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3D射影几何对偶的是点和平面#xff0c;直线是自对偶的。3D空间中直线有4个自由度#xff0c;这一现象并不是那么容易直接得出。一…3 Projective Geometry and Transformations of 3D
这章主要讲的是3D的射影几何与2D的射影几何差不多。主要区别是
3D射影几何对偶的是点和平面直线是自对偶的。3D空间中直线有4个自由度这一现象并不是那么容易直接得出。一种方法是把直线用正交平面两个交点表示。 文章目录 3 Projective Geometry and Transformations of 3D3.1 Points and projective transformations3.2 Representing and transforming planes, lines and quadrics3.2.1 Planes3.2.2 Lines3.2.3 Quadrics and dual quadrics3.2.4 Classification of quadrics 3.4 The hierarchy of transformations3.5 The plane at infinity3.6 The absolute conic3.7 The absolute dual quadric
3.1 Points and projective transformations
三维空间的齐次坐标就是 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x_1,x_2,x_3,x_4 x1,x2,x3,x4比二维空间多一个。 x 4 x_4 x4一般是1如果是0那就代表无穷远的点。
三维空间投影矩阵 H H H是 4 × 4 4 \times 4 4×4的有15个自由度。
3.2 Representing and transforming planes, lines and quadrics
三维投影空间中点和面是对偶的。也就是说它们可以互相交换运算中的位置。
3.2.1 Planes
三维空间面就是 π 1 X π 2 Y π 3 Z π 4 0 \pi_1 X \pi_2 Y \pi_3 Z \pi_4 0 π1Xπ2Yπ3Zπ40 π 1 π 2 π 3 \pi_1\pi_2\pi_3 π1π2π3就是平面的法向量。
相交关系
三点确定一个平面两个相交平面确定一个线三个相交平面确定一个点
下面来讨论这几个关系的代数表述。
三个点确定一平面 我们假设点是 X i X_i Xi, 平面式 π \pi π 确定平面需要解以下方程 [ X 1 T X 2 T X 3 T ] π 0 \left[ \begin{matrix} X_1^T \\ X_2^T \\ X_3^T \\ \end{matrix} \right] \pi 0 X1TX2TX3T π0 书中p67 3.4式给了一个解析解。
三个平面确定一个点 把上述方程点和面的位置换一下就行。 [ π 1 T π 2 T π 3 T ] X 0 \left[ \begin{matrix} \pi_1^T \\ \pi_2^T \\ \pi_3^T \\ \end{matrix} \right] X 0 π1Tπ2Tπ3T X0
3.2.2 Lines
线段在三维空间中表示比较尴尬因为点和面是对偶的如果要表示线那就需要5维向量。本节介绍了3种方法我们掌握一种就可以了。
零空间理论 我们假设 A , B A,B A,B是两个点经过这两个点的直线除了叉乘还可以表示为 W [ A T B T ] W \left[ \begin{matrix} A^T\\ B^T \end{matrix} \right] W[ATBT]
那么把 A , B A,B A,B换成平面上式就是两个平面相交形成的点。
3.2.3 Quadrics and dual quadrics
三维空间中的二次曲面定义如下 X T Q X 0 X^T Q X 0 XTQX0
Q是一个 4 × 4 4 \times 4 4×4的对称矩阵主要有以下性质
Q有9个自由度8个点确定一个二次曲面Q如果是奇异矩阵那么二次曲面退化了二次曲面可以确定一个点和一个极平面 π Q X \piQX πQX平面 π \pi π和Q的交线就是圆锥如果点变换是 X ′ H X XHX X′HX那么Q上的点就会被变换成 Q ′ H − T Q H − 1 QH^{-T} Q H^{-1} Q′H−TQH−1 Q Q Q的对偶定义为 Q ∗ Q^* Q∗是由与Q相切的面组成的
3.2.4 Classification of quadrics 3.4 The hierarchy of transformations
投影变换15个自由度不变量是相交的平面、垂直的平面仿射变换12个自由度不变量是平行的平面、体积之间的比例、无穷远处的平面.相似变换7个自由度不变量是无穷远处的圆锥刚体变换6个自由度不变量是体积
3.5 The plane at infinity
我们记得在二维投影空间中有一个无穷远的直线 l ∞ l_{\infty} l∞那么类似地在三维投影空间就有一个无穷远平面 π ∞ \pi_{\infty} π∞在该平面上还有一个绝对圆锥 Ω ∞ \Omega_{\infty} Ω∞ π ∞ \pi_{\infty} π∞是两个平行平面的交点平行线的交点在 π ∞ \pi_{\infty} π∞上与平面平行的直线也在 π ∞ \pi_{\infty} π∞上
结论3.7 无穷远平面在投影变换下保持不变当且仅当该变换是仿射变换。
3.6 The absolute conic
绝对圆锥 Ω ∞ \Omega_{\infty} Ω∞是 π ∞ ( 0 , 0 , 0 , 1 ) \pi_{\infty}(0,0,0,1) π∞(0,0,0,1) 上的圆锥满足 X 1 2 X 2 2 X 3 2 0 X 4 2 0 X_1^2 X_2^2 X_3^2 0 \\ X_4^20 X12X22X320X420
写成圆锥表达式就是 ( X 1 , X 2 , X 3 ) I ( X 1 , X 2 , X 3 ) T 0 (X_1,X_2,X_3)I(X_1,X_2,X_3)^T 0 (X1,X2,X3)I(X1,X2,X3)T0
结论3.9 绝对圆锥在投影变换下保持不变当且仅当该变换是相似变换。
所有的圆都和绝对圆锥相交于两点所有的球都和绝对圆椎相交于 π ∞ \pi_{\infty} π∞
度量性质 当我们知道了绝对圆锥我们就可以恢复度量性质比如直线之间的夹角 cos θ d 1 T Ω ∞ d 2 ( d 1 T Ω ∞ d 2 ) ( d 1 T Ω ∞ d 2 ) \cos \theta \frac{d_1^T \Omega_{\infty} d_2}{\sqrt{(d_1^T \Omega_{\infty} d_2)(d_1^T \Omega_{\infty} d_2)} } cosθ(d1TΩ∞d2)(d1TΩ∞d2) d1TΩ∞d2
3.7 The absolute dual quadric
就是由与绝对圆锥相切的平面组成的圆锥记为 Q ∞ ∗ Q_{\infty}^* Q∞∗对偶圆锥也在相似变换下保持不变。 π ∞ \pi_{\infty} π∞是 Q ∞ ∗ Q_{\infty}^* Q∞∗的零向量。
