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题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4831 题目大意 n∗mn*mn∗m的网格上放置2n2n2n个炮#xff0c;要求互不能攻击。
数据满足n≤m≤2000n\leq m\leq 2000n≤m≤2000或n≤m≤105n\leq m\leq 10^5n≤m≤105且m−n≤10m-n\leq 10m−n≤10 解题思路
每行每列最多…正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4831 题目大意
n∗mn*mn∗m的网格上放置2n2n2n个炮要求互不能攻击。
数据满足n≤m≤2000n\leq m\leq 2000n≤m≤2000或n≤m≤105n\leq m\leq 10^5n≤m≤105且m−n≤10m-n\leq 10m−n≤10 解题思路
每行每列最多222个炮所以模型可以转换为求有多少种方案满足1∼n1\sim n1∼n的数字各两个填在mmm个无序2元组可以有空并且每个组中的数互不相同。
直接硬钢推式子很难做好像可以推到生成函数那边去考虑一下巧妙的方法。
设g(n,m)g(n,m)g(n,m)表示2n2n2n个格子填下1∼m1\sim m1∼m中的数字各两个的方案。这个的方案就是 g(n,m)(2n)!∑i0min{n,m−n}(mn−i)(m−ni2i)2n−ig(n,m)(2n)!\sum_{i0}^{min\{n,m-n\}}\frac{\binom{m}{n-i}\binom{m-ni}{2i}}{2^{n-i}}g(n,m)(2n)!i0∑min{n,m−n}2n−i(n−im)(2im−ni) 表示mmm个数组中选出n−in-in−i对相同的来填剩下的里面选出2i2i2i个单独的来填然后交换导致重复的情况有2n−i2^{n-i}2n−i种要除去。
这个式子就和m−nm-nm−n有很大的关系了。
将这个式子和答案联系起来设f(n,m)f(n,m)f(n,m)表示答案那么有 g(n,m)∑i0n2n−i(ni)Pmif(n−i,m−i)g(n,m)\sum_{i0}^n2^{n-i}\binom{n}{i}P_{m}^if(n-i,m-i)g(n,m)i0∑n2n−i(in)Pmif(n−i,m−i) 因为f(n,m)f(n,m)f(n,m)是不同无序二元组(ni)Pmi\binom{n}{i}P_{m}^i(in)Pmi表示nnn对中选出iii个是相同的填入剩下的都是不同的方案就是f(n−i,m−i)f(n-i,m-i)f(n−i,m−i)然后因为ggg是统计有序二元组的所以2n2^n2n表示随意交换。
2nf(n,m)∑i0n(ni)Pmig(n−i,m−i)2^{n}f(n,m)\sum_{i0}^n\binom{n}{i}P_{m}^ig(n-i,m-i)2nf(n,m)i0∑n(in)Pmig(n−i,m−i) f(n,m)12n∑i0n(ni)Pmig(n−i,m−i)f(n,m)\frac{1}{2^n}\sum_{i0}^n\binom{n}{i}P_{m}^ig(n-i,m-i)f(n,m)2n1i0∑n(in)Pmig(n−i,m−i)
然后直接计算就好了时间复杂度O(n×min{n,m−n})O(n\times min\{n,m-n\})O(n×min{n,m−n})
Update:Update:Update:修改了反演前的公式错误 code
#includecstdio
#includecstring
#includealgorithm
#define ll long long
using namespace std;
const ll N2e510,P998244353,inv2(P1)/2;
ll n,m,fac[N],inv[N],pv2[N],ans;
ll power(ll x,ll b){ll ans1;while(b){if(b1)ansans*x%P;xx*x%P;b1;}return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
ll A(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[n-m]%P;}
ll g(ll n,ll m){ll ans0;for(ll i0;imin(n,m-n);i)(ansC(m,n-i)*C(m-ni,2*i)%P*pv2[n-i]%P)%P;return ans*fac[2*n]%P;
}
signed main()
{scanf(%lld%lld,n,m);inv[1]1;for(ll i2;iN;i)inv[i]P-(P/i)*inv[P%i]%P;fac[0]inv[0]pv2[0]1;for(ll i1;iN;i)fac[i]fac[i-1]*i%P,inv[i]inv[i-1]*inv[i]%P,pv2[i]pv2[i-1]*inv2%P;for(ll i0,p1;in;i,p-p)(ansp*(g(n-i,m-i)*C(n,i)%P*A(m,i)%P))%P;printf(%lld\n,(ans*pv2[n]%PP)%P);return 0;
}
