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“概率论”是给定一个随机变量X的分布F(x),然后求某事件A概率 P ( x ∈ A ) P(x \in A) P(x∈A)或者随机变量X的数字特征.“统计”是已知一组样本数据 { x 1 , x 2 , . . . x n } \{x_1,x_2,...x_n\} {x1,x2,...xn},去求分布F(x)
统计的基本概念
在统计中#x…前言
“概率论”是给定一个随机变量X的分布F(x),然后求某事件A概率 P ( x ∈ A ) P(x \in A) P(x∈A)或者随机变量X的数字特征.“统计”是已知一组样本数据 { x 1 , x 2 , . . . x n } \{x_1,x_2,...x_n\} {x1,x2,...xn},去求分布F(x)
统计的基本概念
在统计中总体X的分布要么未知要么分布形式已知但参数未知需要抽取部分个体来推断。
总体与样本 代表性的进一步解释: X i X_i Xi与总体 X X X 同分布。保证总体中每个值都有同样的机会被抽到 关于样本是谁随机变量,还是值? 当代入总体分布函数时是值当样本分布函数(抽样分布)分析的时候是随机变量 简单随机样本的性质 统计量
统计量来自总体一个样本不含任何未知参数完全由样本来确定也就是说根据样本可以求出我们需要的任何一个统计量的值。
常用统计量 为什么样本方差的分母是 n-1 只要采样数小于个体数采样本身就会引入分布的误差因此需要进行较正。 采样带来的误差就是原来分布的强化是可以计算的n/(n-1)的修正并非随便给的 如图 E [ S 2 ] ∗ n / ( n − 1 ) E[S^2]*n/(n-1) E[S2]∗n/(n−1)是正常的方差,所以修正过的样本方差 末修正过的样本方差*n/(n-1), 抽样分布
样本统计量的分布称为抽样分布.他通常也是随机变量X的分布函数.抽样分布中最常用的分布其实是4种z 分布即正态分布、卡方分布、t分布、F分布。
卡方分布 关于标准正态N(0,1):EX0,DX1根据总体标准正态,求得样本卡方分布: EXn,DX2n ∑ i 1 n E ( X i 2 ) ∑ i 1 n E ( ( X i − X ˉ X ˉ ) 2 ) \sum_{i1}^nE(X_i^2) \sum_{i1}^nE((X_i-\bar{X}\bar{X})^2) ∑i1nE(Xi2)∑i1nE((Xi−XˉXˉ)2) ∑ i 1 n E ( ( X i − X ˉ ) 2 2 X i X ˉ − X ˉ 2 ) ) \sum_{i1}^nE((X_i-\bar{X})^22X_i\bar{X}-\bar{X}^2)) ∑i1nE((Xi−Xˉ)22XiXˉ−Xˉ2)) ∑ i 1 n [ D ( X i ) E 2 ( X i ) ] \sum_{i1}^n[D(X_i)E^2(X_i)] ∑i1n[D(Xi)E2(Xi)] 参数估计
主要解决总体分布形式已知但参数未知,即总体 X X X分布函数 F ( x , θ ) F(x, \theta) F(x,θ) 形式已知估计未知参数 θ \theta θ。
点估计 矩估计法 极大似然估计 极大似然估计以“我抽样出来的情况就是最大概率”的情况为前提,求参数 θ \theta θ的最大值. 估计量的优良性评判
既然是估计量那与真实值之间就存在误差因此需要判断估计量是否满足我们的要求可以通过下面的几个准则来进行评判。
区间估计 矩估计法的前提是基于“抽样分布”和“主分布”是一致的情况下. 区间估计法则是表示定置水平一致的情况下,你去构建枢轴变量(带未知数统计量)和抽样分布,最终确定未知量 定置水平的理解: 你要估计全班的身高, 抽样了10得出了身高区间(a,b),然后给出了全部97%的人,身高在(a,b).97%就属于定置水平 x ˉ − u σ / n {{\bar{x}-u} \over {\sigma}/\sqrt{n}} σ/n xˉ−u是正态分布 N ( u , σ 2 ) N(u,\sigma^2) N(u,σ2)转为标准正态 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)的随机变量X的转换关系 统计量参考 假设检验
假设检验的基本原理给定一个假设 H 0 H_0 H0为了检验 H 0 H_0 H0是否正确首先假定 H 0 H_0 H0是正确的然后根据抽取到的样本来判断是接收还是拒绝该假设。如果样本中出现了不合理的观测值应该拒绝 H 0 H_0 H0否则应该接受假设 观测值:即样本的统计量“不合理”指的是小概率事件发生常用 α \alpha α来表示这个小概率也被称为检验的显著性水平 (与点估计中区间估计中的信置水平,差不多的功能). 定义
拒绝域与临界值 从某种意义上说设计一个检验本质上就是找到一个恰当的拒绝域W使得当 H 0 H_0 H0成立时 P ( x ∈ W ∣ H 0 成立 ) α P(x \in W|H_0成立)\alpha P(x∈W∣H0成立)α 即把“小概率事件”视为与拒绝域 W W W是等价的 假设检验存在两类错误 通常只规定 α \alpha α的取值即控制犯第I类错误的概率使犯第二类错误的概率尽可能小要使两者犯错的概率都小就必须增大样本容量。 参数假设检验 统计量参考 关于为什么总分布都是以正态分布?
因为中心极限定理。自然界的很多现象都是由无数微小因素的叠加而产生的而无论这种因素服从何种分布在大尺度上来观察其结果都应大致符合正态分布。 网上有一篇文章叫《正态分布的前世今生》非常推荐学习概率统计的人读一读。
卡方拟合优度检验
前面的假设检验都是通过抽样来对总体参数进行的假设检验且集中在正态总体下的参数假设检验。但在实际问题中可能存在我们对要研究的总体并不知晓是什么分布。卡方拟合优度检验就是对未知总体的分布提出一个假设例如假设该总体服从正态分布、泊松分布、指数分布、二项分布等根据样本获得的信息检验假设是否成立。 拟合优度是指抽样获得的观测频次与原假设分布中理论频次也叫期望频次的差异若观测频次和理论频次越接近意味着符合程度越好即拟合优度更好。 分布拟合优度检验所采用的检验统计量渐近 χ 2 \chi^2 χ2分布
使用了大样本的性质所以要求样本容量n足够大各区间的理论频数 n p i np_i npi不能太小
简单的例子 主要参考
《为什么样本方差sample variance的分母是 n-1》 《数理统计学习笔记01数理统计的基本概念》 《数理统计学习笔记03参数的点估计》 《第六章 数理统计的基本概念》 《第七章 参数估计》 《期末复习——概率论与数理统计基本概念总结》 《第八章 假设检验》 《数理统计8.5-卡方拟合优度检验》
