网站建设 提成,学院评估 网站建设整改,百度应用下载,兴义市城乡建设局网站文章目录 abstract周期为 2 l 2l 2l的Fourier展开推导例 三角函数和(-1)的幂转换关系(-1)的幂与级数的奇偶项级数通项变形例例 abstract
从特殊到一般,从对周期为 2 π 2\pi 2π的函数到周期为 2 l 2l 2l的函数 推导周期为 2 l 2l 2l情况下的公式又可以借助于周期为 2 π 2\pi… 文章目录 abstract周期为 2 l 2l 2l的Fourier展开推导例 三角函数和(-1)的幂转换关系(-1)的幂与级数的奇偶项级数通项变形例例 abstract
从特殊到一般,从对周期为 2 π 2\pi 2π的函数到周期为 2 l 2l 2l的函数 推导周期为 2 l 2l 2l情况下的公式又可以借助于周期为 2 π 2\pi 2π的公式作为基础进行推导 利用傅里叶级数,可以求得某些特殊级数和三角级数中通项的变形(-1)的幂转换关系
周期为 2 l 2l 2l的Fourier展开
设周期为 2 l 2l 2l的函数 f ( x ) f(x) f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数: f ( x ) f(x) f(x) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n π l x b n sin n π l x ) \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infin} (a_n\cos{n\frac{\pi}{l}x} b_n\sin{n\frac{\pi}{l}x}) 2a0∑n1∞(ancosnlπxbnsinnlπx), x ∈ C x\in{C} x∈C(1) 其中 C C C { x ∣ f ( x ) 1 2 [ f ( x − ) f ( x ) ] } \set{x|f(x)\frac{1}{2}[f(x^{-})f(x^{})]} {x∣f(x)21[f(x−)f(x)]}(2) a n a_{n} an 1 l ∫ − l l f ( x ) cos n π x l d x \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi{x}}{l}\mathrm{d}x l1∫−llf(x)coslnπxdx, ( n 0 , 1 , 2 , ⋯ ) (n0,1,2,\cdots) (n0,1,2,⋯)(3) b n b_n bn 1 l ∫ − l l f ( x ) sin n π x l d x \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi{x}}{l}\mathrm{d}x l1∫−llf(x)sinlnπxdx, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯)(4) 当 f ( x ) f(x) f(x)为奇函数时: f ( x ) f(x) f(x) ∑ n 1 ∞ b n sin n π x l \sum_{n1}^{\infin}{b_n\sin\frac{n\pi{x}}{l}} ∑n1∞bnsinlnπx, x ∈ C x\in{C} x∈C(5),其中 b n b_n bn 2 l ∫ 0 l f ( x ) sin n π x l d x \frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi{x}}{l}\mathrm{d}x l2∫0lf(x)sinlnπxdx, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯) 当 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数时: f ( x ) f(x) f(x) a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0 ∑ n 1 ∞ a n cos n π x l \sum_{n1}^{\infin}{a_n\cos\frac{n\pi{x}}{l}} ∑n1∞ancoslnπx, x ∈ C x\in{C} x∈C(6),其中 a n a_n an 2 l ∫ 0 l f ( x ) cos n π x l d x \frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi{x}}{l}\mathrm{d}x l2∫0lf(x)coslnπxdx, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯)
推导
根据函数周期为 2 π 2\pi 2π的情形下的傅里叶级数,对式(1)做变量代换 z z z π x l \frac{\pi{x}}{l} lπx(7),即 x x x l z π \frac{lz}{\pi} πlz(8)将式(8)代入式(1): f ( x ) f(x) f(x) f ( l z π ) f(\frac{lz}{\pi}) f(πlz),令 F ( z ) F(z) F(z) f ( l z π ) f(\frac{lz}{\pi}) f(πlz)(8-1),因为 f ( x ) f(x) f(x)满足收敛定理条件,所以 F ( z ) F(z) F(z)也满足收敛定理条件,将 F ( z ) F(z) F(z)展开 F ( z ) F(z) F(z) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n z b n sin n z ) \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infin}(a_n\cos{nz}b_n\sin{nz}) 2a0n1∑∞(ancosnzbnsinnz)(9) a n a_n an 1 π ∫ − π π F ( z ) cos ( n z ) d z \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(z)\cos{(nz)}\mathrm dz π1∫−ππF(z)cos(nz)dz, ( n 0 , 1 , 2 , . . . ) (n0,1,2,...) (n0,1,2,...)(10) b n b_n bn 1 π ∫ − π π F ( z ) sin ( n z ) d z \frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi} F(z)\sin{(nz)}\mathrm d z} π1∫−ππF(z)sin(nz)dz, ( n 1 , 2 , 3 , . . . ) (n1,2,3,...) (n1,2,3,...)(11) 周期分析: 函数 f ( x ) f(x) f(x)的周期为 2 l 2l 2l,不妨取一个周期 x ∈ [ − l , l ] x\in[-l,l] x∈[−l,l]进行研究函数 F ( z ) F(z) F(z)的周期为 2 π 2\pi 2π,也可取一个周期 z ∈ [ − π , π ] z\in[-\pi,\pi] z∈[−π,π]进行研究上述两个周期可以分别根据式(1),式(9)右端算出,且其中: x ∈ [ − l , l ] x\in[-l,l] x∈[−l,l]对应的 z π x l ∈ [ − π , π ] z\frac{\pi{x}}{l}\in[-\pi,\pi] zlπx∈[−π,π] 将式(7)回代入(8-1)得 F ( z ) F(z) F(z) F ( π x l ) F(\frac{\pi{x}}{l}) F(lπx) f ( l π π x l ) f(\frac{l}{\pi}\frac{\pi{x}}{l}) f(πllπx) f ( x ) f(x) f(x)(12)将(7),(12)代入(9,10,11) f ( x ) f(x) f(x) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n π l x b n sin n π l x ) \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infin} (a_n\cos{n\frac{\pi}{l}x} b_n\sin{n\frac{\pi}{l}x}) 2a0∑n1∞(ancosnlπxbnsinnlπx),即式(1) z ∈ ( − π , π ) z\in{(-\pi,\pi)} z∈(−π,π),则 x l z π ∈ ( − l , l ) x\frac{lz}{\pi}\in(-l,l) xπlz∈(−l,l),因此变量代换 z z z换成 x x x时积分区间要更新 a n a_{n} an 1 l ∫ − l l f ( x ) cos n π x l d x \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi{x}}{l}\mathrm{d}x l1∫−llf(x)coslnπxdx, ( n 0 , 1 , 2 , ⋯ ) (n0,1,2,\cdots) (n0,1,2,⋯)即式(3) b n b_n bn 1 l ∫ − l l f ( x ) sin n π x l d x \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi{x}}{l}\mathrm{d}x l1∫−llf(x)sinlnπxdx, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯)即式(4) 则 F ( z ) F(z) F(z)是周期为 2 π 2\pi 2π的函数,意味这 F ( z ) F(z) F(z)可以按照前面讨论的,关于 2 π 2\pi 2π为周期的函数情况其余部分证明类似
例 设 f ( x ) f(x) f(x)为周期为 2 2 2的周期函数,它在 [ 1 , 3 ) [1,3) [1,3)上的表达式为 f ( x ) f(x) f(x) 0 0 0, x ∈ [ 1 , 2 ) x\in[1,2) x∈[1,2) f ( x ) f(x) f(x) x − 2 x-2 x−2, x ∈ [ 2 , 3 ) x\in[2,3) x∈[2,3) 将 f ( x ) f(x) f(x)展开成傅里叶级数 T 2 l 2 T2l2 T2l2, l 1 l1 l1根据公式, a 0 a_{0} a0 1 1 ∫ − 1 1 f ( x ) d x \frac{1}{1}\int_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x 11∫−11f(x)dx ∫ 1 3 f ( x ) d x \int_{1}^{3}f(x)\mathrm{d}x ∫13f(x)dx ∫ 2 3 ( x − 2 ) d x \int_{2}^{3}(x-2)\mathrm{d}x ∫23(x−2)dx 1 2 \frac{1}{2} 21(1) 由于 f ( x ) f(x) f(x)是周期函数,因此某个区间的积分可以考虑移到其他区间取积分即把原积分区间的两端同时加上周期 a n a_{n} an 1 1 ∫ − 1 1 f ( x ) cos n π 1 x d x \frac{1}{1}\int_{-1}^{1}f(x)\cos{n\frac{\pi}{1}{x}}\mathrm{d}x 11∫−11f(x)cosn1πxdx ∫ 2 3 ( x − 2 ) cos n π x d x \int_{2}^{3}(x-2)\cos n\pi{x}\mathrm{d}x ∫23(x−2)cosnπxdx ( − 1 ) n − 1 n 2 π 2 \frac{(-1)^{n}-1}{n^2\pi^2} n2π2(−1)n−1, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯)(2) b n b_{n} bn 1 1 ∫ − 1 1 f ( x ) sin n π 1 x d x \frac{1}{1}\int_{-1}^{1}f(x)\sin{n\frac{\pi}{1}{x}}\mathrm{d}x 11∫−11f(x)sinn1πxdx ( − 1 ) n − 1 n π \frac{(-1)^{n-1}}{n\pi} nπ(−1)n−1, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯)(3) 分别将上述的 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0,an,bn代入 f ( x ) f(x) f(x) a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n π x b n sin n π x ) \sum_{n1}^{\infin} (a_{n}\cos{n\pi{x}}b_{n}\sin{n\pi{x}}) ∑n1∞(ancosnπxbnsinnπx)(4),即得 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数 Note:利用式(4),可以求得 S ∑ n 1 ∞ 1 n 2 S\sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{n^2} S∑n1∞n21 令式(4)中 x 2 x2 x2,即得 0 1 4 ∑ n 1 ∞ a n 0\frac{1}{4}\sum_{n1}^{\infin}a_{n} 041∑n1∞an 1 4 1 π 2 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 2 \frac{1}{4}\frac{1}{\pi^2}\sum_{n1}^{\infin}\frac{(-1)^{n}-1}{n^2} 41π21∑n1∞n2(−1)n−1(5)利用式(5),可以算得 S S S π 2 6 \frac{\pi^2}{6} 6π2,详情参考下一节例
三角函数和(-1)的幂转换关系 cos n π ( − 1 ) n \cos{n\pi}(-1)^n cosnπ(−1)n − cos ( n π ) ( − 1 ) n 1 -\cos{(n\pi)}(-1)^{n1} −cos(nπ)(−1)n1 cos k n π \cos kn\pi cosknπ cos ( ( k − 2 ⌊ k 2 ⌋ ) n π ) \cos{((k-2\lfloor\frac{k}{2}\rfloor)n\pi)} cos((k−2⌊2k⌋)nπ) cos 2 n π \cos{2n\pi} cos2nπ cos 0 \cos{0} cos01 sin n π 0 \sin{n\pi}0 sinnπ0 sin k n π \sin{kn\pi} sinknπ 0 0 0, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z sin ( n π π 2 ) ( − 1 ) n \sin{(n\pi\frac{\pi}{2})}(-1)^{n} sin(nπ2π)(−1)n
(-1)的幂与级数的奇偶项 ( − x ) n ( − 1 ) n x n (-x)^n(-1)^nx^n (−x)n(−1)nxn ( − 1 ) n − 1 ( − 1 ) n 1 (-1)^{n-1}(-1)^{n1} (−1)n−1(−1)n1 ( − 1 ) n 1 ( − 1 ) n − 1 ( − 1 ) 2 1 \frac{(-1)^{n1}}{(-1)^{n-1}}(-1)^21 (−1)n−1(−1)n1(−1)21 ( − 1 ) n (-1)^{n} (−1)n ( − 1 ) n (-1)^{n} (−1)n 1 1 1, n n n为偶数 ( − 1 ) n (-1)^{n} (−1)n − 1 -1 −1, n n n为奇数 ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n}-1 (−1)n−1 0 0 0, n n n为偶数 ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n}-1 (−1)n−1 − 2 -2 −2, n n n为奇数 ( − 1 ) n 1 (-1)^{n}1 (−1)n1 2 2 2, n n n为偶数 ( − 1 ) n 1 (-1)^{n}1 (−1)n1 0 0 0, n n n为奇数
级数通项变形
某些级数的通项可以做比较大的变形 对给定级数展开其前若干项,通过观察规律总结成另一个通项公式
例 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 2 \sum_{n1}^{\infin}\frac{(-1)^{n}-1}{n^2} ∑n1∞n2(−1)n−1 − 2 1 2 0 − 2 3 3 0 − 2 5 2 ⋯ \frac{-2}{1^2}0\frac{-2}{3^3}0\frac{-2}{5^2}\cdots 12−2033−2052−2⋯ − 2 ∑ n 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) 2 -2\sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{(2n-1)^2} −2∑n1∞(2n−1)21(1)
例 已知 1 4 1 π 2 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 2 \frac{1}{4}\frac{1}{\pi^2}\sum_{n1}^{\infin}\frac{(-1)^{n}-1}{n^2} 41π21∑n1∞n2(−1)n−1 0 0 0(2),求 S S S ∑ n 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{n^2} ∑n1∞n21 将(1)代入(2),可得: π 2 8 \frac{\pi^2}{8} 8π2 ∑ n 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) 2 \sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{(2n-1)^2} ∑n1∞(2n−1)21(3) ∑ n 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) 2 \sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{(2n-1)^2} ∑n1∞(2n−1)21 1 1 2 1 3 3 1 5 2 ⋯ \frac{1}{1^2}\frac{1}{3^3}\frac{1}{5^2}\cdots 121331521⋯(4) ∑ n 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{n^2} ∑n1∞n21 1 1 2 1 2 2 1 3 2 ⋯ \frac{1}{1^2}\frac{1}{2^2}\frac{1}{3^2}\cdots 121221321⋯(5) [ ∑ n 1 ∞ 1 n 2 ] [\sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{n^2}] [∑n1∞n21]- [ ∑ n 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) 2 ] [\sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{(2n-1)^2}] [∑n1∞(2n−1)21] 1 2 2 1 4 2 ⋯ \frac{1}{2^2}\frac{1}{4^{2}}\cdots 221421⋯ ∑ n 1 ∞ 1 ( 2 n ) 2 \sum_{n1}^{\infin}{\frac{1}{(2n)^2}} ∑n1∞(2n)21 1 4 ∑ n 1 ∞ 1 n 2 \frac{1}{4}\sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{n^2} 41∑n1∞n21(6) 可见 S S S- π 2 8 \frac{\pi^2}{8} 8π2 1 4 S \frac{1}{4}S 41S,解得 S π 2 6 S\frac{\pi^2}{6} S6π2
