∗2n−1i0∑n−2wi×2i 所以范围为有符号整数范围为 − 2 n − 1 ∼ 2 n − 1 − 1 -2^{n-1}\sim 2^{n-1}-1 −2n−1∼2n−1−1 反码编码 B 2 O ( w → ) − w n − 1 ∗ ( 2 n − 1 − 1 ) ∑ i 0 n − 2 w i × 2 i B2O(\overrightarrow w)-w_{n-1}*(2^{n-1}-1)\sum_{i0}^{n-2}w_i\times2^i B2O(w )−wn−1∗(2n−1−1)i0∑n−2wi×2i 原码编码 B 2 S ( w → ) ( − 1 ) w n − 1 ⋅ ∑ i 0 n − 2 w i × 2 i B2S(\overrightarrow w)(-1)^{w_{n-1}} \cdot \sum_{i0}^{n-2}w_i \times2^i B2S(w )(−1)wn−1⋅i0∑n−2wi×2i
为什么使用补码原码和反码的表示中对于 0 0 0的表示有歧义。 0 ( 0000 0000 ) 0(0000\ 0000) 0(0000 0000) − 0 ( 1000 0000 ) -0(1000\ 0000) −0(1000 0000)
1.3 有符号数与无符号数间转换
无符号数转有符号数 B 2 U ( w → ) ∑ i 0 n − 1 w i × 2 i w n − 1 ∗ 2 n − 1 ∑ i 0 n − 2 w i × 2 i B 2 T ( w → ) − w n − 1 ∗ 2 n − 1 ∑ i 0 n − 2 w i × 2 i \begin{align} B2U(\overrightarrow w)\sum_{i0}^{n-1}w_i \times 2^iw_{n-1} *2^{n-1} \sum_{i0}^{n-2}w_i \times 2^i\\ B2T(\overrightarrow w)-w_{n-1}*2^{n-1}\sum_{i0}^{n-2}w_i\times2^i \end{align} B2U(w )i0∑n−1wi×2iwn−1∗2n−1i0∑n−2wi×2iB2T(w )−wn−1∗2n−1i0∑n−2wi×2i ( 2 ) − ( 1 ) (2)-(1) (2)−(1)得到 B 2 T ( w → ) − B 2 U ( w → ) − w n − 1 ∗ 2 n B2T(\overrightarrow w)-B2U(\overrightarrow w)-w_{n-1} *2^{n} B2T(w )−B2U(w )−wn−1∗2n 所以 U 2 T ( w → ) − w n − 1 ∗ 2 n B 2 U ( w → ) U2T(\overrightarrow w)-w_{n-1}*2^nB2U(\overrightarrow w) U2T(w )−wn−1∗2nB2U(w ) 分类讨论下最高位情况 l e t u B 2 U ( w → ) U 2 T ( u ) { u , u ≤ T M a x n ( w n − 1 1 ) u − 2 n , u T M a x n let\ uB2U(\overrightarrow{w})\\ \begin{equation} U2T(u ) \begin{cases} u,\quad u \le TMax_{n}(w_{n-1} 1)\\ u-2^n,\quad u \gt TMax_{n} \end{cases} \end{equation} let uB2U(w )U2T(u){u,u≤TMaxn(wn−11)u−2n,uTMaxn
同理可得有符号转无符号数 B 2 U ( w → ) U 2 T ( w → ) w n − 1 ∗ 2 n B2U(\overrightarrow w)U2T(\overrightarrow w)w_{n-1}*2^n B2U(w )U2T(w )wn−1∗2n 同样分类讨论最高位情况 l e t t U 2 T ( w → ) T 2 U ( t ) { t , t ≥ 0 ) t 2 n , t 0 let\ tU2T(\overrightarrow w)\\ \begin{equation} T2U(t) \begin{cases} t,\quad t \ge 0)\\ t2^n,\quad t \lt 0 \end{cases} \end{equation} let tU2T(w )T2U(t){t,t≥0)t2n,t0
1.4 数位扩展
无符号数扩展直接在前面添加 0 0 0即可。 u → [ u n − 1 u n − 2 ⋯ u 0 ] u ′ → [ 0 ⋯ u n − 1 ⋯ u 0 ] \overrightarrow u[u_{n-1}u_{n-2}\cdots u_0]\\ \overrightarrow {u} [0\cdots u_{n-1}\cdots u_0] u [un−1un−2⋯u0]u′ [0⋯un−1⋯u0] 根据 B 2 U ( w → ) ∑ i 0 n − 1 w i × 2 i B2U(\overrightarrow w)\sum_{i0}^{n-1}w_i \times 2^{i} B2U(w )i0∑n−1wi×2i u → u ′ → \overrightarrow {u}\overrightarrow{u} u u′
补码符号扩展在前面不断添加最高位数字即可
证明 B 2 T t k ( [ w t − 1 w t − 1 w t − 2 ⋯ w 0 ] ) − 2 t k − 1 ∗ w n − 1 ∑ i 0 t k − 2 2 i ∗ w i − 2 t k − 1 ∗ w t − 1 2 t k − 2 ∗ w t − 1 ∑ i 0 t k − 3 2 i ∗ w i − 2 t k − 2 ∗ w t − 1 ∑ i 0 t k − 3 2 i ∗ w i ⋯ − 2 t − 1 ∗ w t − 1 ∑ i 0 t − 2 2 i ∗ w i B 2 T t ( w t − 1 w t − 2 ⋯ w 0 ) \begin{align} B2T_{tk}([w_{t-1}w_{t-1}w_{t-2}\cdots w_0]) -2^{tk-1}*w_{n-1}\sum_{i0}^{tk-2}2^{i} *w_i \nonumber\\ -2^{tk-1}*w_{t-1}2^{tk-2}*w_{t-1}\sum_{i0}^{tk-3}2^{i} *w_i \nonumber\\ -2^{tk-2}*w_{t-1}\sum_{i0}^{tk-3}2^{i} *w_i \nonumber\\ \cdots \nonumber \\ -2^{t-1} *w_{t-1} \sum_{i0}^{t-2}2^{i} *w_i \nonumber \\ B2T_{t}(w_{t-1}w_{t-2}\cdots w_0) \nonumber \end{align} B2Ttk([wt−1wt−1wt−2⋯w0])−2tk−1∗wn−1i0∑tk−22i∗wi−2tk−1∗wt−12tk−2∗wt−1i0∑tk−32i∗wi−2tk−2∗wt−1i0∑tk−32i∗wi⋯−2t−1∗wt−1i0∑t−22i∗wiB2Tt(wt−1wt−2⋯w0)
1.5 数位截断
无符号数的截断直接取 k k k位即可。
证明 B 2 U t ( [ w t − 1 w t − 2 ⋯ w 0 ] ) m o d 2 k [ ∑ i 0 t − 1 w i ∗ 2 i ] m o d 2 k [ ∑ i 0 k − 1 w i ∗ 2 i ] m o d 2 k [ ∑ i 0 k − 1 w i ∗ 2 i ] B 2 U k ( w k − 1 w k − 2 ⋯ w 0 ) \begin{align} B2U_t([w_{t-1}w_{t-2}\cdots w_0]) \bmod 2^k [\sum_{i0}^{t-1}w_i *2^i] \bmod 2^k \nonumber\\ [\sum_{i0}^{k-1}w_i *2^i] \bmod 2^k \nonumber\\ [\sum_{i0}^{k-1}w_i *2^i] \nonumber\\ B2U_k(w_{k-1}w_{k-2} \cdots w_0)\nonumber\\ \end{align} B2Ut([wt−1wt−2⋯w0])mod2k[i0∑t−1wi∗2i]mod2k[i0∑k−1wi∗2i]mod2k[i0∑k−1wi∗2i]B2Uk(wk−1wk−2⋯w0) 利用了 ∀ i k , 2 i m o d 2 k 0 \forall ik, 2^i \bmod2^k0 ∀ik,2imod2k0 有符号数(补码)的截断 B 2 T t ( [ w t − 1 w t − 2 ⋯ w 0 ] ) m o d 2 k U 2 T t ( B 2 U t ( [ w t − 1 w t − 2 ⋯ w 0 ] ) ) m o d 2 k l e t u B 2 U t ( [ w t − 1 w t − 2 ⋯ w 0 ] ) 根据公式 ( 3 ) [ u − ( i × 2 t ) ] m o d 2 k u m o d 2 k U 2 T t ( B 2 U t ( [ w t − 1 w t − 2 ⋯ w 0 ] ) m o d 2 k ) \begin{align} B2T_t([w_{t-1}w_{t-2}\cdots w_0]) \bmod 2^k U2T_t(B2U_t([w_{t-1}w_{t-2}\cdots w_0])) \bmod 2^k \nonumber \\ let\ u B2U_t([w_{t-1}w_{t-2}\cdots w_0])\nonumber \\ 根据公式(3)\nonumber \\ [u-(i \times 2^{t})] \bmod 2^k\nonumber \\ u \bmod 2^k\nonumber\\ U2T_t(B2U_t([w_{t-1}w_{t-2}\cdots w_0])\bmod 2^k) \nonumber \\ \end{align} B2Tt([wt−1wt−2⋯w0])mod2k根据公式(3)U2Tt(B2Ut([wt−1wt−2⋯w0]))mod2klet uB2Ut([wt−1wt−2⋯w0])[u−(i×2t)]mod2kumod2kU2Tt(B2Ut([wt−1wt−2⋯w0])mod2k)
2. 整数的运算
2.1 整数加法
无符号整数加法 ∀ x , y , 0 ≤ x , y 2 w x w u y { x y , x y 2 w x y − 2 w , 2 w ≤ x y 2 w 1 ( 溢出 ) \forall x,y, 0 \le x,y\lt2^w\\ x^{u}_{w}y \begin{cases} xy, \quad xy \lt 2^w\\ xy-2^w,\quad 2^{w} \le xy \lt 2^{w1}(溢出) \end{cases} ∀x,y,0≤x,y2wxwuy{xy,xy2wxy−2w,2w≤xy2w1(溢出)
检测无符号数 ∀ x , y , 0 ≤ x , y 2 w l e t s x w u y s x 则发生溢出。 溢出时 x w u y x y − 2 w x , y 2 w y − 2 w 0 , x − 2 w 0 x y − 2 w x , y x − 2 w y \forall x,y, 0 \le x,y\lt2^w\\ let\ sx^{u}_wysx则发生溢出。\\ 溢出时x^{u}_wyxy-2^w\\ x,y \lt 2^w\\ y-2^{w} \lt 0,x-2^w \lt 0\\ xy-2^w \lt x,yx-2^w \lt y ∀x,y,0≤x,y2wlet sxwuysx则发生溢出。溢出时xwuyxy−2wx,y2wy−2w0,x−2w0xy−2wx,yx−2wy 无符号数求反 − w u x { 0 , x 0 2 w − x , x ≠ 0 -^u_wx \begin{cases} 0, \quad x0\\ 2^w-x, x \ne 0 \end{cases} −wux{0,x02w−x,x0
补码加法 ∀ x , y , − 2 w − 1 ≤ x , y ≤ 2 w − 1 − 1 x w t y { x y − 2 w , 2 w − 1 ≤ x y x y , − 2 w − 1 ≤ x y ≤ 2 w − 1 x y 2 w , x y ≤ − 2 w − 1 \forall x,y, -2^{w-1} \le x, y \le 2^{w-1} -1\\ x^{t}_{w}y \begin{cases} xy-2^w, \quad 2^{w-1}\le xy\\ xy,\quad -2^{w-1} \le xy \le 2^{w-1}\\ xy2^{w},\quad xy\le -2^{w-1} \end{cases} ∀x,y,−2w−1≤x,y≤2w−1−1xwty⎩ ⎨ ⎧xy−2w,2w−1≤xyxy,−2w−1≤xy≤2w−1xy2w,xy≤−2w−1 由于补码表示与无符号位表示相似
则我们可以转换为无符号再进行计算 x w t y U 2 T w ( T 2 U w ( x ) T 2 U w ( y ) ) U 2 T w [ ( x w − 1 2 w x y w − 1 2 w y ) m o d 2 w ] U 2 T w [ ( x y ) m o d 2 w ] \begin{align} x^t_wy U2T_w(T2U_w(x)T2U_w(y)) \nonumber \\ U2T_w[(x_{w-1}2^wxy_{w-1}2^wy) \bmod 2^w]\nonumber \\ U2T_w[(xy) \bmod 2^w]\nonumber \\ \end{align} xwtyU2Tw(T2Uw(x)T2Uw(y))U2Tw[(xw−12wxyw−12wy)mod2w]U2Tw[(xy)mod2w] 检测补码加法中的溢出 s x w t y x 0 , y 0 , s ≤ 0 , 正溢出 x 0 , y 0 , s ≥ 0 负溢出 sx^t_wy\\ x \gt 0, y \gt 0,s\le0,正溢出\\ x \lt 0,y\lt 0,s \ge 0负溢出 sxwtyx0,y0,s≤0,正溢出x0,y0,s≥0负溢出 补码的非 − w t x { T m i n w , x T m i n w − x , x T m i n w -^t_wx \begin{cases} Tmin_w, \quad xTmin_w\\ -x,\quad x \gt Tmin_w \end{cases} −wtx{Tminw,xTminw−x,xTminw
2.2 整数乘法
无符号乘法 x ∗ w u y ( x ∗ y ) m o d 2 w x * ^u_wy(x*y) \bmod 2^w x∗wuy(x∗y)mod2w
补码乘法 x ∗ w t y U 2 T w ( ( x ∗ y ) m o d 2 w ) x * ^t_wyU2T_w((x*y) \bmod 2^w) x∗wtyU2Tw((x∗y)mod2w)
证明 T 2 B w ( x ∗ w t y ) U 2 B w ( x ′ ∗ w t y ′ ) x ′ x x w − 1 2 w y ′ y y w − 1 w w ( x ′ ∗ y ′ ) m o d 2 w ( x x w − 1 2 w ) ( y y w − 1 2 w ) m o d 2 w ( x y ) m o d 2 w T2B_w(x*^t_wy)U2B_w(x*^t_wy)\\ x x x_{w-1}2^w\\ y yy_{w-1}w^w\\ (x * y) \bmod 2^w (x x_{w-1}2^w)(yy_{w-1}2^w) \bmod 2^w(xy) \bmod 2^w T2Bw(x∗wty)U2Bw(x′∗wty′)x′xxw−12wy′yyw−1ww(x′∗y′)mod2w(xxw−12w)(yyw−12w)mod2w(xy)mod2w 乘以2的 k k k次幂,左移 k k k位 B 2 U w k ( [ x w − 1 x w − 2 ⋯ 0 ] ) ∑ i 0 w − 1 x i 2 i k [ ∑ i 0 w − 1 x i 2 i ] × 2 k x 2 k B2U_{wk}([x_{w-1}x_{w-2}\cdots 0]) \sum_{i0}^{w-1}x_i2^{ik}[\sum_{i0}^{w-1}x_i2^i]\times2^kx2^k B2Uwk([xw−1xw−2⋯0])i0∑w−1xi2ik[i0∑w−1xi2i]×2kx2k
3. 浮点数
3.1 浮点数表示 V ( − 1 ) s × M × 2 E V(-1)^s\times M \times2^E V(−1)s×M×2E 在内存中的布局 E e − B i a s e B 2 U ( e k − 1 e k − 2 ⋯ e 0 ) B i a s 2 k − 1 − 1 f B 2 U ( [ f n − 1 f n − 2 ⋯ f 0 ] ) / 2 n Ee-Bias\\ eB2U(e_{k-1}e_{k-2}\cdots e_0)\\ Bias2^{k-1}-1\\ fB2U([f_{n-1}f_{n-2} \cdots f_0])/2^{n} Ee−BiaseB2U(ek−1ek−2⋯e0)Bias2k−1−1fB2U([fn−1fn−2⋯f0])/2n 总体分三种情况
标准化值 阶码部分不全为0或不全为1 M 1 f M1f M1f非标准化值 阶码部分全为0 M f Mf Mf特殊值 阶码全为1小数域全为0对应 − ∞ , ∞ -\infin ,\infin −∞,∞, 小数域非0对应 N a N NaN NaN,表示不是一个数。
