seo网站优化排名,聊城网站策划,设计素材网站飘,网站搭建代码初中数学选讲#xff1a;二次根式练习题#xff08;20240706-01#xff09; 1. 练习题目1.1 题目描述1.2 思路 2. 答题2.1 分析通项2.2 求通项的和 鸣谢 1. 练习题目
辅导初中学生数学的过程中#xff0c;发现一道有意思的题目#xff0c;分享如下。
1.1 题目描述
计算… 初中数学选讲二次根式练习题20240706-01 1. 练习题目1.1 题目描述1.2 思路 2. 答题2.1 分析通项2.2 求通项的和 鸣谢 1. 练习题目
辅导初中学生数学的过程中发现一道有意思的题目分享如下。
1.1 题目描述
计算 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 4 2 ⋯ 1 1 2010 2 1 2011 2 \sqrt{1\frac{1}{1^2}\frac{1}{2^2}}\sqrt{1\frac{1}{2^2}\frac{1}{3^2}}\sqrt{1\frac{1}{3^2}\frac{1}{4^2}}\cdots\sqrt{1\frac{1}{{2010}^2}\frac{1}{{2011}^2}} 1121221 1221321 1321421 ⋯1201021201121 本题是面向初二上学期的一道二次根式练习题难度为“培优级”。
1.2 思路
这道题应分析通项即每一个根式项。
2. 答题
2.1 分析通项
令通项为 u n 1 1 n 2 1 ( n 1 ) 2 u_n\sqrt{1\frac{1}{n^2}\frac{1}{{(n1)}^2}} un1n21(n1)21 则题目即计算 ∑ n 1 2010 u n \sum_{n1}^{2010}u_n n1∑2010un 令 v n 1 1 n 2 1 ( n 1 ) 2 v_n1\frac{1}{n^2}\frac{1}{{(n1)}^2} vn1n21(n1)21 显然有 u n v n u_n\sqrt{v_n} unvn 我们努力化简 v n v_n vn看看它能不能被开平方。 v n 1 1 n 2 1 ( n 1 ) 2 1 ( n 1 ) 2 n 2 n 2 ∙ ( n 1 ) 2 n 2 ∙ ( n 1 ) 2 ( n 1 ) 2 n 2 n 2 ∙ ( n 1 ) 2 \begin{aligned} v_n1\frac{1}{n^2}\frac{1}{\left(n1\right)^2}\\ 1\frac{\left(n1\right)^2n^2}{n^2\bullet\left(n1\right)^2}\\ \frac{n^2\bullet\left(n1\right)^2\left(n1\right)^2n^2}{n^2\bullet\left(n1\right)^2} \end{aligned} vn1n21(n1)211n2∙(n1)2(n1)2n2n2∙(n1)2n2∙(n1)2(n1)2n2 令 w n n 2 ∙ ( n 1 ) 2 ( n 1 ) 2 n 2 w_nn^2\bullet\left(n1\right)^2\left(n1\right)^2n^2 wnn2∙(n1)2(n1)2n2 令 w n n 2 ∙ ( n 1 ) 2 ( n 1 ) 2 n 2 n 2 ∙ ( n 2 2 n 1 ) ( n 2 2 n 1 ) n 2 ( n 4 2 n 3 n 2 ) ( n 2 2 n 1 ) n 2 n 2 ∙ ( n 2 2 n 1 ) ( n 2 2 n 1 ) n 2 ( n 4 2 n 3 n 2 ) ( n 2 2 n 1 ) n 2 n 4 2 n 3 3 n 2 2 n 1 ( n 4 n 3 n 2 ) ( n 3 n 2 n ) ( n 2 n 1 ) n 2 ∙ ( n 2 n 1 ) n ∙ ( n 2 n 1 ) ( n 2 n 1 ) ( n 2 n 1 ) ( n 2 n 1 ) ( n 2 n 1 ) 2 \begin{aligned} w_nn^2\bullet\left(n1\right)^2\left(n1\right)^2n^2\\ n^2\bullet\left(n^22n1\right)\left(n^22n1\right)n^2\\ \left(n^42n^3n^2\right)\left(n^22n1\right)n^2\\ n^2\bullet\left(n^22n1\right)\left(n^22n1\right)n^2\\ \left(n^42n^3n^2\right)\left(n^22n1\right)n^2\\ n^42n^3{3n}^22n1\\ \left(n^4n^3n^2\right)\left(n^3n^2n\right)\left(n^2n1\right)\\ n^2\bullet\left(n^2n1\right)n\bullet\left(n^2n1\right)\left(n^2n1\right)\\ \left(n^2n1\right)\left(n^2n1\right)\\ \left(n^2n1\right)^2 \end{aligned} wnn2∙(n1)2(n1)2n2n2∙(n22n1)(n22n1)n2(n42n3n2)(n22n1)n2n2∙(n22n1)(n22n1)n2(n42n3n2)(n22n1)n2n42n33n22n1(n4n3n2)(n3n2n)(n2n1)n2∙(n2n1)n∙(n2n1)(n2n1)(n2n1)(n2n1)(n2n1)2 则 v n w n n 2 ∙ ( n 1 ) 2 ( n 2 n 1 ) 2 n 2 ∙ ( n 1 ) 2 [ n 2 n 1 n ∙ ( n 1 ) ] 2 v_n\frac{w_n}{n^2\bullet\left(n1\right)^2}\frac{\left(n^2n1\right)^2}{n^2\bullet\left(n1\right)^2}\left[\frac{n^2n1}{n\bullet(n1)}\right]^2 vnn2∙(n1)2wnn2∙(n1)2(n2n1)2[n∙(n1)n2n1]2 则 u n v n n 2 n 1 n ∙ ( n 1 ) n ∙ ( n 1 ) 1 n ∙ ( n 1 ) 1 1 n ∙ ( n 1 ) 1 1 n − 1 n 1 u_n\sqrt{v_n}\frac{n^2n1}{n\bullet\left(n1\right)}\frac{n\bullet\left(n1\right)1}{n\bullet\left(n1\right)}1\frac{1}{n\bullet\left(n1\right)}1\frac{1}{n}-\frac{1}{n1} unvn n∙(n1)n2n1n∙(n1)n∙(n1)11n∙(n1)11n1−n11
2.2 求通项的和
则 原式 ∑ n 1 2010 u n ( 1 1 1 − 1 2 ) ( 1 1 2 − 1 3 ) ( 1 1 3 − 1 4 ) ⋯ ( 1 1 2010 − 1 2011 ) 2010 ( 1 1 − 1 2011 ) 2011 − 1 2011 \begin{aligned} 原式\sum_{n1}^{2010}u_n\\ \left(1\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)\left(1\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\left(1\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\cdots\left(1\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\right)\\ 2010(\frac{1}{1}-\frac{1}{2011})2011-\frac{1}{2011} \end{aligned} 原式n1∑2010un(111−21)(121−31)(131−41)⋯(120101−20111)2010(11−20111)2011−20111 上式的结果按照带分数来表示即 原式 2010 2010 2011 原式2010\frac{2010}{2011} 原式201020112010 【答毕】
鸣谢
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