优化网站流量,商城网站建设软件,wordpress 电台主题,网站建设深圳哪家公司好文章目录 abstract正弦级数和余弦级数周期延拓奇偶延拓对延拓函数做区间限制 小结偶延拓方法奇延拓方法 例 abstract
傅里叶级数正弦级数和余弦级数奇偶延拓和周期延拓
正弦级数和余弦级数
奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余… 文章目录 abstract正弦级数和余弦级数周期延拓奇偶延拓对延拓函数做区间限制 小结偶延拓方法奇延拓方法 例 abstract
傅里叶级数正弦级数和余弦级数奇偶延拓和周期延拓
正弦级数和余弦级数
奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数准确来说,是傅里叶系数的 a n a_n an为0就是正弦级数,而不要求最终级数的形式中包含正弦函数;余弦级数类似
周期延拓
若函数 f ( x ) f(x) f(x)定义在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π],我们可以在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [−π,π)或 ( − π , π ] (-\pi,\pi] (−π,π]外的区间(即 ( − ∞ , − π ] (-\infin,-\pi] (−∞,−π]或 [ π , ∞ ) [\pi,\infin) [π,∞))补充函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义,使它拓广为周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数 F ( x ) F(x) F(x),称为周期延拓 这里 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [−π,π)和 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]的写法的区别在于每个区间的端点处的定义当 f ( x ) f(x) f(x)在 k π k\pi kπ, k ∈ Z k\in\mathrm{Z} k∈Z时有间断点(比如第一类间断点)时,就有明显的区别
奇偶延拓
在实际应用中,有时还需要把定义在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上的函数 f ( x ) f(x) f(x)展开成正弦级数或余弦级数设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上,并且满足收敛定理的条件,那么我们在开区间 ( − π , 0 ) (-\pi,0) (−π,0)内补充定义,得到定义在 ( − π , π ] (-\pi,\pi] (−π,π]上的函数 F ( x ) F(x) F(x),使它在 ( − π , π ) (-\pi,\pi) (−π,π)上成为奇函数(偶函数)按照上述方法拓广函数的定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)将延拓后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必然是正弦级数或余弦级数
对延拓函数做区间限制
再限制 x ∈ ( 0 , π ] x\in(0,\pi] x∈(0,π],此时 F ( x ) ≡ f ( x ) F(x)\equiv{f(x)} F(x)≡f(x),便得到 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数(余弦级数)的展开式
小结
奇延拓(偶延拓)是先将非奇函数(偶函数)拓广成单个周期内的奇函数(偶函数)而周期延拓在已经是奇函数(偶函数)的基础上,将定义域拓广到任意更多周期
偶延拓方法 对于偶函数 F ( x ) F(x) F(x),它的图形关于 y y y轴对称 若 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f D_{f} Df,且关于 y y y轴对称的图形对应的函数为 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x), ( x ∈ − D f ) (x\in{-D_{f}}) (x∈−Df) 我们有结论 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x) f ( − x ) f(-x) f(−x); f 1 f_1 f1的定义域为 D f 1 − D f D_{f_1}-D_{f} Df1−Df,(这里假设函数连续,否则要考虑间断点或者分段函数分段点) 例如 D f ( 0 , ∞ ) D_{f}(0,\infin) Df(0,∞),则 − D f ( − ∞ , 0 ) -D_{f}(-\infin,0) −Df(−∞,0) 结论可由函数图形变换性质得出 或由点坐标法得出: P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))的对称点为 Q ( − x , f ( x ) ) Q(-x,f(x)) Q(−x,f(x)), Q Q Q满足 f 1 ( − x ) f ( x ) f_1(-x)f(x) f1(−x)f(x),即 f 1 ( x ) f ( − x ) f_1(x)f(-x) f1(x)f(−x)
奇延拓方法 对于奇函数 F ( x ) F(x) F(x),它的图形关于原点对称 若 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f D_{f} Df,并设 f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的图形对应的函数段为 f 1 ( x ) f_{1}(x) f1(x), ( x ∈ − D f ) (x\in{-D_{f}}) (x∈−Df) 我们有结论: f 1 ( x ) f_1(x) f1(x) − f ( − x ) -f(-x) −f(−x) 结论的推导:根据函数图形翻折知识,可知,得到图形关于原点对称的图形有两种方法 方法1:二次翻折法:可通过2步骤完成: 将 f ( x ) f(x) f(x)的图像关于 y y y轴对称,得到 f ( − x ) f(-x) f(−x)在将 f ( − x ) f(-x) f(−x)关于 x x x对称,得到 − f ( − x ) -f(-x) −f(−x) 方法2:点坐标对称法,直接获得欲求函数 设 P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))为函数 f ( x ) f(x) f(x)上的点,则 P P P关于原点的对称点坐标为 Q ( − x , − f ( x ) ) Q(-x,-f(x)) Q(−x,−f(x))而 Q Q Q在 f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的函数 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)的图形上,所以 Q Q Q坐标满足 f 1 ( − x ) − f ( x ) f_1(-x)-f(x) f1(−x)−f(x),从而 f 1 ( x ) − f ( − x ) f_1(x)-f(-x) f1(x)−f(−x) 这就是说, f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的图形的解析式对应于 − f ( − x ) -f(-x) −f(−x),定义域为 − D f -D_{f} −Df
例 例如,对于 f ( x ) f(x) f(x) 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,\pi] x∈[0,π],求它展开成的正弦级数和余弦级数 分析:对 f ( x ) f(x) f(x)进行周期延拓,即分别做奇延拓和偶延拓,可分别得到正弦级数和余弦级数展开式 展开成正弦级数: 将 f ( x ) f(x) f(x)做奇延拓: ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,\pi] x∈[0,π]; ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) − ϕ ( − x ) -\phi(-x) −ϕ(−x) − 2 x 2 -2x^2 −2x2, x ∈ [ − π , 0 ) x\in[-\pi,0) x∈[−π,0) 再对 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)做周期延拓,得到 F ( x ) F(x) F(x), x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in{(-\infin,\infin)} x∈(−∞,∞) Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)满足收敛定理条件, Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)在 x ( 2 k 1 ) π x(2k1)\pi x(2k1)π, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z处间断 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) f ( x ) f(x) f(x),所以它的傅里叶级数 F F F在 [ 0 , π ) [0,\pi) [0,π)上收敛于 f ( x ) f(x) f(x)周期奇函数的性质可知,其傅里叶系数 a n a_{n} an0, n 0 , 1 , 2 , ⋯ n0,1,2,\cdots n0,1,2,⋯ b n b_{n} bn 2 π ∫ 0 π 2 x 2 sin n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\sin{nx}\mathrm{d}x π2∫0π2x2sinnxdx 4 π ∫ 0 π x 2 sin n x d x \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin{nx}\mathrm{d}x π4∫0πx2sinnxdx 使用2次分部积分,可得 b n b_n bn − 4 n π ( π 2 cos n π − 2 n 2 cos n π 2 n 2 ) -\frac{4}{n\pi}(\pi^2\cos{n}\pi-\frac{2}{n^2}\cos{n\pi}\frac{2}{n^2}) −nπ4(π2cosnπ−n22cosnπn22) 4 π ( − π 2 n cos n π 2 n 3 cos n π − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}(-\frac{\pi^2}{n}\cos{n\pi}\frac{2}{n^3}\cos{n\pi}-\frac{2}{n^3}) π4(−nπ2cosnπn32cosnπ−n32) 4 π ( − π 2 n ( − 1 ) n 2 n 3 ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}(-\frac{\pi^2}{n}(-1)^{n}\frac{2}{n^3}(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4(−nπ2(−1)nn32(−1)n−n32) 4 π ( ( − π 2 n 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}((-\frac{\pi^2}{n}\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4((−nπ2n32)(−1)n−n32); n 1 , 2 , ⋯ n1,2,\cdots n1,2,⋯ Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) 4 π ∑ n 1 ∞ ( ( − π 2 n 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n1}^{\infin}((-\frac{\pi^2}{n}\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4∑n1∞((−nπ2n32)(−1)n−n32), x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in{(-\infin,\infin)} x∈(−∞,∞) f ( x ) f(x) f(x) 4 π ∑ n 1 ∞ ( ( − π 2 n 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n1}^{\infin}((-\frac{\pi^2}{n}\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4∑n1∞((−nπ2n32)(−1)n−n32), x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x∈[0,π) 该式就是对延拓函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)做区间限制,即得 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数展开 它是一个奇函数或者偶函数定义域是一个周期, [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π] 展开成余弦级数 为此对函数 f ( x ) f(x) f(x)做偶延拓, ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ ( − π , π ] x\in(-\pi,\pi] x∈(−π,π]再作 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)的周期延拓函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x),则 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)满足收敛定理的条件,且处处连续在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上, Φ ( x ) f ( x ) \Phi(x)f(x) Φ(x)f(x),所以它的傅里叶级数 F F F在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上收敛于 f ( x ) f(x) f(x) b n 0 b_{n}0 bn0, n 1 , 2 , ⋯ n1,2,\cdots n1,2,⋯ a 0 a_{0} a0 2 π ∫ 0 π f ( x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x π2∫0πf(x)dx 2 π ∫ 0 π 2 x 2 d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\mathrm{d}x π2∫0π2x2dx 4 3 π 2 \frac{4}{3}\pi^{2} 34π2 a n a_{n} an 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos{nx}\mathrm{d}x π2∫0πf(x)cosnxdx 2 π ∫ 0 π 2 x 2 cos n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\cos{nx}\mathrm{d}x π2∫0π2x2cosnxdx ( − 1 ) n 8 n 2 (-1)^{n}\frac{8}{n^2} (−1)nn28, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯) 所以 f ( x ) f(x) f(x) 1 2 4 3 π 2 \frac{1}{2}\frac{4}{3}\pi^2 2134π2 8 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 8 n 2 cos n x 8\sum_{n1}^{\infin}(-1)^{n}\frac{8}{n^2}\cos{nx} 8∑n1∞(−1)nn28cosnx, x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x∈[0,π)
