网站充值 下模板,推广软文,如何申请免费域名做网站,怎么运营自己的网站凸优化在学术研究中非常重要#xff0c;经常遇到的问题是证明凸性。常规证明凸性的方式是二阶导数的黑塞矩阵为半正定#xff0c;或者在一维函数时二阶导数大于等于零。但很多时候的数学模型并不那么常规、容易求导的#xff0c;若能够知道一些保留凸性的运算#xff0c;将…凸优化在学术研究中非常重要经常遇到的问题是证明凸性。常规证明凸性的方式是二阶导数的黑塞矩阵为半正定或者在一维函数时二阶导数大于等于零。但很多时候的数学模型并不那么常规、容易求导的若能够知道一些保留凸性的运算将能够显著减少证明凸性的难度。这篇博客总结一些这个知识点。
1. 非负加权和
若函数 f 1 , … , f m f_1,\dots,f_m f1,…,fm 为凸函数参数 w 1 , … , w m w_1,\dots,w_m w1,…,wm 非负则函数 f w 1 f 1 ⋯ w m f m fw_1f_1\dotsw_mf_m fw1f1⋯wmfm 为凸函数。
这可以推广到无限加权和的情况若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 对于 y ∈ A y\in \mathcal{A} y∈A 的每个值都是 x x x 的凸函数并且 w ( y ) ≥ 0 w(y)\geq 0 w(y)≥0那么函数 g ( x ) ∫ A w ( y ) f ( x , y ) d y g(x) \int_{\mathcal{A}}w(y)f(x,y)dy g(x)∫Aw(y)f(x,y)dy
也是凸函数。只要积分存在即 ∫ A w ( y ) ∣ f ( x , y ) ∣ d y ∞ \int_{\mathcal{A}}w(y)|f(x,y)|dy\infty ∫Aw(y)∣f(x,y)∣dy∞
2. 限制为一条线
凸函数限制为一条线线restriction to a line几何意义是凸函数对某条线这条线为 x t v xtv xtv与定义域的交集上的点取函数值对于凸函数 f ( x ) f(x) f(x)对于它定义域内的一点 x x x即 x ∈ dom f x\in \textbf{dom } f x∈dom f另外一个满足 x t v ∈ dom f xtv\in\textbf{dom } f xtv∈dom f 的点 v v v那么函数 g ( t ) f ( x t v ) g(t)f(xtv) g(t)f(xtv)
是关于 t t t 的凸函数。
举例 f ( x , y ) x 2 y 2 f(x,y)x^2y^2 f(x,y)x2y2 为一个凸函数它的图像为 若 x ( 0 , 0 ) x(0,0) x(0,0), v ( 1 , 2 ) v(1,2) v(1,2), f ( x t v ) 2 t 2 f(xtv)2t^2 f(xtv)2t2图像为 看到一些资料说限制为一条线相当于一个函数竖截面与函数图像交点形成的那条线如下 但似乎并不完全是这条线的形状跟 x x x, v v v 的取值有关这在一维函数时特别明显但都是凸的。
例如若 f ( x ) x 2 f(x)x^2 f(x)x2取 x 0 , v 2 x0, v2 x0,v2则 g ( t ) 4 t 2 g(t)4t^2 g(t)4t2图像如下 有一个定理 f ( x ) f(x) f(x) 为凸函数当且仅当对任何 x ∈ dom f x\in\textbf{dom} f x∈domf, x t v ∈ dom f xtv\in\textbf{dom} f xtv∈domf, g ( t ) f ( x t v ) g(t)f(xtv) g(t)f(xtv) 都为凸函数。
