响应式网站建设咨询,天迈装饰网站建设项目,网站的二级页面怎么做,赣州seo优化文章目录 1 Hermite矩阵2 Hermite二次型3 Hermite正定#xff08;非负定矩阵#xff09;4 矩阵不等式 1 Hermite矩阵 定义 设 A A A为 n n n阶方阵#xff0c;如果称 A A A为Hermite矩阵#xff0c;则需满足 A H A A^HA AHA#xff0c;其中 A H A^H AH表示 A A A的共轭转… 文章目录 1 Hermite矩阵2 Hermite二次型3 Hermite正定非负定矩阵4 矩阵不等式 1 Hermite矩阵 定义 设 A A A为 n n n阶方阵如果称 A A A为Hermite矩阵则需满足 A H A A^HA AHA其中 A H A^H AH表示 A A A的共轭转置也称Hermite转置具体操作如下 将矩阵的每个元素取共轭。对于复数 a b i abi abi它的共轭是 a − b i a-bi a−bi其中 a a a和 b b b 是实部和虚部将矩阵的行和列互换 Hermite矩阵与实对称矩阵的性质和证明方法都十分相似 Hermite矩阵性质 若 A , B A,B A,B为 n n n阶Hermite矩阵则 A A A的所有特征值全是实数 A A A的不同特征值所对应的特征向量是相互正交的对正整数 k k k A k A^k Ak也是Hermite矩阵若 A A A可逆则 A − 1 A^{-1} A−1也是Hermite矩阵对实数 k , p , k A p B k,p,kApB k,p,kApB也是Hermite矩阵 Hermite矩阵充分必要条件 设 A ∈ C n × n , B ∈ C n × n A\in C^{n\times n},B\in C^{n\times n} A∈Cn×n,B∈Cn×n A A A是Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵 U U U使得 U H A U Λ d i a g ( λ 1 , . . . , λ n ) U^HAU\Lambda diag(\lambda_1,...,\lambda_n) UHAUΛdiag(λ1,...,λn) 其中 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn均为实数。实对称矩阵则是存在正交矩阵 U . . . U... U... A是Hermite矩阵的充要条件是对任意方阵 S S S S H A S S^HAS SHAS是Hermite矩阵 如果 A , B A,B A,B是Hermite阵则 A B AB AB是Hermite矩阵的充要条件是 A B B A ABBA ABBA 相合标准形 设 A A A为 n n n阶Hermite矩阵则 A A A相合矩阵 D 0 ( I s 0 0 0 − I r − s 0 0 0 O n − r ) D_0\begin{pmatrix} I_s 0 0 \\ 0 -I_{r-s} 0 \\ 0 0 O_{n-r} \end{pmatrix} D0 Is000−Ir−s000On−r 其中 r r a n k ( A ) rrank(A) rrank(A) s s s是 A A A的正特征值重特征值按重数计算的个数。矩阵 D 0 D_0 D0则称为 n n n阶Hermite矩阵 A A A的相合标准形。 Sylvester惯性定律 设 A , B A,B A,B为 n n n阶Hermite矩阵则 A A A与 B B B相合的充要条件是 I n ( A ) I n ( B ) In(A)In(B) In(A)In(B) 其中 I n ( A ) In(A) In(A)称为 A A A的惯性 I n ( A ) { π ( A ) , v ( A ) , δ ( A ) } In(A)\{\pi(A),v(A),\delta(A)\} In(A){π(A),v(A),δ(A)}。其中 π ( A ) \pi(A) π(A), v ( A ) v(A) v(A), δ ( A ) \delta(A) δ(A)分别表示 A A A的正、负和零特征值的个数重特征值按重数计算。则 A A A非奇异的充要条件为 δ ( A ) 0 \delta(A)0 δ(A)0且 π ( A ) v ( A ) r a n k ( A ) \pi(A)v(A)rank(A) π(A)v(A)rank(A)。
2 Hermite二次型 Hermite二次型定义 由 n n n个复变量 x 1 , . . . , x n x_1,...,x_n x1,...,xn系数为负数的二次齐式 f ( x 1 , . . . , x n ) ∑ i 1 n ∑ j 1 n a i j x i ˉ x j ˉ f(x_1,...,x_n)\sum_{i1}^{n}\sum_{j1}^{n}a_{ij}\bar{x_i}\bar{x_j} f(x1,...,xn)i1∑nj1∑naijxiˉxjˉ 其中 a i j a j i a_{ij}a_{ji} aijaji称为Hermite二次型。Hermite二次型可写为 f ( x ) x H A x f(x)x^HAx f(x)xHAx我们称 A A A的秩就为Hermite二次型的秩。 Hermite二次型的标准形定理 对Hermite二次型 f ( x ) x H A x f(x)x^HAx f(x)xHAx存在酉线性变换 x U y xUy xUy其中 U U U是酉矩阵使得Hermite二次型 f ( x ) f(x) f(x)变成标准形只包含平方项的二次型 f ( x ) λ 1 y 1 ˉ y 1 . . . λ n y n ˉ y n f(x)\lambda_1\bar{y_1}y_1...\lambda_n\bar{y_n}y_n f(x)λ1y1ˉy1...λnynˉyn 其中 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn为 A A A的特征值。 Hermite二次型化标准形酉线性变换 设 f ( x ) x H A x f(x)x^HAx f(x)xHAx其中 A A A为 n n n阶Hermite矩阵 求出二次型矩阵 A A A的特征值 λ 1 , . . . λ n \lambda_1,...\lambda_n λ1,...λn和特征向量 v 1 , . . . , v n v_1,...,v_n v1,...,vn并将特征向量 v 1 , . . . , v n v_1,...,v_n v1,...,vn规范正交 令 U ( v 1 , . . . , v n ) , x U y U(v_1,...,v_n),xUy U(v1,...,vn),xUy则 f ( x ) ( U y ) H A ( U y ) y H U H A U y y H ( U H A U ) y y H Λ y λ 1 ∣ y 1 ∣ 2 . . . λ n ∣ y n ∣ 2 f(x)(Uy)^HA(Uy)y^HU^HAUyy^H(U^HAU)y\\y^H\Lambda y\lambda_1|y_1|^2...\lambda_n|y_n|^2 f(x)(Uy)HA(Uy)yHUHAUyyH(UHAU)yyHΛyλ1∣y1∣2...λn∣yn∣2 Hermite二次型规范形定理 对二次型 f ( x ) x H A x f(x)x^HAx f(x)xHAx存在可逆线性变换 x P y xPy xPy使得Hermite二次型 f ( x ) f(x) f(x)化为 f ( x ) y 1 ˉ y 1 . . . y s ˉ y s − y s 1 ˉ y s 1 − . . . − y r ˉ y r f(x)\bar{y_1}y_1...\bar{y_s}y_s-\bar{y_{s1}}y_{s1}-...-\bar{y_r}y_r f(x)y1ˉy1...ysˉys−ys1ˉys1−...−yrˉyr 其中 r r a n k ( A ) , s π ( A ) rrank(A),s\pi(A) rrank(A),sπ(A)。上式则为Hermite二次型 f ( x ) f(x) f(x)的规范形其中 s s s和 ( r − s ) (r-s) (r−s)分别称为Hermite二次型的正惯性指数和负惯性指数。 二次型化规范形 设 f ( x ) x H A x f(x)x^HAx f(x)xHAx其中 A A A为 n n n阶Hermite矩阵 将二次型化为标准形得到标准形 f ( x ) y H Λ y f(x)y^H\Lambda y f(x)yHΛy和酉矩阵 U U U 将对角线元素提取出来即只保留 λ i \lambda_i λi的正负性则 f ( x ) y H Λ y y H ( Λ 1 D 0 Λ 1 ) y y H ( Λ 1 H D 0 Λ 1 ) y ( Λ 1 y ) H D 0 ( Λ 1 y ) f(x)y^H\Lambda yy^H(\Lambda_1 D_0 \Lambda_1)yy^H(\Lambda_1^HD_0\Lambda_1)y\\ (\Lambda_1y)^HD_0(\Lambda_1y) f(x)yHΛyyH(Λ1D0Λ1)yyH(Λ1HD0Λ1)y(Λ1y)HD0(Λ1y) 其中 Λ 1 \Lambda_1 Λ1为对角矩阵对角线元素为 ∣ λ i ∣ ( 1 ≤ i ≤ n ) \sqrt {|\lambda_i}|(1\leq i \leq n) ∣λi ∣(1≤i≤n)。 令 y Λ 1 − 1 z y\Lambda_1^{-1} z yΛ1−1z则 f ( x ) ( Λ 1 Λ 1 − 1 z ) H D 0 ( Λ 1 Λ 1 − 1 z ) z H D 0 z z 1 ˉ z 1 . . . z s ˉ y s − z s 1 ˉ z s 1 − . . . − z r ˉ z r f(x)(\Lambda_1\Lambda_1^{-1}z)^HD_0(\Lambda_1\Lambda_1^{-1}z)z^HD_0z\\\bar{z_1}z_1...\bar{z_s}y_s-\bar{z_{s1}}z_{s1}-...-\bar{z_r}z_r f(x)(Λ1Λ1−1z)HD0(Λ1Λ1−1z)zHD0zz1ˉz1...zsˉys−zs1ˉzs1−...−zrˉzr 故 x U Λ − 1 z xU\Lambda^{-1}z xUΛ−1z可逆矩阵 P U Λ − 1 PU\Lambda^{-1} PUΛ−1 正定相关概念 设 f ( x ) x H A x f(x)x^HAx f(x)xHAx为Hermite二次型 如果 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0等价 s r n srn srn则称 f ( x ) f(x) f(x)为正定的如果 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)≥0等价 s r n srn srn则称 f ( x ) f(x) f(x)为半正定非负定的的如果 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0等价 s 0 , r n s0,rn s0,rn则称 f ( x ) f(x) f(x)为负定的如果 f ( x ) ≤ 0 f(x)\leq0 f(x)≤0等价 s 0 , r n s0,rn s0,rn则称 f ( x ) f(x) f(x)为半负定的如果 f ( x ) f(x) f(x)有时为正有时为负等价 0 s r ≤ n 0sr\leq n 0sr≤n则称 f ( x ) f(x) f(x)为不定的
3 Hermite正定非负定矩阵 定义 根据Hermite二次型的正定非负定可以定义Hermite矩阵的正定非负定。 设 A A A为 n n n阶Hermite矩阵 f ( x ) x H A x f(x)x^HAx f(x)xHAx 如果 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0则称 A A A为正定的记作 A 0 A0 A0如果 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)≥0则称 A A A为半正定非负定的的记作 A ≥ 0 A\geq 0 A≥0如果 f ( x ) 0 f(x)0 f(x)0则称 A A A为负定的记作 A 0 A0 A0如果 f ( x ) ≤ 0 f(x)\leq0 f(x)≤0则称 A A A为半负定的记作 A ≤ 0 A\leq 0 A≤0如果 f ( x ) f(x) f(x)有时为正有时为负则称 A A A为不定的 判断 n n n阶Hermite矩阵 A A A正定 通过正定矩阵的定义 A A A的 n n n个特征值均为正数 A A A的顺序主子式 Δ k A ( 1 … k 1 … k ) 0 , ( k 1 , . . . , n ) \Delta_kA\begin{pmatrix}1\dotsk\\1\dotsk\end{pmatrix}0,(k1,...,n) ΔkA(11……kk)0,(k1,...,n)均为正数 A A A的所有主子式全大于 0 0 0存在 n n n阶非奇异下三角矩阵 L L L使得 A L L H ALL^H ALLH该分解称为Cholesky分解存在 n n n阶非奇异矩阵使得 A B H B AB^HB ABHB存在 n n n阶非奇异Hermite矩阵 A S 2 AS^2 AS2 判断 n n n阶Hermite矩阵 A A A半正定 通过半正定矩阵的定义 A A A的 n n n个特征值均为非负数 A A A的所有主子式均非负 定理证明 设 A , B A,B A,B均为 n n n阶Hermite矩阵且 B 0 B0 B0则存在非奇异矩阵 P P P使得 P H A P d i a g ( λ 1 , . . . , λ n ) , P H B P I P^HAPdiag(\lambda_1,...,\lambda_n),P^HBPI PHAPdiag(λ1,...,λn),PHBPI 其中 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn是广义特征值问题的特征值 证明 ∵ B 0 \because B 0 ∵B0 $\therefore 存在非奇异矩阵 存在非奇异矩阵 存在非奇异矩阵P_1 使得 使得 使得P_1^HBP_1I$ 又 ∵ P 1 H A P 1 \because P_1^HAP_1 ∵P1HAP1仍为Hermite矩阵 ∴ \therefore ∴酉矩阵 U U U使得 U H ( P 1 H A P 1 ) U d i a g ( λ 1 , . . . , λ n ) U^H(P_1^HAP_1)Udiag(\lambda_1,...,\lambda_n) UH(P1HAP1)Udiag(λ1,...,λn) 令 P P 1 U PP_1U PP1U ∵ P \because P ∵P非奇异根据定理 P H B P I P^HBPI PHBPI ∴ P H B P ( P 1 U ) H B ( P 1 U ) U H P 1 H B P 1 U I \therefore P^HBP(P_1U)^HB(P_1U)\\U^HP_1^HBP_1UI ∴PHBP(P1U)HB(P1U)UHP1HBP1UI 又 ∵ P 1 \because P_1 ∵P1非奇异使得 P 1 H B P 1 I P_1^HBP_1I P1HBP1I ∴ \therefore ∴ P H B P U H P 1 H B P 1 U U H ( P 1 H B P 1 ) U U H I U U H U I P^HBP U^HP_1^HBP_1UU^H(P_1^HBP_1)U\\U^HIUU^HUI PHBPUHP1HBP1UUH(P1HBP1)UUHIUUHUI ∴ \therefore ∴ P H A P U H P 1 H A P 1 U d i a g ( λ 1 , . . . , λ n ) P^HAPU^HP_1^HAP_1Udiag(\lambda_1,...,\lambda_n) PHAPUHP1HAP1Udiag(λ1,...,λn) ∴ \therefore ∴我们可以对上式右乘 P − 1 P^{-1} P−1和 B − 1 B^{-1} B−1得到 P H B P I P H P − 1 B − 1 P^HBPI \\ P^HP^{-1}B^{-1} PHBPIPHP−1B−1 ∴ \therefore ∴ 得到 P − 1 B − 1 A P d i a g ( λ 1 , . . . , λ n ) P^{-1}B^{-1}APdiag(\lambda_1,...,\lambda_n) P−1B−1APdiag(λ1,...,λn) 即 B − 1 A B^{-1}A B−1A相似于对角矩阵故 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn是矩阵 B − 1 A B^{-1}A B−1A的特征值即 λ 1 , . . . , λ n ) \lambda_1,...,\lambda_n) λ1,...,λn)是广义特征值问题的特征值。 广义特征值问题 A x λ B x Ax\lambda Bx AxλBx左乘 B − 1 B^{-1} B−1即为 B − 1 A x λ x B^{-1}Ax\lambda x B−1Axλx
4 矩阵不等式 定义 设 A , B A,B A,B都是 n n n阶Hermite矩阵如果 A − B ≥ 0 A-B\geq 0 A−B≥0则称 A A A大于或等于 B B B或称 B B B小于等于 A A A记作 A ≥ B A\geq B A≥B或 B ≤ A B\leq A B≤A即 A − B A-B A−B半正定如果 A − B 0 A-B0 A−B0则称 A A A大于 B B B或称 B B B小于 A A A记作 A B AB AB或 B A BA BA即 A − B A-B A−B正定。 性质 设 A , B , C A,B,C A,B,C均为 n n n阶Hermite矩阵则 A ≥ B ( A B ) ⟺ − A ≤ − B ( − A − B ) ⟺ A\geq B(AB) \Longleftrightarrow-A\leq -B(-A-B)\Longleftrightarrow A≥B(AB)⟺−A≤−B(−A−B)⟺对任意 n n n阶可逆矩阵 P P P都有 P H A P ≥ P H B P ( P H A P P H B P ) P^HAP\geq P^HBP(P^HAPP^HBP) PHAP≥PHBP(PHAPPHBP)若 A 0 ( A ≥ 0 ) , C 0 ( C ≥ 0 ) A0(A\geq 0),C0(C\geq 0) A0(A≥0),C0(C≥0)且 A C C A ACCA ACCA则 A C 0 ( A C ≥ 0 ) AC0(AC\geq 0) AC0(AC≥0)若 A B AB AB P P P为 n × m n\times m n×m列满秩矩阵则 P H A P P H B P P^HAPP^HBP PHAPPHBP若 A ≥ B A\geq B A≥B P P P为 n × m n\times m n×m矩阵则 P H A P ≥ P H B P P^HAP\geq P^HBP PHAP≥PHBP 定理 设 A , B A,B A,B都是 n n n阶Hermite矩阵且 A ≥ 0 , B 0 A\geq 0,B0 A≥0,B0则 B ≥ A B\geq A B≥A的充要条件是 ρ ( A B − 1 ) ≤ 1 \rho(AB^{-1})\leq 1 ρ(AB−1)≤1 B A BA BA的充要条件是 ρ ( A B − 1 ) 1 \rho(AB^{-1})1 ρ(AB−1)1 设 A A A是 n n n阶Hermite矩阵则 λ m i n ( A ) I ≤ A ≤ λ m a x I \lambda_{min}(A)I\leq A\leq\lambda_{max}I λmin(A)I≤A≤λmaxI这时 λ m i n \lambda_{min} λmin和 λ m a x \lambda_{max} λmax分别表示 A A A的最大和最小特征值。 设 A , B A,B A,B均为 n n n阶Hermite正定矩阵则 若 A ≥ B 0 A\geq B0 A≥B0则 B − 1 ≥ A − 1 0 B^{-1}\geq A^{-1}0 B−1≥A−10若 A B 0 AB0 AB0则 B − 1 A − 1 0 B^{-1}A^{-1}0 B−1A−10 设 A , B A,B A,B均为 n n n阶Hermite正定矩阵且 A B B A ABBA ABBA则 若 A ≥ B A\geq B A≥B则 A 2 ≥ B 2 A^2\geq B^2 A2≥B2 证明 A 2 − B 2 ( A − B ) ( A B ) ( A B ) ( A − B ) A^2-B^2(A-B)(AB)(AB)(A-B) A2−B2(A−B)(AB)(AB)(A−B)易知 ( A − B ) ≥ 0 , A B 0 (A-B)\geq0,AB0 (A−B)≥0,AB0则克制 若 A ≥ B A\geq B A≥B则 A 2 B 2 A^2 B^2 A2B2 同理得证 设 A A A是 m × n m\times n m×n行满秩矩阵 B B B是 n × k n\times k n×k矩阵则 B H B ≥ ( A B ) H ( A A H ) − 1 ( A B ) B^HB\geq (AB)^H(AA^H)^{-1}(AB) BHB≥(AB)H(AAH)−1(AB) 等号成立当且仅当存在一个 m × k m\times k m×k矩阵 C C C使得 B A H C BA^HC BAHC
