游戏网站建设,公司的网站续费,上海微网站建设,优秀企业网站设计文章目录 堆常用操作堆的实现存储与表示访问堆顶元素元素入堆元素出堆 常见应用建堆操作自上而下构建自下而上构建 TOP-K问题遍历选择排序堆 堆
堆是一种满足特定条件的完全二叉树#xff0c;主要可分为下图所示的两种类型。
大顶堆#xff1a;任意节点的值 ≥ 其子节点的值… 文章目录 堆常用操作堆的实现存储与表示访问堆顶元素元素入堆元素出堆 常见应用建堆操作自上而下构建自下而上构建 TOP-K问题遍历选择排序堆 堆
堆是一种满足特定条件的完全二叉树主要可分为下图所示的两种类型。
大顶堆任意节点的值 ≥ 其子节点的值。小顶堆任意节点的值 ≤ 其子节点的值。 堆作为完全二叉树的一个特例具有以下特性。
最底层节点靠左填充其他层的节点都被填满。我们将二叉树的根节点称为“堆顶”将底层最靠右的节点称为“堆底”。对于大顶堆小顶堆堆顶元素即根节点的值分别是最大最小的。
常用操作
许多编程语言提供的是优先队列这是一种抽象数据结构定义为具有优先级排序的队列。实际上堆通常用作实现优先队列大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列。从使用角度来看我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。
堆的常用操作见下表 方法名需要根据编程语言来确定。
方法名描述时间复杂度push()元素入堆O(logn)pop()堆顶元素出堆O(logn)peek()访问堆顶元素大 / 小顶堆分别为最大 / 小值O(1)size()获取堆的元素数量O(1)isEmpty()判断堆是否为空O(1)
Python
# 初始化小顶堆
min_heap, flag [], 1
# 初始化大顶堆
max_heap, flag [], -1# Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆
# 考虑将“元素取负”后再入堆这样就可以将大小关系颠倒从而实现大顶堆
# 在本示例中flag 1 时对应小顶堆flag -1 时对应大顶堆# 元素入堆
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)# 获取堆顶元素
peek: int flag * max_heap[0] # 5# 堆顶元素出堆
# 出堆元素会形成一个从大到小的序列
val flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val flag * heapq.heappop(max_heap) # 1# 获取堆大小
size: int len(max_heap)# 判断堆是否为空
is_empty: bool not max_heap# 输入列表并建堆
min_heap: list[int] [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)Go
// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any// Push heap.Interface 的方法实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数// 因为它们不仅会对切片的内容进行调整还会修改切片的长度。*h append(*h, x.(int))
}// Pop heap.Interface 的方法实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {// 待出堆元素存放在最后last : (*h)[len(*h)-1]*h (*h)[:len(*h)-1]return last
}// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {return len(*h)
}// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {// 如果实现小顶堆则需要调整为小于号return (*h)[i].(int) (*h)[j].(int)
}// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {(*h)[i], (*h)[j] (*h)[j], (*h)[i]
}// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {return (*h)[0]
}/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {/* 初始化堆 */// 初始化大顶堆maxHeap : intHeap{}heap.Init(maxHeap)/* 元素入堆 */// 调用 heap.Interface 的方法来添加元素heap.Push(maxHeap, 1)heap.Push(maxHeap, 3)heap.Push(maxHeap, 2)heap.Push(maxHeap, 4)heap.Push(maxHeap, 5)/* 获取堆顶元素 */top : maxHeap.Top()fmt.Printf(堆顶元素为 %d\n, top)/* 堆顶元素出堆 */// 调用 heap.Interface 的方法来移除元素heap.Pop(maxHeap) // 5heap.Pop(maxHeap) // 4heap.Pop(maxHeap) // 3heap.Pop(maxHeap) // 2heap.Pop(maxHeap) // 1/* 获取堆大小 */size : len(*maxHeap)fmt.Printf(堆元素数量为 %d\n, size)/* 判断堆是否为空 */isEmpty : len(*maxHeap) 0fmt.Printf(堆是否为空 %t\n, isEmpty)
}堆的实现
下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆只需将所有大小逻辑判断取逆例如将 ≥ 替换为 ≤ 。
存储与表示
完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树将采用数组来存储堆。当使用数组表示二叉树时元素代表节点值索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。
如下图所示给定索引i 其左子节点索引为 2i1 右子节点索引为 2i2 父节点索引为 (i−1)/2向下取整。当索引越界时表示空节点或节点不存在。 将索引映射公式封装成函数方便后续使用。
Python
def left(self, i: int) - int:获取左子节点索引return 2 * i 1def right(self, i: int) - int:获取右子节点索引return 2 * i 2def parent(self, i: int) - int:获取父节点索引return (i - 1) // 2 # 向下整除Go
/* 获取左子节点索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {return 2*i 1
}/* 获取右子节点索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {return 2*i 2
}/* 获取父节点索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {// 向下整除return (i - 1) / 2
}访问堆顶元素
堆顶元素即为二叉树的根节点也就是列表的首个元素。
Python
def peek(self) - int:访问堆顶元素return self.max_heap[0]Go
/* 访问堆顶元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {return h.data[0]
}元素入堆
给定元素 val 首先将其添加到堆底。添加之后由于 val 可*其他元素堆的成立条件可能已被破坏。因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点这个操作被称为堆化。考虑从入堆节点开始从底至顶执行堆化。如下图所示我们比较插入节点与其父节点的值如果插入节点更大则将它们交换。然后继续执行此操作从底至顶修复堆中的各个节点直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。 设节点总数为n 则树的高度为 n(logn) 。由此可知堆化操作的循环轮数最多为 O(logn) 元素入堆操作的时间复杂度为 O(logn) 。
Python
def push(self, val: int):元素入堆# 添加节点self.max_heap.append(val)# 从底至顶堆化self.sift_up(self.size() - 1)def sift_up(self, i: int):从节点 i 开始从底至顶堆化while True:# 获取节点 i 的父节点p self.parent(i)# 当“越过根节点”或“节点无须修复”时结束堆化if p 0 or self.max_heap[i] self.max_heap[p]:break# 交换两节点self.swap(i, p)# 循环向上堆化i pGo
/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {// 添加节点h.data append(h.data, val)// 从底至顶堆化h.siftUp(len(h.data) - 1)
}/* 从节点 i 开始从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {for true {// 获取节点 i 的父节点p : h.parent(i)// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时结束堆化if p 0 || h.data[i].(int) h.data[p].(int) {break}// 交换两节点h.swap(i, p)// 循环向上堆化i p}
}元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动采用以下操作步骤
交换堆顶元素与堆底元素即交换根节点与最右叶节点。交换完成后将堆底从列表中删除注意由于已经交换实际上删除的是原来的堆顶元素。从根节点开始从顶至底执行堆化。
如下图所示“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。 与元素入堆操作相似堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为O(logn) 。
Python
def pop(self) - int:元素出堆# 判空处理if self.is_empty():raise IndexError(堆为空)# 交换根节点与最右叶节点即交换首元素与尾元素self.swap(0, self.size() - 1)# 删除节点val self.max_heap.pop()# 从顶至底堆化self.sift_down(0)# 返回堆顶元素return valdef sift_down(self, i: int):从节点 i 开始从顶至底堆化while True:# 判断节点 i, l, r 中值最大的节点记为 mal, r, ma self.left(i), self.right(i), iif l self.size() and self.max_heap[l] self.max_heap[ma]:ma lif r self.size() and self.max_heap[r] self.max_heap[ma]:ma r# 若节点 i 最大或索引 l, r 越界则无须继续堆化跳出if ma i:break# 交换两节点self.swap(i, ma)# 循环向下堆化i maGo
/* 元素出堆 */
func (h *maxHeap) pop() any {// 判空处理if h.isEmpty() {fmt.Println(error)return nil}// 交换根节点与最右叶节点即交换首元素与尾元素h.swap(0, h.size()-1)// 删除节点val : h.data[len(h.data)-1]h.data h.data[:len(h.data)-1]// 从顶至底堆化h.siftDown(0)// 返回堆顶元素return val
}/* 从节点 i 开始从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {for true {// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点记为 maxl, r, max : h.left(i), h.right(i), iif l h.size() h.data[l].(int) h.data[max].(int) {max l}if r h.size() h.data[r].(int) h.data[max].(int) {max r}// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界则无须继续堆化跳出if max i {break}// 交换两节点h.swap(i, max)// 循环向下堆化i max}
}常见应用
优先队列堆通常作为实现优先队列的首选数据结构其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(logn) 而建队操作为 O(n) 这些操作都非常高效。堆排序给定一组数据我们可以用它们建立一个堆然后不断地执行元素出堆操作从而得到有序数据。在后续写排序的文章会讲到。获取最大的k个元素这是一个经典的算法问题同时也是一种典型应用例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜选取销量前 10 的商品等。
建堆操作
在某些情况下我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆这个过程被称为“建堆操作”。
自上而下构建
我们首先创建一个空堆然后遍历列表依次对每个元素执行“入堆操作”即先将元素添加至堆的尾部再对该元素执行“从底至顶”堆化。
每当一个元素入堆堆的长度就加一因此堆是“自上而下”地构建的。
设元素数量为n每个元素的入堆操作使用O(logn) 时间因此该建堆方法的时间复杂度为 O(nlogn) 。
自下而上构建
实际上可以实现一种更为高效的建堆方法共分为两步。
将列表所有元素原封不动添加到堆中。倒序遍历堆即层序遍历的倒序依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
在倒序遍历中堆是“自下而上”地构建的需要重点理解以下两点。
由于叶节点没有子节点因此无需对它们执行堆化。最后一个节点的父节点是最后一个非叶节点。在倒序遍历中我们能够保证当前节点之下的子树已经完成堆化已经是合法的堆而这是堆化当前节点的前置条件。
Python
def __init__(self, nums: list[int]):构造方法根据输入列表建堆# 将列表元素原封不动添加进堆self.max_heap nums# 堆化除叶节点以外的其他所有节点for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):self.sift_down(i)Go
/* 构造函数根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {// 将列表元素原封不动添加进堆h : maxHeap{data: nums}for i : h.parent(len(h.data) - 1); i 0; i-- {// 堆化除叶节点以外的其他所有节点h.siftDown(i)}return h
}经过某种复杂的推算表明输入列表并建堆的时间复杂度为O(n) 非常高效。也就是说自下而上的构建效率高于自上而下的构建效率。
TOP-K问题 Question 给定一个长度为n无序数组 nums 请返回数组中前k大的元素。 对于该问题介绍两种思路比较直接的解法再介绍效率更高的堆解法。
遍历选择
可以进行下图所示的k轮遍历分别在每轮中提取第 1、2、…、k 大的元素时间复杂度为O(nk)。此方法只适用于k≪n的情况因为当k与n比较接近时其时间复杂度趋向于 O(n^2) 非常耗时。 Python
def findKthLargest(nums, k):result []for i in range(k):max_num max(nums)result.append(max_num)nums.remove(max_num)return resultGo
func findKthLargest(nums []int, k int) []int {result : make([]int, k)for i : 0; i k; i {max : nums[0]index : 0for i, num : range nums {if num max {max numindex i}}result[i] maxnums append(nums[:index], nums[index1:]...)}return result
}当 kn 时可以得到完整的有序序列此时等价于“选择排序”算法。
排序
我们可以先对数组 nums 进行排序再返回最右边的k个元素时间复杂度为 O(nlogn) 。显然该方法“超额”完成任务了因为我们只需要找出最大的k个元素即可而不需要排序其他元素。
Python
def findKthLargest(nums, k):nums.sort(reverseTrue)return nums[:k]Go
func findKthLargest(nums []int, k int) []int {sort.Sort(sort.Reverse(sort.IntSlice(nums)))return nums[:k]
}//或者
func findKthLargest(nums []int, k int) []int {sort.Slice(nums, func(i, j int) bool {return nums[i] nums[j]})return nums[:k]
}堆
我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题
初始化一个小顶堆其堆顶元素最小。先将数组的前k个元素依次入堆。从第k1 个元素开始若当前元素大于堆顶元素则将堆顶元素出堆并将当前元素入堆。遍历完成后堆中保存的就是最大的k个元素。 总共执行了n轮入堆和出堆堆的最大长度为k因此时间复杂度为 O(nlogk) 。该方法的效率很高当 k 较小时时间复杂度趋向 O(n) 当 k 较大时时间复杂度不会超过 O(nlogn) 。另外该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时可以持续维护堆内的元素从而实现最大k个元素的动态更新。
Python
def top_k_heap(nums: list[int], k: int) - list[int]:基于堆查找数组中最大的 k 个元素heap []# 将数组的前 k 个元素入堆for i in range(k):heapq.heappush(heap, nums[i])# 从第 k1 个元素开始保持堆的长度为 kfor i in range(k, len(nums)):# 若当前元素大于堆顶元素则将堆顶元素出堆、当前元素入堆if nums[i] heap[0]:heapq.heappop(heap)heapq.heappush(heap, nums[i])return heapGo
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {h : minHeap{}heap.Init(h)// 将数组的前 k 个元素入堆for i : 0; i k; i {heap.Push(h, nums[i])}// 从第 k1 个元素开始保持堆的长度为 kfor i : k; i len(nums); i {// 若当前元素大于堆顶元素则将堆顶元素出堆、当前元素入堆if nums[i] h.Top().(int) {heap.Pop(h)heap.Push(h, nums[i])}}return h
}
