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数据是什么 数据是各种各样的信息#xff0c;如数字、文本、计算机程序、音乐、图像、符号等等#xff0c;实际上#xff0c;信息可以是能够被计算机存储和处理的任何事物。 位与字节 计算机中存储和处理信息的最小单位是位#xff08;Binary digit比特#x…计算机算术
数据是什么 数据是各种各样的信息如数字、文本、计算机程序、音乐、图像、符号等等实际上信息可以是能够被计算机存储和处理的任何事物。 位与字节 计算机中存储和处理信息的最小单位是位Binary digit比特bit一个比特的值可以是0或1。 数字计算机将信息以一组或一串比特称作字的形式保存在存储器中。如串01011110表示一个8位的字。 计算机通过高低电压高低电位两个电压等级来存储0和1的状态。 计算机通常不会每次只对一个二进制位进行操作而是对一组二进制位进行操作。 8个二进制位为一个字节byte一些计算机制造商用术语“字”表示16位的值长字表示32位的值还有一些制造商用字表示32位的值用半字表示16位的值。 位模式 每当数字增加1位路径的总数将翻一倍。一个n位的字将得到2n条不同路径或位模式。如一个8位的字节将得到28256个可能的值。 为了用二进制数表示任何一个拥有最多n个值的量应找到一个使不等式n2m成立的最小位数m。 下图描述了如何用1位、2位、3位和4位得到一个二进制的值序列 信息表示
一个二进制串可以表示的对象有
指令
字长为32位或更长的计算机用一个字来表示CPU能够完成的操作8位或16位计算机用多个字表示一条指令。指令的二进制编码与其功能之间的关系由计算机设计者决定。如一台计算机上表示“A加B”的二进制序列可能与另一台计算机上的完全不同。
数量
一个字或多个字都可以用来表示数量。数可以被表示为多种格式如有符号、无符号二进制整数、二进制浮点数、整数复数等等。
字符
字符是一个叫作“字母表”的集合中元素。拉丁或罗马字母表中的字母、数字字符A-Za-z0-9和*、-、、等符号都被分配了二进制值因此可以在计算机内存储和处理。
ASCII码表用7位表示一个字符一共可以表示27128个不同的字符。其中96个字符是可打印字符。其余32个是不可打印字符用于完成回车、退格、换行等特殊功能。 图像、声音和视觉
组成照片的基本单位是像素每个像素的大小可以是8位单色或24位三基。
视频作为一串静态图像依次传输每秒发送60次。
声音通过对波形信号采样。
多媒体信号如视频、声音可进行有损压缩。
二进制运算
二进制算术运算规则与十进制基本相同区别是基数不同。
下面列出了二进制加、减、乘法运算的规则 两个位相加可能产生进位或借位和十进制运算规则相同。
下面是4个8位二进制数相加的例子 当两个二进制数相减时会从左侧借一位如 下面描述了01101001乘数与01001001被乘数相乘的过程两个n位字相乘将产生一个2n位的积 有符号整数 负数可以用多种不同的方式表示计算机设计者选择了3种方法符号及值表示法、二进制补码表示法、移码表示法每种方法都有各自的优缺点。 符号及值表示法
一个n位字可以表示从0~2n-1共2n个可能的值。如一个8位的字可以表示0,1…254,255。
表示负数的方法是用它的最高位表示符号通常符号位为0表示正数符号位为1表示负数。
下面两个8位有符号二进制00001101和10001101的值为 n位有符号的表示范围为-(2n-1-1) ~ (2n-1-1)。一个8位有符号数的表示-12711111111~ 12701111111之间的整数。
有人反对该系统的一个原因是它有两个值都表示0
00000000 0 和 10000000 -0
符号及值表示法没有被用于整数算术运算中因为它的加、减法运行需要分别用加法器和减法器实现。符号及值表示法用于浮点算术运算中。
二进制补码运算 微处理器用二进制补码系统表示有符号整数它可以将减法运算转换为对减数的补码的加法运算。 补码的求法
对于正数其补码就是其本身其原码对于负数其补码是其原码绝对值的二进制表示取反得到反码后加1。零的补码只有一种就是全零。
下面说明了8位二进制数的补码运算过程将4个数5、-5、7、-7转换为补码 将7与5的补码相加 结果为9位二进制数100000010。如果忽略最左边一位进位位结果为0000001022正是希望得到的结果。
将-7加5 结果为11111110进位位为0。也是希望得到的结果-2即28-2100000000-0000001011111110
用补码运算得出的结果也是补码形式结果若为正则无需转换正数的原码与补码一致可直接读出结果若为负则需将补码转换为原码原码转换为补码的逆过程才可读出结果。
补码的特点主要有以下几点
补码的符号位和数值位可以一起参与运算。补码不仅修复了原码和反码的缺陷而且还可以将加法、减法统一为加法运算简化了计算机内部的运算电路设计。补码的最大优点是可以直接用于加法运算使得计算机的硬件实现更为简单。补码的缺点是人们不易直接看出它代表的数值尤其是对于负数的补码需要先求出其原码才能知道它代表的实际数值。
乘除法简介
移位运算
进行移位运算时一个数的所有位都会向左或向右移动一位如将00101100左移一位变为01011000右移一位变为00010110。有些计算机每次可以移动多位。
移位运算又可以分为逻辑移位和算术移位
逻辑移位逻辑左移和逻辑右移在移位过程中都是用0来填充空出的位。逻辑移位只看二进制数值不考虑其代表的数值的正负所以逻辑移位适用于无符号数的运算。算术移位算术左移与逻辑左移没有区别都是用0填充空出的位。但算术右移在填充空出的位时会用原来最高位符号位的值来填充即如果原来是正数那么空出的位就填充0如果原来是负数那么空出的位就填充1。算术移位考虑了数值的正负所以适用于有符号数的运算。
下图描述了算术移位的过程 a算术左移最低位补0最高位被复制到进位标志中如11000101左移一位得到10001010。在不溢出的情况下相当于乘以2
b算术右移最高位补符号位所有位右移一位。最低位复制到进位标志中如00100101右移一位得到00010010。11100101右移一位得到11110010。在不溢出的情况下相当于除以2
无符号二进制乘法
计算机从乘数的最低位开始每次检查一位判断它是否为0如果乘数的当前位为1则写下被乘数若该位为0则写下n个0。接下来检查乘数的下一位这时应从上一位数的左边一位开始写下被乘数或0。被写下的这一组数叫作部分积。得到所有的部分积后加到一起得到乘法结果 乘法结果100000102 130是一个8位二进制数。两个二进制数相乘得到一个2n位的积。
但是计算机并没有实现上面的算法这种算法要求计算机存储n个部分积然后将它们同时相加。更好的做法是每得到一个部分积就做一次加法。
下面给出了一个计算两个n位无符号二进制数相乘的算法
步骤a将计数器的值置为n
步骤b将2n位的部分积寄存器清零
步骤c检查乘数的最右位即最低位将被乘数与部分积的最低位n位相加
步骤d将部分积右移一位
步骤e将乘数右移一位乘数的最右位被丢弃
步骤f将计数器的值减1重复步骤c直到n个周期后计数器的值变为0。部分积寄存器的内容就是乘积结果。 快速乘法 通过移位和加法实现的乘法速度很慢实际的计算机采用了多种方法加快乘法运算的速度。 快速乘法是一种在计算机科学中用于加速大整数的乘法的算法。这种方法是基于分治策略把大问题分解成几个相对较小的子问题来解决。 对于两个 n 位的数 a 和 b我们可以将其分为两个 n/2 位的数即 a a1 * 2(n/2) a0b b1 * 2(n/2) b0。那么 a*b a1*b1*2n (a1*b0 a0*b1)*2(n/2) a0*b0。我们需要计算 a1*b1a1*b0a0*b1a0*b0 这四项然后将结果加起来。但是这样并没有减少计算量因为我们仍然需要做四次乘法。
然而通过数学技巧我们可以将四次乘法减少到三次。这就是所谓的卡拉齐Karatsuba算法。该算法是这样进行的首先计算 a1*b1 和 a0*b0然后计算 (a1a0)*(b1b0)最后用第三个结果减去前两个结果得到的就是 a1*b0 a0*b1。
这样我们只需要做三次乘法然后再做一些加法和位移操作就可以得到结果。
除法
无符号二进制除法的例子 被除数的前5位比除数小因此商的最高位为0并将除数与被除数的前6位比较 被除数的前6位中有一个除数减法后得到新的部分被除数为0010101111将被除数的下一位移下来 新的部分被除数小于除数因此商的下一位为0后续除法过程如下 除法结果商为10111余数为0。
恢复余数除法
刚刚讨论的除法方法用计算机实现需要修改的就是除数与部分被除数的比较方法计算机减去并检测结果的符号位。如果减法的结果为正则商1如果结果为负则商0并将部分被除数与除数相加将其恢复为原先的值。
恢复余数除法算法
1将除数的最高位与被除数的最高位对齐
2从部分被除数中减去除数得到新的部分被除数
3如果新的部分被除数为负数则商0并用新的部分被除数加上除数恢复原先的部分被除数
4如果新的部分被除数为正则商1
5判断除法是否结束如果除数的最低位与部分被除数的最低位对齐则除法结束最后的部分被除数就是余数。否则执行第6步
6将除数右移一位从第2步继续执行。 不恢复余数除法 不恢复余数除法是一种在计算机算术中常用的除法方法。这种方法的特点是在每一步中不需要恢复被除数的余数而是直接将除法的结果累加到商中。这种方法的优点是计算速度快效率高但是需要在开始时就确定除数和被除数的位数。 不恢复余数除法的基本步骤如下
先将除数左移使其最高位与被除数的最高位对齐。然后将对齐后的除数与被除数相减得到的结果称为“部分余数”。如果部分余数为正那么商的当前位就设为1然后将部分余数左移一位。如果部分余数为负那么商的当前位就设为0然后将被除数而不是部分余数左移一位。重复步骤2-4直到得到的商的位数等于预定的位数。
这种方法虽然计算速度快但是如果除数和被除数的位数较大可能会导致精度损失。因此在需要高精度计算的场合可能需要使用其他的除法方法。 浮点数
浮点数即实数实数是所有有理数和无理数的集合。
之所以叫作浮点数是因为小数点在数中的位置并不是固定的。一个浮点数值分为两部分存储 数值以及小数点在数值中的位置。
计算机中的浮点运算的计算结果一般是不确定的一块芯片上的浮点计算结果也许与另一块芯片上的不同。
科学计数法来表示很大或很小的数。
十进制浮点数可以被表示为尾数x10指数如1.2345x1020
二进制浮点数可以被表示为尾数x2指数如1.0111x25
IEEE 754浮点数标准提供3种浮点数表示32位单精度浮点数、64位双精度浮点数、128位四精度浮点数
规格化浮点数
IEEE 754浮点数的尾数总是规格化的其范围为1.000…0x2e到1.111…1x2ee为指数。
规格化浮点数的最高位总是1规格化使尾数的所有位都是有效的因而尾数精度最高。
如
0.10…x2e规格化为1.10…x2e-1
10.1…2e规格化为1.01…x2e1
偏置指数
IEEE 754浮点数的尾数被表示为符号及值的形式即用一个符号位表示它是正数还是负数。它的指数则用偏置方式表示即给真正的指数加上一个常数。
假定所用的指数为8位偏置值为127。如果一个数的指数为0则被保存为0 127127。如果指数为-2则被保存为-2 127 125。
实数1010.1111规格化的结果为1.010111x23指数为3将被保存为3127130即130用二进制表示为10000010。
这种用偏置表示指数的方法优点在于最小的负指数被表示为0如果不采用这种方法0的浮点表示为0.0…0x2最小负指数。采用偏置指数0就可以用尾数0和指数0表示 IEEE浮点数
一个32位IEEE 754单精度浮点数可以被表示为下面的二进制串
S EEEEEEEE 1.MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
S为符号位指明这个数是正数还是负数
E为8位偏置指数指出了小数点的位置
M为23位尾数 S位为符号位决定了数的符号若S0则为正数若S1则为负数。
指数E将浮点数的尾数扩大或缩小2E倍并且偏置值为127。
如浮点数1.11001…0x212的指数为1212713910100010112 。
IEEE浮点数的尾数总是规格化的其值范围在1.0000…00~1.1111…11除非这个浮点数是0此时尾数为0.000…00。
由于尾数总是规格化的且最高位总是为1因此将尾数存入存储器时没有必要保存最高位的1。所以一个非0的IEEE 754浮点数可被定义为 S符号位
E偏置量为B的指数
F尾数的小数部分实际的尾数为1.F有个隐含的1
浮点数0被表示为S0E0M0即浮点数0用全0表示
考虑下面的例子
将一个32位IEEE单精度浮点数X11000001100110011000000000000000解压为一个符号位、一个偏置指数和一个尾数。
解压这3个字段得到S 1E10000011F00110011000000000000000
实际的尾数为1. 00110011000000000000000因此这个数为
-1. 00110011000000000000000 x 210000011–01111111 -1.00110011000000000000000 x 24 -10011.0011
IEEE浮点数格式 ANSI/IEEE 745-1985标准定义了基本的和扩展的浮点数格式以及一组数量有限的算术运算的规则加、减、乘、除、平方根、求余和比较。 非数Not a NumberNaN是IEEE 754标准提供的一个专门符号代表IEEE 754标准格式所不能表示的数。 下图IEEE 754标准定义了3种浮点数格式 在32位IEEE 754单精度浮点数格式中最大指数Emax为127最小指数Emin为-126而不是128~-127。Emin-1即-127用来表示浮点0Emax1用来表示正/负无穷大或NaN数。 IEEE浮点数的特点
1浮点数接近0时的特点
下图描述了一个指数为2位尾数为2位的浮点数系统。浮点数0表示为00 000下一个规格化的正数表示为00 100即2-bx 1.00b为偏置常量 浮点数0附近有一块禁止区其中的浮点数都是非规格化的因此无法被表示为IEEE标准格式。这个数的指数和起始位都是0的区域也可用来表示浮点数。
但是这些数都是非规格化的其精度比规格化数的进度低会导致渐进式下溢。
2IEEE标准规定缺省的舍入技术应该向最近的值舍入
3IEEE标准规定了4种比较结果分别是等于、小于、大于和无序unordered无序用于一个操作数是NaN数的情景
4IEEE标准规定了5种异常
操作数不合法当程序员使用一些不合法的操作数。如NaN数、与无穷大数相加或相减时、求负数的平方根等除数为0上溢当结果比最大浮点数还大时。处理上溢的方法有终止计算和饱和运算用最 大值作为结果等下溢当结果比最小浮点数还小时。也就是说结果小于2Emin。下溢可以通过将 最小浮点数设为0或用一个小于2Emin的非规格化数表示最小浮点数等方式处理结果不准确当某个操作产生舍入错误时
浮点运算
由于浮点操作数已被表示为规格化形式在相加时需要对齐指数
为了对齐指数计算机必须执行下面步骤
第1步找出指数较小的数
第2步使两个数的指数相同
第3步尾数相加或相减
第4步如果有必要将结果规格化 注意
1因为指数有时与尾数位于同一个字中在加法过程开始之前必须将它们分离开减压缩
2如果两个指数的差大于p1p为尾数的位数较小的数由于太小而无法影响较大的数结果实际就等于较大的数。如1.1010x2601.01x2-12的结果为1.1010x260因为指数之差为72
3结果规格化时检查指数范围以分别检测指数下溢或上溢。指数下溢会导致结果为0而指数上溢会造成错误。
舍入和截断误差
浮点运算可能引起尾数位数的相加需要保持尾数位数不变的方法。最简单的技术叫作截断。
如将0.1101101截断为4位尾数的结果为0.1101。截断会产生诱导误差即误差是由施加在数上的操作计算所引起的诱导误差是偏置的因为截断后的数总比截断前小。
舍入是一种更好的减少数的位数的技术。如果丢弃的位的值大于剩余数最低位的一半将剩余数的最低位加1。
考虑两个数在小数点后第4位上舍入的例子 下图描述了舍入机制 1最简单的舍入机制是截断或向0舍入。
2“向最近的数舍入”方法会选择距离该数最近的那个浮点数作为结果。
3“向正或负无穷大舍入”方法会选择正或负无穷大方向上最近的有效浮点数作为结果。
当要舍入的数位于两个连续浮点数的正中时IEEE舍入机制选择最低位为0的点即向偶数舍入。
浮点运算和程序员
整数操作时精确、可重复的浮点数操作是不精确的。
考虑表达式z x2-y2x、y、z都是实数。可以将表达式视作x2-y2或(xy)(x-y)计算整数运算得到相同结果但浮点数运算可能得到不同结果。(由于舍入机制的存在)
浮点运算中的误差传播 误差传播是指在连续的浮点运算中前一个操作的误差会影响后续操作的结果。例如如果你先将两个数字相加然后将结果乘以第三个数字那么加法操作的误差就会影响到乘法操作的结果。误差传播可能会放大原始误差特别是在涉及到大量计算的长公式或算法中。 生成数学函数 生成数学函数主要是指通过一些特定的数学方法和技术计算或近似计算出常见的数学函数的值如三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等。 在计算机中由于硬件的限制很多数学函数并不能直接进行精确计算而是需要通过一些特殊的算法进行近似计算。这些算法主要包括以下几种
直接计算法对于一些简单的数学函数如加、减、乘、除等可以直接通过硬件进行计算。查表法对于一些常见的数学函数如三角函数、指数函数、对数函数等可以预先计算出一些点的函数值存储在一个表中然后通过查表的方式来获取函数值。泰勒级数展开法对于一些复杂的数学函数可以通过泰勒级数展开来进行近似计算。泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法通过计算有限项的和可以得到函数的近似值。
