网广州建网站站制作,网站 建设需求,ps网站导航条素材,软件系统开发阶段任务文章目录 1.4 主应力空间、八面体应力1.5 应变分析1.6 特殊应力、应变定义 1.4 主应力空间、八面体应力
一点的应力状态不论如何变化#xff0c;其主应力和主方向一致的话#xff0c;该点的应力状态就是唯一确定的。因此#xff0c;我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描… 文章目录 1.4 主应力空间、八面体应力1.5 应变分析1.6 特殊应力、应变定义 1.4 主应力空间、八面体应力
一点的应力状态不论如何变化其主应力和主方向一致的话该点的应力状态就是唯一确定的。因此我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描述问题将不失一般性该坐标系如下图4我们称之为主应力空间。我们考察等倾面组成的八面体图中O’P点为等倾面ABC上面的应力向量 ( p 1 , p 2 , p 3 ) (p_1,p_2,p_3) (p1,p2,p3)八面体为等倾面八面体即面ABC的法线方向余弦为 ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}) (3 1,3 1,3 1)。将O’P分解 O ’ P ‾ O ’ Q ‾ O ’ N ‾ (25) \overline {O’P}\overline {O’Q}\overline{O’N}\tag{25} O’PO’QO’N(25) 图 4 八面体 图4八面体 图4八面体 取等倾面和三个轴的坐标面组成的四面体为研究对象如下图5所示。 图 5 等倾面四面体 图5等倾面四面体 图5等倾面四面体 根据斜面应力公式 p j σ i j n i p_j\sigma_{ij}n_i pjσijni不难得到以下关系式矩阵形式 [ p 1 p 2 p 3 ] [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 2 ] [ n 1 n 2 n 3 ] (26) \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sigma_1 0 0\\ 0 \sigma_2 0 \\0 0 \sigma_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\\n_3 \end{bmatrix}\tag{26} p1p2p3 σ1000σ2000σ2 n1n2n3 (26)
其中 ( n 1 , n 2 , n 3 ) ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) (n_1 ,n_2,n_3)(\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}) (n1,n2,n3)(3 1,3 1,3 1)为等倾面的法线方向余弦。 那么有 σ 8 [ n 1 n 2 n 3 ] [ p 1 p 2 p 3 ] σ 1 n 1 2 σ 2 n 2 2 σ 3 n 3 2 1 3 ( σ 1 σ 2 σ 3 ) 1 3 I 1 (27) \sigma_8 \begin{bmatrix} n_1 n_2 n_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}\sigma_1n_1^2\sigma_2n_2^2\sigma_3n_3^2\frac{1}{3}(\sigma_1\sigma_2\sigma_3)\frac{1}{3}I_1 \tag{27} σ8[n1n2n3] p1p2p3 σ1n12σ2n22σ3n3231(σ1σ2σ3)31I1(27) 八面体相应的剪应力为 τ 8 p 2 − σ 8 2 p 1 2 p 2 2 p 3 2 − ( σ 1 n 1 2 σ 2 n 2 2 σ 3 n 3 2 ) 2 σ 1 2 n 1 2 σ 2 2 n 2 2 σ 3 2 n 3 2 − ( σ 1 n 1 2 σ 2 n 2 2 σ 3 n 3 2 ) 2 1 3 ( σ 1 2 σ 2 2 σ 3 2 ) − 1 9 ( σ 1 σ 2 σ 3 ) 2 1 3 3 ( σ 1 2 σ 2 2 σ 3 2 ) − ( σ 1 2 σ 2 2 σ 3 2 2 σ 1 σ 2 2 σ 1 σ 3 2 σ 2 σ 3 ) 1 3 ( σ 1 − σ 2 ) 2 ( σ 1 − σ 3 ) 2 ( σ 2 − σ 3 ) 2 2 3 J 2 1 3 s i j s i j (28) \tau_8 \sqrt{p^2-\sigma_8^2}\sqrt{p_1^2p_2^2p_3^2-(\sigma_1n_1^2\sigma_2n_2^2\sigma_3n_3^2)^2}\\ \sqrt{\sigma_1^2n_1^2\sigma_2^2n_2^2\sigma_3^2n_3^2-(\sigma_1n_1^2\sigma_2n_2^2\sigma_3n_3^2)^2}\\ \sqrt{\frac{1}{3}(\sigma_1^2\sigma_2^2\sigma_3^2)-\frac{1}{9}(\sigma_1\sigma_2\sigma_3)^2}\\ \frac{1}{3}\sqrt{3(\sigma_1^2\sigma_2^2\sigma_3^2)-(\sigma_1^2\sigma_2^2\sigma_3^22\sigma_1\sigma_22\sigma_1\sigma_32\sigma_2\sigma_3)}\\ \frac{1}{3}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2(\sigma_1-\sigma_3)^2(\sigma_2-\sigma_3)^2}\sqrt{\frac{2}{3}J_2}\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}} \tag{28} τ8p2−σ82 p12p22p32−(σ1n12σ2n22σ3n32)2 σ12n12σ22n22σ32n32−(σ1n12σ2n22σ3n32)2 31(σ12σ22σ32)−91(σ1σ2σ3)2 313(σ12σ22σ32)−(σ12σ22σ322σ1σ22σ1σ32σ2σ3) 31(σ1−σ2)2(σ1−σ3)2(σ2−σ3)2 32J2 31sijsij (28)
1.5 应变分析
应变分析的内容同应力分析内容只是注意一点应变张量和工程应变在剪应变分量是不同的定义如下。 [ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] [ ε x x 1 2 γ y x 1 2 γ z x 1 2 γ x y ε y y 1 2 γ z y 1 2 γ x z 1 2 γ y z ε z z ] (29) \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \varepsilon_{yx} \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} \varepsilon_{yy} \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} \varepsilon_{yz} \varepsilon_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \frac{1}{2}\gamma_{yx} \frac{1}{2}\gamma_{zx}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} \varepsilon_{yy} \frac{1}{2}\gamma_{zy}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xz} \frac{1}{2}\gamma_{yz} \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}\tag{29} εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz εxx21γxy21γxz21γyxεyy21γyz21γzx21γzyεzz (29) 同样定义应变偏张量有如下形式 [ e x x e y x e z x e x y e y y e z y e x z e y z e z z ] [ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] − [ ε m 0 0 0 ε m 0 0 0 ε m ] (30) \begin{bmatrix} e_{xx} e_{yx} e_{zx}\\ e_{xy} e_{yy} e_{zy}\\ e_{xz} e_{yz} e_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \varepsilon_{yx} \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} \varepsilon_{yy} \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} \varepsilon_{yz} \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \varepsilon_{m} 0 0\\ 0 \varepsilon_{m} 0\\ 0 0 \varepsilon_{m} \end{bmatrix}\tag{30} exxexyexzeyxeyyeyzezxezyezz εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz − εm000εm000εm (30) 其中 ε m 1 3 ( ε x x ε y y ε z z ) \varepsilon_{m}\frac{1}{3}(\varepsilon_{xx}\varepsilon_{yy}\varepsilon_{zz}) εm31(εxxεyyεzz)
1.6 特殊应力、应变定义
定义应力强度或等效应力 σ ‾ \overline\sigma σ为 σ ‾ 3 J 2 3 2 s i j s i j 1 2 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 ( σ 1 − σ 3 ) 2 ( σ 2 − σ 3 ) 2 ] 1 2 [ ( σ x x − σ y y ) 2 ( σ x x − σ z z ) 2 ( σ y y − σ z z ) 2 6 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) ] (31) \overline\sigma\sqrt{3J_2}\sqrt{\frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}}\\ \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2(\sigma_{1}-\sigma_{3})^2(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2]}\\ \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^26(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)]} \tag{31} σ3J2 23sijsij 21[(σ1−σ2)2(σ1−σ3)2(σ2−σ3)2] 21[(σxx−σyy)2(σxx−σzz)2(σyy−σzz)26(τxz2τxy2τyz2)] (31) 定义应变强度或等效应变 ε ‾ \overline \varepsilon ε为 ε ‾ 2 3 e i j e i j (32) \overline \varepsilon\sqrt{\frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}} \tag{32} ε32eijeij (32)
定义剪切等效应力 T ‾ \overline T T为 T ‾ 1 2 s i j s i j (33) \overline T\sqrt{\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}} \tag{33} T21sijsij (33) 定义剪切等效应变 Γ ‾ \overline\Gamma Γ为 Γ ‾ 2 e i j e i j (34) \overline\Gamma\sqrt{2e_{ij}e_{ij}} \tag{34} Γ2eijeij (34) 加上上面定义的八面体剪应力、八面体剪应变 τ 8 1 3 s i j s i j γ 8 4 3 e i j e i j (35) \tau_8\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}}\\ \gamma_8\sqrt{\frac{4}{3}e_{ij}e_{ij}}\tag{35} τ831sijsij γ834eijeij (35)
至于为什么定义这些应力应变我们在后面再介绍。
