广州大型网站建设,建设网站 (公司),windows7 wordpress,软文推广多少钱一篇文章目录 线性代数研究对象主要问题联系核心概念核心定理 核心操作和运算基础高级小结 性质和推导方法问题转换为线性方程组求解问题验证和推导性质定理 线性代数研究对象
线性代数的研究对象主要是行列式和矩阵(向量)矩阵这种对象可以做的操作和运算很多,特别是方阵,它们的计… 文章目录 线性代数研究对象主要问题联系核心概念核心定理 核心操作和运算基础高级小结 性质和推导方法问题转换为线性方程组求解问题验证和推导性质定理 线性代数研究对象
线性代数的研究对象主要是行列式和矩阵(向量)矩阵这种对象可以做的操作和运算很多,特别是方阵,它们的计算量天然就有较大的特点,例如:伴随矩阵的计算,矩阵乘法,计算逆矩阵等,其中又以矩阵乘法运算最为重要,几乎贯穿整个学科的始终,是许多其他概念和计算的基础
主要问题
为了解决几个重要问题,提出了许多概念,例如秩,初等变换和基于这些概念的方法
矩阵方程和线性方程组的解向量组的线性相关性特征值和特征向量问题 矩阵(方阵)相似对角化问题二次型问题
联系 向量组线性相关问题和特征值和特征向量问题,本质上可以转化为线性方程组的解的问题 例如向量组 A A A线性相关用线性方程组描述为 A x 0 \bold{Ax0} Ax0(1)存在非零解,这又等价于 R ( A ) n R(A)n R(A)n问题(其中 n n n为 x \bold{x} x的维数,或向量组 A A A包含的向量个数) 向量组 B B B能够由 A A A线性表出,则 A X B \bold{AXB} AXB(2)有解 矩阵 A \bold{A} A关于特征值 λ \lambda λ的特征向量 A α λ α \bold{A\alpha\lambda\alpha} Aαλα(3)求解,可以转换为线性方程组 ( λ E − A ) α 0 (\lambda\bold{E}-A)\alpha\bold{0} (λE−A)α0(3-1)或 ( A − λ E ) α 0 (\bold{A}-\lambda\bold{E})\alpha0 (A−λE)α0(3-2)有求非零解问题(方程(3,3-1,3-2)是等价方程) 其中行列式 ∣ λ E − A ∣ |\lambda\bold{E}-\bold{A}| ∣λE−A∣(4)是方阵 A \bold{A} A的特征多项式,根据Cramer法则,方程(3-1)具有非零解的条件是(4)取 0 0 0由此可以求出所有特征值再分别求出矩阵 A \bold{A} A的属于每个特征值的特征向量,也就是求线性方程组 λ E − A 0 \lambda{\bold{E}}-\bold{A}\bold{0} λE−A0的解 特征值和特征向量为矩阵相似对角化可行性的判定作铺垫,矩阵 A A A的 k i k_i ki重特征值 λ i \lambda_{i} λi具有 k i k_i ki个线性无关特征向量时,矩阵 A A A可以对角化 二次型 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_{n}) f(x1,⋯,xn) x T A x \bold{x^{T}Ax} xTAx的问题,本质上二次型的对称阵 A \bold{A} A问题 二次型标准化问题对应于 A \bold{A} A的相似对角化问题 对称阵 A \bold{A} A一定可以相似对角化,而且是正交相似对角化, 一定存在正交阵 Q \bold{Q} Q( Q T Q − 1 \bold{Q^{T}Q^{-1}} QTQ−1)使得 Q T A Q \bold{Q^{T}AQ} QTAQ Q − 1 A Q \bold{Q^{-1}AQ} Q−1AQ Λ \Lambda Λ 或者说 A \bold{A} A相似且合同于某个对角阵 Λ \Lambda Λ d i a g ( λ 1 , ⋯ , λ n ) \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,⋯,λn),其中 λ 1 , ⋯ , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_{n} λ1,⋯,λn是 A \bold{A} A的特征值) 二次型规范化问题:任何二次型都可以规范化 二次型(对应矩阵)正定问题
核心概念 基本概念: 行列式矩阵线性方程组 抽象概念 矩阵的秩向量组的秩
核心定理 线性方程组有解判定定理及其推广 A x b \bold{Axb} Axb A X B \bold{AXB} AXB判定条件: R ( A ) R ( A , B ) R(\bold{A})R(\bold{A,B}) R(A)R(A,B) 向量组线性相关性判定定理 本质上是线性方程组的应用,将向量组线性相关性问题通过建立对应的线性方程组,转化为分析方程组解的情况问题向量组线性相关有许多结论,这些结论很多都可以用本定理推导证明 秩的相关定理 由于线性方程组判定定理涉及到秩,因此关于秩相关定理和常用例如 矩阵作初等行变换不改变秩 R ( A ) ⩽ R ( A , B ) R(\bold{A})\leqslant{R(\bold{A,B})} R(A)⩽R(A,B)(或部分组的秩不超过整体组的秩)
核心操作和运算
基础
转置运算内积运算矩阵乘法运算初等变换运算向量单位化运算
高级
方阵行列式运算矩阵(向量组)秩求逆运算对角化
小结
矩阵乘法和初等变换是最核心的矩阵操作
性质和推导方法
问题转换为线性方程组求解问题
大多数问题都可以和线性方程组的求解问题挂钩,通过构造线性方程组来研究线性代数的大多数问题 而线性方程组的解由依赖矩阵乘法和矩阵的秩 矩阵乘法负责问题表达和转换而系数矩阵和增广矩阵的秩的判定直接决定了线性方程组解的情况 而矩阵的秩又依赖于初等变换可见初等变换和矩阵乘法的重要性
验证和推导性质定理
线性代数中有很多利用运用构造法,化归法,反证法的例子 例如证明 R ( A B ) ⩽ R ( A ) R ( B ) R(AB)\leqslant{R(A)R(B)} R(AB)⩽R(A)R(B)的过程中,我们可以构造 ( A B B ) \begin{pmatrix}AB\\B\end{pmatrix} (ABB),再利用更加基础的结论证明它: ( A B B ) \begin{pmatrix}AB\\B\end{pmatrix} (ABB), ( A B ) \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} (AB)有相同的秩 R ( A ) , R ( B ) R(A),R(B) R(A),R(B) ⩽ \leqslant ⩽ R ( A B ) R\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} R(AB) ⩽ \leqslant ⩽ R ( A ) R ( B ) R(A)R(B) R(A)R(B)换元代入完成证明 构造齐次线性方程组 A x 0 \bold{Ax0} Ax0,通过研究其解的情况来研究向量组 A A A的线性相关性 反证法:许多关于存在性的命题和结论可以用反证法证明,例如线性相关性命题
