投标网站建设,wordpress4.5.1,襄阳软件开发,甘肃建设局网站昨天的《信号处理之插值、抽取与多项滤波》#xff0c;已经介绍了插值抽取的多项滤率#xff0c;今天详细介绍多项滤波的数学推导#xff0c;并附上实战仿真代码。
一、数学变换推导
1. 多相分解的核心思想
将FIR滤波器的系数 h ( n ) h(n) h(n)按相位分组#xff0c;每…
昨天的《信号处理之插值、抽取与多项滤波》已经介绍了插值抽取的多项滤率今天详细介绍多项滤波的数学推导并附上实战仿真代码。
一、数学变换推导
1. 多相分解的核心思想
将FIR滤波器的系数 h ( n ) h(n) h(n)按相位分组每组对应输入信号的不同抽样相位。通过分相、滤波、重组实现与原FIR等效的处理。
2. 数学变换推导
FIR滤波器的系统函数可表示为 H ( z ) ∑ n 0 N − 1 h ( n ) z − n H(z) \sum_{n0}^{N-1} h(n) z^{-n} H(z)n0∑N−1h(n)z−n 其中 h ( n ) h(n) h(n)为滤波器系数 N N N为阶数。
设分解因子为 M M M则第 k k k个子滤波器系数为 h k ( m ) h ( k m M ) , 0 ≤ k M h_k(m) h(k mM), \quad 0 \leq k M hk(m)h(kmM),0≤kM
将FIR滤波器拆分为 M M M个并行的子滤波器即多相分量每个子滤波器处理信号的特定相位分量再通过延迟和组合实现等效。目标形式为 H ( z ) ∑ k 0 M − 1 z − k H k ( z M ) H(z) \sum_{k0}^{M-1} z^{-k} H_k(z^M) H(z)k0∑M−1z−kHk(zM) 其中 H k ( z M ) H_k(z^M) Hk(zM)表示第 k k k个子滤波器的系统函数。
将 H ( z ) H(z) H(z)按 M M M的整数倍延迟展开 H ( z ) ∑ n 0 N − 1 h ( n ) z − n ∑ k 0 M − 1 ∑ m 0 K − 1 h ( k m M ) z − ( k m M ) H(z) \sum_{n0}^{N-1} h(n) z^{-n} \sum_{k0}^{M-1} \sum_{m0}^{K-1} h(k mM) z^{-(k mM)} H(z)n0∑N−1h(n)z−nk0∑M−1m0∑K−1h(kmM)z−(kmM) 其中 K ⌈ N M ⌉ K \lceil \frac{N}{M} \rceil K⌈MN⌉向上取整。
将原系数按 M M M个相位分组
第 k k k个子滤波器的系数为 h k ( m ) h ( k m M ) h_k(m) h(k mM) hk(m)h(kmM)其系统函数为 H k ( z M ) ∑ m 0 K − 1 h k ( m ) z − m M H_k(z^M) \sum_{m0}^{K-1} h_k(m) z^{-mM} Hk(zM)m0∑K−1hk(m)z−mM 将 H ( z ) H(z) H(z)重写为 H ( z ) ∑ k 0 M − 1 z − k ( ∑ m 0 K − 1 h ( k m M ) z − m M ) ∑ k 0 M − 1 z − k H k ( z M ) H(z) \sum_{k0}^{M-1} z^{-k} \left( \sum_{m0}^{K-1} h(k mM) z^{-mM} \right) \sum_{k0}^{M-1} z^{-k} H_k(z^M) H(z)k0∑M−1z−k(m0∑K−1h(kmM)z−mM)k0∑M−1z−kHk(zM)
3. 时域操作等价性
原FIR输出 y ( n ) ∑ m 0 N − 1 h ( m ) x ( n − m ) y(n) \sum_{m0}^{N-1} h(m)x(n-m) y(n)m0∑N−1h(m)x(n−m) 多相结构输出 y ( n ) ∑ k 0 M − 1 ∑ m 0 K − 1 h k ( m ) x ( n − k − m M ) y(n) \sum_{k0}^{M-1} \sum_{m0}^{K-1} h_k(m) x\left(n - k - mM\right) y(n)k0∑M−1m0∑K−1hk(m)x(n−k−mM)
4、物理意义验证 时域解释 原FIR的输出 y ( n ) ∑ m 0 N − 1 h ( m ) x ( n − m ) y(n) \sum_{m0}^{N-1} h(m)x(n-m) y(n)∑m0N−1h(m)x(n−m)等效于 将输入 x ( n ) x(n) x(n)分为 M M M个相位分量 x ( n − k ) x(n-k) x(n−k) k 0 , 1 , … , M − 1 k0,1,\dots,M-1 k0,1,…,M−1每个子滤波器 H k H_k Hk处理对应的相位分量结果相加得到输出 y ( n ) y(n) y(n) 频域验证 通过替换 z e j ω z e^{j\omega} zejω可验证原频率响应与多相分解后的响应一致。 5、应用场景
多速率信号处理 在抽取Decimation和插值Interpolation中多相分解可降低计算复杂度。并行化实现 各子滤波器 H k ( z M ) H_k(z^M) Hk(zM)可并行计算提升硬件效率。滤波器组设计 用于均匀DFT滤波器组、小波变换等。 二、Python实现与验证
该实战通过两种同的方法进行抽取滤波将信号采样率降低到原来的1/4并对结果进行对比和误差分析。
1. 生成测试信号
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import firwin, lfilter# 生成测试信号10Hz正弦波 100Hz高频噪声
fs 1000 # 采样率
t np.arange(0, 1, 1/fs)
x np.sin(2*np.pi*10*t) 0.5*np.random.randn(len(t)) # 原始信号2. 设计FIR滤波器
# 设计低通FIR滤波器截止频率50Hz阶数N31
N 31
fc 50
h firwin(N, fc, fsfs, windowhamming) # 获取系数3. 标准FIR滤波
y_fir lfilter(h, 1, x) # FIR滤波结果4. 多相分解M4
M 4 # 分解因子
poly_h [h[k::M] for k in range(M)] # 分解为M个子滤波器# 补零对齐长度确保所有子滤波器长度一致
max_len max(len(p) for p in poly_h)
poly_h [np.pad(p, (0, max_len - len(p))) for p in poly_h]5. 多相滤波实现
# 初始化输出
y_poly np.zeros_like(x)# 处理每个子滤波器分支
for k in range(M):# 抽取输入信号的相位分量x_k x[k::M]# 子滤波器滤波y_k lfilter(poly_h[k], 1, x_k)# 上采样并添加延迟y_up np.zeros(len(x))y_up[k::M] y_k # 上采样插入零y_up np.roll(y_up, -k) # 延迟补偿y_poly y_up # 合并分支结果# 截断初始延迟
y_poly y_poly[:len(x)-N]
y_fir y_fir[:len(x)-N]
x_trim x[:len(x)-N]
y_fir np.roll(y_fir, -3)6. 可视化对比
plt.figure(figsize(12, 8))# 原始信号与滤波结果
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(x_trim, label原始信号, alpha0.5)
plt.plot(y_fir, labelFIR滤波结果, linewidth2)
plt.legend()
plt.title(FIR滤波效果)y_fir y_fir[0::M] #抽取
y_poly y_poly[0::M] #抽取# 多相滤波结果对比
plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(y_poly, label多相滤波结果, linestyle--)
plt.plot(y_fir, labelFIR滤波结果, alpha0.7)
plt.legend()
plt.title(多相滤波与FIR结果对比)# 误差分析
plt.subplot(3,1,3)
error y_fir - y_poly[:len(y_fir)]
plt.plot(error, label误差, colorred)
plt.legend()
plt.title(误差曲线 (最大误差: {:.2e}).format(np.max(np.abs(error))))plt.tight_layout()
plt.show()三、代码输出验证 图形对比 第一张图展示原始信号与FIR滤波结果。第二张图叠加显示FIR与多相滤波结果两者应完全重合。第三张图显示误差曲线。 数值验证 误差曲线最大值接近机器精度证明两种结构数学等价。 四、关键点说明 多相分解的物理意义 每个子滤波器处理信号的特定相位分量通过并行化降低计算复杂度。 延迟补偿的重要性 分支信号需通过np.roll对齐时间轴确保相位同步。 应用场景优势 在多速率系统中如抽取/插值多相分解可减少计算量达 M M M倍。 通过上述实现可直观验证FIR滤波器与其多相分解形式的等效性为信号处理系统优化提供可靠依据。
