网站伪静态如何配置,嘉兴地区有人做网站吗,做网站推广一般多少钱,知乎 wordpress 插件切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E(X)μ#xff0c;方差D(X)σ2#xff0c;对于任意ε0#xff0c;都有P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2方差越大#xff0c;X落在区间外的概率越大#xff0c;X的波动也就越大#xff0c;与方差的意义统一了。等价公式P{|X−μ|ε}…切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E(X)μE(X)=\mu方差D(X)σ2D(X)=\sigma ^2对于任意ε0\varepsilon >0都有
P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2
P\{|X-\mu| \ge \varepsilon\} \le \dfrac{\sigma ^2}{\varepsilon ^2} 方差越大X落在区间外的概率越大X的波动也就越大与方差的意义统一了。等价公式
P{|X−μ|ε}≥1−σ2ε2
P\{|X-\mu| 适用范围 期望、方差都存在的随机变量。
用途 对于随机变量落在期望附近区域内或外给出一个界的估计。
证明 证明的要点是意识到D(X)E((X−μ)2)D(X)=E((X-\mu)^2)
大数定律 随机事件A的频率fn(A)f_n(A)当重复试验的次数n增大时总是呈现出稳定性稳定在某一个常数附近。频率的稳定性是概率定义的客观基础。 随机变量与随机变量序列的区别看这里。感觉上随机变量序列是多次随机试验结果写成数组形式。
辛钦大数定律 设X1,X2...XnX_1,X_2...X_n是相互独立且服从同一分布的随机变量序列且具有数学期望E(Xk)μE(X_k)=\muk1,2,3…。则对于∀ε0\forall \varepsilon>0有
limn−∞P{|1n∑k1nXk−μ|ε}1
lim_{n->+\infty} P\{|\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}X_k - \mu| |1n∑nk1Xk−μ|ε|\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}X_k - \mu| 是一个随机事件。辛钦大数定律描述的是独立同分布且具有均值μ\mu的随机变量X1,X2...XnX_1,X_2...X_n当n很大的时候它们的
算术平均值1n∑nk1Xk\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}X_k很可能接近于μ\mu。依概率收敛
定义 设Y1,Y2,...YnY_1,Y_2,...Y_n为一个随机变量序列c为一常数若对于∀ε\forall \varepsilon均有limn−∞P{|Yn−c|≥ε}0 lim_{n->+\infty} P\{|Y_n-c| \ge \varepsilon\}=0成立则称随机变量序列{Yn,n1}\{Y_n,n>1\}依概率收敛于c记为Yn−cY_n ->c(这里记号有问题表示不出来)当n−∞n->+\infty。
性质 若Xn−aX_n->a(依概率)Yn−bY_n->b(依概率)当n−∞n->+\infty时函数f(x,y)在点(a,b)处连续那么g(Xn,Yn)−g(a,b)g(X_n,Y_n)->g(a,b)(依概率)当n−∞n->+\infty时。
辛钦大数定律第二种写法 设X1,X2...XnX_1,X_2...X_n是相互独立且服从同一分布的随机变量序列且具有数学期望E(Xk)μE(X_k)=\muk1,2,3…。则序列X¯¯¯1n∑nk1Xk\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k依概率收敛于μ\mu。记为X¯¯¯−μ\overline{X}->\mu(依概率)。 说明相当于辛钦大数定律使用依概率收敛写了一次。 辛钦大数定律指出随机变量X的数学期望的近似值的方法将随机变量独立重复地观察n次记第k次的观测值为XkX_k可将n次观测值的算术平均值作为期望的近似。
切比雪夫大数定律 X1,X2...XnX_1,X_2...X_n是相互独立的随机变量且具有相同的期望μ\mu相同的方差σ2\sigma ^2那么1n∑ni1Xi−μ\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \;->\mu(依概率)。
伯努利大数定律 设fn(A)f_n(A)是n次独立重复试验中时间A发生的次数p是事件A在每次试验中发生的概率则对于任意正数ε0\varepsilon > 0。有
limn−∞P{|fAn−p|ε}1
lim_{n->+\infty}P\{|\dfrac{f_A}{n}-p也可以表示为fn(A)n∼p\dfrac{f_n(A)}{n}\sim p(依概率)。 伯努利大数定律指出当试验次数很大的时候可以用频率代替概率。三个大数定律的比较
定律分布情况期望方差结论辛钦大数定律相互独立且同分布存在估算期望切比雪夫大数定律相互独立相同相同估算期望伯努利大数定律二项分布相同相同频率概率相同点n−∞n->+\infty,依概率趋近条件组件变得严格
中心极限定理 有许多随机变量它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响形成的其中每一个的因素在总影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似的服从正态分布。 中心极限定理central limit theorem是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础指出了大量随机变量累积分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。(引用)
独立同分布的中心极限定理(CLT) 设随机变量X1,X2...XnX_1,X_2...X_n相互独立且同分布E(Xi)μE(X_i)=\muD(Xi)σ2D(X_i)=\sigma ^2i1,2,…则对于充分大的n有∑ni1Xi∼(近似)N(nμ,nσ2)\sum_{i=1}^{n}X_i \sim (近似)N(n\mu,n\sigma^2)。此时P(a∑ni1Xib)≈ϕ(b−nμn√σ)−ϕ(a−nμn√σ)P(a。1n∑ni1Xi∼(近似)N(μ,σ2n)\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \sim (近似)N(\mu,\dfrac{\sigma ^2}{n})
德莫佛-拉普拉斯定理 记nAn_A为n重伯努利试验中事件A发生的次数并记事件A在每次试验中发生的概率为p则对于充分大的n有nA∼(近似)N(np,np(1−p))n_A \sim (近似)N(np,np(1-p))
