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1. 神经元模型
在神经网络中#xff0c;最基本的单元是神经元#xff08;Neuron#xff09;#xff0c;也称为节点或单元。它模拟了生物神经系统中的神经元行为。一个典型的神经元模型包含多个输入#xff08;x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_nx1,x2…一、神经网络基础
1. 神经元模型
在神经网络中最基本的单元是神经元Neuron也称为节点或单元。它模拟了生物神经系统中的神经元行为。一个典型的神经元模型包含多个输入x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_nx1,x2,…,xn每个输入都对应一个权重w1,w2,…,wnw_1, w_2, \ldots, w_nw1,w2,…,wn以及一个偏置bias。神经元的输出yyy通过激活函数Activation Function计算得出公式如下
yf(∑i1nwixib)
y f\left(\sum_{i1}^{n} w_i x_i b\right)
yf(i1∑nwixib)
其中fff 表示激活函数常见的激活函数有Sigmoid、Tanh和ReLU等。
代码示例
import numpy as npdef sigmoid(z):return 1 / (1 np.exp(-z))def neuron_output(weights, inputs, bias):z np.dot(weights, inputs) biasreturn sigmoid(z)weights np.array([0.5, -0.2, 0.1])
inputs np.array([1.0, 0.5, -1.5])
bias 0.3output neuron_output(weights, inputs, bias)
print(Neuron output:, output)2. 激活函数
激活函数引入非线性特性使得神经网络能够学习复杂的模式。常用的激活函数包括
Sigmoid: 将输入映射到(0,1)区间适用于二分类问题。Tanh: 将输入映射到(-1,1)区间输出均值为0收敛速度比Sigmoid快。ReLURectified Linear Unit: 当输入大于0时输出输入值否则输出0缓解梯度消失问题加速训练。
代码示例
def tanh(z):return np.tanh(z)def relu(z):return np.maximum(0, z)# 示例比较不同激活函数
z np.array([-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0])
print(Sigmoid:, sigmoid(z))
print(Tanh:, tanh(z))
print(ReLU:, relu(z))二、前馈神经网络结构
1. 多层感知机MLP
前馈神经网络由输入层、一个或多个隐藏层及输出层组成。每一层由多个神经元构成层与层之间全连接。信息从输入层流向输出层无反馈连接。
架构示意
输入层 - 隐藏层1 - 隐藏层2 - ... - 输出层代码示例
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense# 构建一个简单的三层MLP
model Sequential()
model.add(Dense(units32, activationrelu, input_dim784)) # 输入层假设输入为28x28图像
model.add(Dense(units64, activationrelu)) # 隐藏层1
model.add(Dense(units10, activationsoftmax)) # 输出层10类分类2. 前向传播过程
在前向传播中输入数据通过网络层层传递每层的输出作为下一层的输入。最终输出层的输出即为模型的预测结果。
代码示例
# 使用Keras进行前向传播
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.datasets import mnist# 加载数据
(x_train, y_train), (x_test, y_test) mnist.load_data()
x_train x_train.reshape(-1, 784).astype(float32) / 255
x_test x_test.reshape(-1, 784).astype(float32) / 255
y_train tf.keras.utils.to_categorical(y_train, 10)
y_test tf.keras.utils.to_categorical(y_test, 10)# 编译模型
model.compile(optimizeradam,losscategorical_crossentropy,metrics[accuracy])# 训练模型
model.fit(x_train, y_train, epochs5, batch_size32)# 评估模型
loss, accuracy model.evaluate(x_test, y_test)
print(fTest Accuracy: {accuracy*100:.2f}%)三、损失函数与优化器
1. 损失函数
损失函数衡量模型预测与真实标签之间的差异指导模型参数的调整。常见的损失函数包括
均方误差MSE: 常用于回归问题。交叉熵损失Cross-Entropy Loss: 常用于分类问题特别是多类别分类。二元交叉熵Binary Cross-Entropy: 适用于二分类问题。
代码示例
from keras.losses import binary_crossentropy, categorical_crossentropy, mean_squared_error# 示例计算损失
y_true np.array([1, 0, 0])
y_pred np.array([0.8, 0.1, 0.1])# 多类别交叉熵
loss_ce categorical_crossentropy(y_true, y_pred)
print(Categorical Cross-Entropy Loss:, loss_ce)# 二类别交叉熵
loss_bce binary_crossentropy(y_true[0], y_pred[0])
print(Binary Cross-Entropy Loss:, loss_bce)2. 优化器
优化器通过调整模型参数以最小化损失函数。常用的优化算法包括
梯度下降Gradient Descent: 最基本的优化方法但收敛速度慢。随机梯度下降SGD: 每次使用一个样本更新参数速度快但波动大。动量Momentum: 引入动量项加速收敛并减少震荡。自适应学习率方法:
Adagrad: 根据参数梯度的历史累积调整学习率。RMSprop: 结合动量和Adagrad的优点适应性更强。Adam: 结合了动量和RMSprop广泛使用的优化器。代码示例
from keras.optimizers import SGD, Adam# 使用SGD优化器
sgd_optimizer SGD(learning_rate0.01, momentum0.9)
model.compile(optimizersgd_optimizer, losscategorical_crossentropy, metrics[accuracy])# 使用Adam优化器
adam_optimizer Adam(learning_rate0.001)
model.compile(optimizeradam_optimizer, losscategorical_crossentropy, metrics[accuracy])四、反向传播算法
1. 反向传播原理
反向传播Backpropagation是通过计算损失函数相对于每个参数的梯度来更新网络参数的过程。具体步骤包括
前向传播: 计算每一层的激活值和最终输出。计算损失: 比较输出与真实标签计算损失。反向传播: 从输出层开始逐层向后计算梯度。参数更新: 根据梯度和优化器规则更新权重和偏置。
2. 梯度计算与链式法则
反向传播依赖于链式法则Chain Rule即复合函数的导数等于各函数导数的乘积。对于每一层梯度通过激活函数的导数和权重矩阵传递回前一层。
代码示例
# 简化的反向传播示例手动实现单层
import numpy as np# 定义简单的两层网络
input_data np.array([[0.1, 0.2]])
weights np.array([[0.5, -0.3], [0.2, 0.4]])
bias np.array([0.1, -0.1])# 前向传播
hidden_layer sigmoid(np.dot(input_data, weights) bias)
print(Hidden Layer Output:, hidden_layer)# 假设真实标签为[0,1]
true_labels np.array([[0, 1]])# 计算损失使用MSE
loss np.mean((hidden_layer - true_labels) ** 2)
print(Loss:, loss)# 反向传播计算梯度
delta hidden_layer - true_labels
dW np.dot(input_data.T, delta)
db np.sum(delta, axis0)
print(Gradient dW:, dW)
print(Gradient db:, db)五、训练与验证
1. 数据集划分
为了评估模型的泛化能力通常将数据集划分为训练集、验证集和测试集。训练集用于模型学习验证集用于调参和监控训练过程测试集用于最终评估。
代码示例
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_iris# 加载数据
data load_iris()
X data.data
y data.target# 将多类别标签转换为one-hot编码
y tf.keras.utils.to_categorical(y, num_classes3)# 划分训练集和测试集80%训练20%测试
X_train, X_test, y_train, y_test train_test_split(X, y, test_size0.2, random_state42)2. 过拟合与正则化
过拟合指模型在训练集上表现良好但在验证集或测试集上表现较差。常见防止过拟合的方法包括
L1和L2正则化: 在损失函数中添加权重绝对值或平方和的惩罚项限制权重大小。Dropout: 在训练过程中随机“丢弃”一部分神经元减少神经元间的依赖。早停Early Stopping: 当验证性能不再提升时停止训练防止过拟合。
代码示例
from keras.layers import Dropout
from keras.regularizers import l2
from keras.callbacks import EarlyStopping# 添加L2正则化和Dropout层
model Sequential()
model.add(Dense(units64, activationrelu, kernel_regularizerl2(0.01), input_dim4))
model.add(Dropout(0.5)) # Dropout比例为50%
model.add(Dense(units3, activationsoftmax))# 编译模型
model.compile(optimizeradam, losscategorical_crossentropy, metrics[accuracy])# 添加早停回调
early_stop EarlyStopping(monitorval_loss, patience5)六、实战案例手写数字识别
1. MNIST数据集介绍
MNIST是一个广泛用于手写数字识别的数据集包含6万张训练图像和1万张测试图像每张图像为28x28像素的灰度图对应数字0-9。该数据集简单且具有代表性适合初学者实践神经网络。
2. 数据预处理与加载
在训练前需要对图像数据进行归一化处理将像素值缩放到[0,1]区间以提高训练效率和模型性能。此外将标签进行One-Hot编码以适应多分类任务。
代码示例
from tensorflow.keras.datasets import mnist
from tensorflow.keras.utils import to_categorical
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 加载MNIST数据集
(x_train, y_train), (x_test, y_test) mnist.load_data()
print(fTraining data shape: {x_train.shape}, Test data shape: {x_test.shape})# 数据归一化
x_train x_train.astype(float32) / 255.0
x_test x_test.astype(float32) / 255.0# 标签One-Hot编码
y_train to_categorical(y_train, num_classes10)
y_test to_categorical(y_test, num_classes10)
