建站节,专业网站建设定制,做集群网站,手机卡盟网站建设最近看论文发现了一个叫循环卷积的东西#xff0c;这里学习并记录一下#xff0c;方便以后查阅。 循环卷积#xff08;Circular Convolutions#xff09; 循环卷积#xff08;Circular Convolutions#xff09;1. 什么是循环卷积2. 数学定义关键点 3. 循环卷积与线性卷积…最近看论文发现了一个叫循环卷积的东西这里学习并记录一下方便以后查阅。 循环卷积Circular Convolutions 循环卷积Circular Convolutions1. 什么是循环卷积2. 数学定义关键点 3. 循环卷积与线性卷积的区别线性卷积循环卷积与线性卷积的差异特殊情况循环卷积与线性卷积的关系 4. 循环卷积的计算方法方法 1直接时域计算方法 2使用快速傅里叶变换FFT方法 3矩阵形式 5. 实际应用6. 注意事项7. 总结 时域的循环卷积等价于频域的点乘步骤 1定义循环卷积和 DFT步骤 2将循环卷积代入 DFT步骤 3改变求和顺序步骤 4变量替换步骤 5识别 DFT步骤 6结论 卷积Convolution1. 什么是卷积2. 卷积的数学定义2.1 连续卷积2.2 离散卷积线性卷积 3. 卷积的直观理解示例 4. 卷积的物理意义5. 卷积的性质6. 卷积的计算方法6.1 时域直接计算6.2 频域计算使用 FFT6.3 滑动窗口法 7. 卷积的实际应用8. 总结 参考资料 循环卷积Circular Convolutions
1. 什么是循环卷积
循环卷积Circular Convolution是信号处理和数学中的一种运算专门用于处理周期性或有限长度的离散信号。与普通的线性卷积Linear Convolution不同循环卷积假设输入信号是周期性的即信号在有限长度后会重复。这种假设使得循环卷积在某些场景下如数字信号处理、图像处理和快速傅里叶变换非常有用。
循环卷积的输出长度与输入信号的长度相同通常用于长度为 N N N 的离散信号。它的核心思想是将信号“环绕”起来模拟一个循环的结构可以想象信号的首尾连接成一个圆环。
2. 数学定义
假设有两个长度为 N N N 的离散信号 x [ n ] x[n] x[n] 和 h [ n ] h[n] h[n]它们的循环卷积定义为 y [ n ] ( x ⊛ h ) [ n ] ∑ m 0 N − 1 x [ m ] h [ ( n − m ) m o d N ] y[n] (x \circledast h)[n] \sum_{m0}^{N-1} x[m] h[(n - m) \mod N] y[n](x⊛h)[n]m0∑N−1x[m]h[(n−m)modN]
其中 ⊛ \circledast ⊛ 表示循环卷积运算。 n 0 , 1 , … , N − 1 n 0, 1, \dots, N-1 n0,1,…,N−1 是输出信号的索引。 ( n − m ) m o d N (n - m) \mod N (n−m)modN 确保索引是周期性的即如果索引超出 [ 0 , N − 1 ] [0, N-1] [0,N−1]它会“绕回”到信号的开头。
关键点
模运算模运算 m o d N \mod N modN 是循环卷积的核心它体现了信号的周期性。比如如果 n − m − 1 n - m -1 n−m−1则 ( − 1 ) m o d N N − 1 (-1) \mod N N-1 (−1)modNN−1相当于从信号的末尾绕回到开头。长度一致输入信号 x [ n ] x[n] x[n] 和 h [ n ] h[n] h[n] 必须长度相同都为 N N N输出 y [ n ] y[n] y[n] 的长度也是 N N N。周期性假设循环卷积假设 x [ n ] x[n] x[n] 和 h [ n ] h[n] h[n] 是周期为 N N N 的信号即 x [ n N ] x [ n ] x[n N] x[n] x[nN]x[n]。
3. 循环卷积与线性卷积的区别
要理解循环卷积我们需要先对比一下线性卷积
线性卷积
线性卷积是两个信号的“滑动叠加”没有周期性假设。假设 x [ n ] x[n] x[n] 长度为 M M M h [ n ] h[n] h[n] 长度为 L L L线性卷积的输出长度为 M L − 1 M L - 1 ML−1公式为 y [ n ] ( x ∗ h ) [ n ] ∑ m x [ m ] h [ n − m ] y[n] (x * h)[n] \sum_{m} x[m] h[n - m] y[n](x∗h)[n]m∑x[m]h[n−m]
其中求和范围取决于信号的有效索引通常需要补零来处理边界。
循环卷积与线性卷积的差异
周期性 循环卷积假设信号是周期的索引超出范围会绕回。线性卷积不假设周期性信号在边界外通常补零。 输出长度 循环卷积的输出长度等于输入长度 N N N。线性卷积的输出长度为 M L − 1 M L - 1 ML−1。 边界处理 循环卷积通过模运算处理边界形成“环状”效果。线性卷积在边界外补零导致输出更长。 计算场景 循环卷积常用于周期信号或通过快速傅里叶变换FFT实现的场景。线性卷积更适合非周期信号或直接时域计算。
特殊情况循环卷积与线性卷积的关系
如果对两个长度为 N N N 的信号进行循环卷积但通过补零使信号长度足够长例如补零到 2 N − 1 2N - 1 2N−1可以让循环卷积的输出等价于线性卷积。这是因为补零避免了周期性带来的“混叠”效应。
4. 循环卷积的计算方法
循环卷积可以通过以下几种方式计算
方法 1直接时域计算
根据定义公式直接计算 y [ n ] ∑ m 0 N − 1 x [ m ] h [ ( n − m ) m o d N ] y[n] \sum_{m0}^{N-1} x[m] h[(n - m) \mod N] y[n]m0∑N−1x[m]h[(n−m)modN]
步骤
对于每个 n 0 , 1 , … , N − 1 n 0, 1, \dots, N-1 n0,1,…,N−1计算所有 m 0 , 1 , … , N − 1 m 0, 1, \dots, N-1 m0,1,…,N−1 的贡献。使用模运算确定 h h h 的索引。累加结果。
缺点计算复杂度为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)对长信号效率较低。
示例 假设 x [ n ] [ 1 , 2 , 3 , 4 ] x[n] [1, 2, 3, 4] x[n][1,2,3,4] h [ n ] [ 1 , 0 , 0 , 0 ] h[n] [1, 0, 0, 0] h[n][1,0,0,0] N 4 N 4 N4。 计算 y [ 0 ] y[0] y[0] y [ 0 ] ∑ m 0 3 x [ m ] h [ ( 0 − m ) m o d 4 ] x [ 0 ] h [ 0 ] x [ 1 ] h [ − 1 m o d 4 ] x [ 2 ] h [ − 2 m o d 4 ] x [ 3 ] h [ − 3 m o d 4 ] 1 ⋅ 1 2 ⋅ 0 3 ⋅ 0 4 ⋅ 0 1 y[0] \sum_{m0}^{3} x[m] h[(0 - m) \mod 4] \\ x[0]h[0] x[1]h[-1 \mod 4] x[2]h[-2 \mod 4] x[3]h[-3 \mod 4] \\ 1 \cdot 1 2 \cdot 0 3 \cdot 0 4 \cdot 0 1 y[0]m0∑3x[m]h[(0−m)mod4]x[0]h[0]x[1]h[−1mod4]x[2]h[−2mod4]x[3]h[−3mod4]1⋅12⋅03⋅04⋅01
类似地计算 y [ 1 ] , y [ 2 ] , y [ 3 ] y[1], y[2], y[3] y[1],y[2],y[3]得到 y [ n ] [ 1 , 2 , 3 , 4 ] y[n] [1, 2, 3, 4] y[n][1,2,3,4]。
方法 2使用快速傅里叶变换FFT
循环卷积可以通过频域高效计算利用卷积定理
时域的循环卷积等价于频域的点乘。具体步骤 对 x [ n ] x[n] x[n] 和 h [ n ] h[n] h[n] 进行 N N N 点 DFT离散傅里叶变换得到 X [ k ] X[k] X[k] 和 H [ k ] H[k] H[k]。计算频域点乘 Y [ k ] X [ k ] ⋅ H [ k ] Y[k] X[k] \cdot H[k] Y[k]X[k]⋅H[k]。对 Y [ k ] Y[k] Y[k] 进行 IDFT逆离散傅里叶变换得到时域的 y [ n ] y[n] y[n]。
公式 y [ n ] IDFT ( DFT ( x [ n ] ) ⋅ DFT ( h [ n ] ) ) y[n] \text{IDFT}(\text{DFT}(x[n]) \cdot \text{DFT}(h[n])) y[n]IDFT(DFT(x[n])⋅DFT(h[n]))
优点使用 FFT计算复杂度降为 O ( N log N ) O(N \log N) O(NlogN)适合长信号。
方法 3矩阵形式
循环卷积可以用矩阵表示 h [ n ] h[n] h[n] 形成一个循环矩阵。例如对于 N 3 N 3 N3 h [ n ] [ h 0 , h 1 , h 2 ] h[n] [h_0, h_1, h_2] h[n][h0,h1,h2]矩阵为 H [ h 0 h 2 h 1 h 1 h 0 h 2 h 2 h 1 h 0 ] H \begin{bmatrix} h_0 h_2 h_1 \\ h_1 h_0 h_2 \\ h_2 h_1 h_0 \end{bmatrix} H h0h1h2h2h0h1h1h2h0
则 y H ⋅ x y H \cdot x yH⋅x
这种方法直观但计算复杂度仍为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)实际中较少使用。
5. 实际应用
循环卷积在多个领域有广泛应用尤其是在数字信号处理DSP和相关技术中
数字滤波 循环卷积用于实现周期信号的滤波。例如FIR滤波器可以通过循环卷积实现。 快速卷积 使用 FFT 实现循环卷积可以加速线性卷积的计算通过补零。 图像处理 在图像处理中循环卷积用于周期性边界条件的滤波操作如平滑或边缘检测。 通信系统 在 OFDM正交频分复用系统中循环卷积用于处理循环前缀消除符号间干扰。 音频信号处理 循环卷积用于实现混响、均衡器等效果。 周期性信号分析 循环卷积适合分析周期性信号如在周期图谱分析中。
6. 注意事项
补零问题如果需要模拟线性卷积必须补零到至少 M L − 1 M L - 1 ML−1否则循环卷积会引入混叠。信号长度输入信号长度必须一致否则需要截断或补零对齐。数值精度使用 FFT 计算时浮点运算可能引入微小误差。
7. 总结
循环卷积是一种针对周期性离散信号的卷积运算通过模运算实现信号的“环绕”效果。它的核心特点是输出长度与输入相同计算可以通过时域直接求和或频域 FFT 高效实现。与线性卷积相比循环卷积更适合周期性信号处理广泛应用于数字信号处理、图像处理和通信系统等领域。
时域的循环卷积等价于频域的点乘
通过离散傅里叶变换DFT来计算循环卷积并证明了卷积定理在循环卷积中的应用即时域的循环卷积等价于频域的点乘。
步骤 1定义循环卷积和 DFT
首先循环卷积 y [ n ] y[n] y[n] 定义为 y [ n ] ( x ⊛ h ) [ n ] ∑ m 0 N − 1 x [ m ] h [ ( n − m ) m o d N ] y[n] (x \circledast h)[n] \sum_{m0}^{N-1} x[m] h[(n - m) \mod N] y[n](x⊛h)[n]m0∑N−1x[m]h[(n−m)modN]
其中 ( n − m ) m o d N (n - m) \mod N (n−m)modN 体现了循环卷积的周期性。
DFT 的定义为对于长度 N N N 的信号 y [ n ] y[n] y[n]其 DFT Y [ k ] Y[k] Y[k] 为 Y [ k ] ∑ n 0 N − 1 y [ n ] ⋅ e − i 2 π k n / N , k 0 , 1 , … , N − 1 Y[k] \sum_{n0}^{N-1} y[n] \cdot e^{-i 2\pi kn / N}, \quad k 0, 1, \dots, N-1 Y[k]n0∑N−1y[n]⋅e−i2πkn/N,k0,1,…,N−1
目标是计算 Y [ k ] Y[k] Y[k]即 y [ n ] y[n] y[n] 的 DFT。
步骤 2将循环卷积代入 DFT
将 y [ n ] y[n] y[n] 的表达式代入 DFT 公式 Y [ k ] ∑ n 0 N − 1 y [ n ] ⋅ e − i 2 π k n / N Y[k] \sum_{n0}^{N-1} y[n] \cdot e^{-i 2\pi kn / N} Y[k]n0∑N−1y[n]⋅e−i2πkn/N Y [ k ] ∑ n 0 N − 1 ( ∑ m 0 N − 1 x [ m ] h [ ( n − m ) m o d N ] ) ⋅ e − i 2 π k n / N Y[k] \sum_{n0}^{N-1} \left( \sum_{m0}^{N-1} x[m] h[(n - m) \mod N] \right) \cdot e^{-i 2\pi kn / N} Y[k]n0∑N−1(m0∑N−1x[m]h[(n−m)modN])⋅e−i2πkn/N
这个公式直接将循环卷积的定义代入了 DFT表示 y [ n ] y[n] y[n] 是 x [ m ] x[m] x[m] 和 h [ ( n − m ) m o d N ] h[(n - m) \mod N] h[(n−m)modN] 的加权和。
步骤 3改变求和顺序
由于求和是线性的可以交换 n n n 和 m m m 的求和顺序 Y [ k ] ∑ m 0 N − 1 x [ m ] ∑ n 0 N − 1 h [ ( n − m ) m o d N ] ⋅ e − i 2 π k n / N Y[k] \sum_{m0}^{N-1} x[m] \sum_{n0}^{N-1} h[(n - m) \mod N] \cdot e^{-i 2\pi kn / N} Y[k]m0∑N−1x[m]n0∑N−1h[(n−m)modN]⋅e−i2πkn/N
这里 x [ m ] x[m] x[m] 不依赖于 n n n所以可以提到 ∑ n \sum_{n} ∑n 的外面。公式变成了一个双重求和外层对 m m m 求和内层对 n n n 求和。
步骤 4变量替换
为了简化内层求和引入变量替换 r ( n − m ) m o d N r (n - m) \mod N r(n−m)modN。这意味着
当 n 0 , 1 , … , N − 1 n 0, 1, \dots, N-1 n0,1,…,N−1对于固定的 m m m r ( n − m ) m o d N r (n - m) \mod N r(n−m)modN 也会遍历 0 , 1 , … , N − 1 0, 1, \dots, N-1 0,1,…,N−1。同时 n ( r m ) m o d N n (r m) \mod N n(rm)modN。
将 n n n 用 r r r 表示后内层求和变为 ∑ n 0 N − 1 h [ ( n − m ) m o d N ] ⋅ e − i 2 π k n / N \sum_{n0}^{N-1} h[(n - m) \mod N] \cdot e^{-i 2\pi kn / N} n0∑N−1h[(n−m)modN]⋅e−i2πkn/N
注意到 ( n − m ) m o d N r (n - m) \mod N r (n−m)modNr并且 n ( r m ) m o d N n (r m) \mod N n(rm)modN。代入 n r m n r m nrm这里为了简化我们考虑模运算的周期性实际计算中 r r r 的范围已经覆盖了所有可能值指数项变为 e − i 2 π k ( r m ) / N e − i 2 π k r / N ⋅ e − i 2 π k m / N e^{-i 2\pi k (r m) / N} e^{-i 2\pi kr / N} \cdot e^{-i 2\pi km / N} e−i2πk(rm)/Ne−i2πkr/N⋅e−i2πkm/N
因此公式变为 Y [ k ] ∑ m 0 N − 1 x [ m ] ⋅ e − i 2 π k m / N ∑ r 0 N − 1 h [ r ] ⋅ e − i 2 π k r / N Y[k] \sum_{m0}^{N-1} x[m] \cdot e^{-i 2\pi km / N} \sum_{r0}^{N-1} h[r] \cdot e^{-i 2\pi kr / N} Y[k]m0∑N−1x[m]⋅e−i2πkm/Nr0∑N−1h[r]⋅e−i2πkr/N
步骤 5识别 DFT
观察到
内层求和 ∑ r 0 N − 1 h [ r ] ⋅ e − i 2 π k r / N \sum_{r0}^{N-1} h[r] \cdot e^{-i 2\pi kr / N} ∑r0N−1h[r]⋅e−i2πkr/N 正是 h [ n ] h[n] h[n] 的 DFT即 H [ k ] H[k] H[k]。外层求和 ∑ m 0 N − 1 x [ m ] ⋅ e − i 2 π k m / N \sum_{m0}^{N-1} x[m] \cdot e^{-i 2\pi km / N} ∑m0N−1x[m]⋅e−i2πkm/N 正是 x [ n ] x[n] x[n] 的 DFT即 X [ k ] X[k] X[k]。
因此 Y [ k ] ( ∑ m 0 N − 1 x [ m ] ⋅ e − i 2 π k m / N ) ⋅ ( ∑ r 0 N − 1 h [ r ] ⋅ e − i 2 π k r / N ) Y[k] \left( \sum_{m0}^{N-1} x[m] \cdot e^{-i 2\pi km / N} \right) \cdot \left( \sum_{r0}^{N-1} h[r] \cdot e^{-i 2\pi kr / N} \right) Y[k](m0∑N−1x[m]⋅e−i2πkm/N)⋅(r0∑N−1h[r]⋅e−i2πkr/N) Y [ k ] X [ k ] ⋅ H [ k ] Y[k] X[k] \cdot H[k] Y[k]X[k]⋅H[k]
步骤 6结论
通过上述推导我们证明了 Y [ k ] X [ k ] ⋅ H [ k ] Y[k] X[k] \cdot H[k] Y[k]X[k]⋅H[k]
即循环卷积 y [ n ] ( x ⊛ h ) [ n ] y[n] (x \circledast h)[n] y[n](x⊛h)[n] 的 DFT 是 X [ k ] X[k] X[k] 和 H [ k ] H[k] H[k] 的逐点乘积。这正是卷积定理在循环卷积中的体现。
卷积Convolution
1. 什么是卷积
卷积是一种数学运算用于描述两个函数或信号之间的“混合”或“叠加”效应。在信号处理、图像处理、概率论等领域卷积是非常核心的操作。它的本质是通过一个函数通常称为“核”或“滤波器”对另一个函数进行加权平均生成一个新的函数。
卷积用极简的数学形式漂亮的描述了一个动态过程。
卷积有两种主要形式
连续卷积用于连续时间信号如模拟信号。离散卷积用于离散时间信号如数字信号。
此外根据信号的周期性假设还分为
线性卷积不假设信号周期性边界外补零。循环卷积假设信号周期性索引超出范围会“环绕”。
2. 卷积的数学定义
2.1 连续卷积
对于两个连续函数 f ( t ) f(t) f(t) 和 g ( t ) g(t) g(t)它们的卷积定义为 ( f ∗ g ) ( t ) ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ (f * g)(t) \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau (f∗g)(t)∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ
其中 ∗ * ∗ 表示卷积运算。 τ \tau τ 是积分变量表示时间偏移。 g ( t − τ ) g(t - \tau) g(t−τ) 是 g ( t ) g(t) g(t) 的时间反转和位移版本。
2.2 离散卷积线性卷积
对于两个离散信号 x [ n ] x[n] x[n] 和 h [ n ] h[n] h[n]它们的线性卷积定义为 y [ n ] ( x ∗ h ) [ n ] ∑ m − ∞ ∞ x [ m ] h [ n − m ] y[n] (x * h)[n] \sum_{m-\infty}^{\infty} x[m] h[n - m] y[n](x∗h)[n]m−∞∑∞x[m]h[n−m]
在实际中信号通常是有限长度的
假设 x [ n ] x[n] x[n] 长度为 M M M h [ n ] h[n] h[n] 长度为 L L L则 x [ n ] x[n] x[n] 在 n 0 , 1 , … , M − 1 n 0, 1, \dots, M-1 n0,1,…,M−1 有值其余为 0。 h [ n ] h[n] h[n] 在 n 0 , 1 , … , L − 1 n 0, 1, \dots, L-1 n0,1,…,L−1 有值其余为 0。 此时求和范围可以简化为有效部分 y [ n ] ∑ m 0 M − 1 x [ m ] h [ n − m ] y[n] \sum_{m0}^{M-1} x[m] h[n - m] y[n]m0∑M−1x[m]h[n−m]输出 y [ n ] y[n] y[n] 的长度为 M L − 1 M L - 1 ML−1因为 n − m n - m n−m 的有效范围使得 n n n 从 0 到 M L − 2 M L - 2 ML−2。
3. 卷积的直观理解
卷积的计算过程可以看作一种“滑动窗口”操作
反转将一个信号例如 h [ n ] h[n] h[n]进行时间反转得到 h [ − m ] h[-m] h[−m]。位移将反转后的信号 h [ − m ] h[-m] h[−m] 滑动到位置 n n n变成 h [ n − m ] h[n - m] h[n−m]。乘积并求和在每个位置 n n n将 x [ m ] x[m] x[m] 和 h [ n − m ] h[n - m] h[n−m] 逐点相乘然后对所有 m m m 求和得到 y [ n ] y[n] y[n]。
形象化理解
想象 x [ n ] x[n] x[n] 是一个输入信号 h [ n ] h[n] h[n] 是一个“滤波器”或“系统响应”。卷积的过程是用 h [ n ] h[n] h[n] 的反转版本去“扫描” x [ n ] x[n] x[n]在每个位置计算加权和生成输出信号 y [ n ] y[n] y[n]。 示例
假设 x [ n ] [ 1 , 2 , 3 ] x[n] [1, 2, 3] x[n][1,2,3] h [ n ] [ 1 , 1 ] h[n] [1, 1] h[n][1,1]我们计算线性卷积 x [ n ] x[n] x[n] 长度 M 3 M 3 M3 h [ n ] h[n] h[n] 长度 L 2 L 2 L2。输出长度为 M L − 1 4 M L - 1 4 ML−14。
计算 y [ n ] y[n] y[n] y [ n ] ∑ m 0 2 x [ m ] h [ n − m ] y[n] \sum_{m0}^{2} x[m] h[n - m] y[n]m0∑2x[m]h[n−m] n 0 n 0 n0 y [ 0 ] x [ 0 ] h [ 0 ] x [ 1 ] h [ − 1 ] x [ 2 ] h [ − 2 ] 1 ⋅ 1 2 ⋅ 0 3 ⋅ 0 1 y[0] x[0]h[0] x[1]h[-1] x[2]h[-2] 1 \cdot 1 2 \cdot 0 3 \cdot 0 1 y[0]x[0]h[0]x[1]h[−1]x[2]h[−2]1⋅12⋅03⋅01 n 1 n 1 n1 y [ 1 ] x [ 0 ] h [ 1 ] x [ 1 ] h [ 0 ] x [ 2 ] h [ − 1 ] 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 3 ⋅ 0 1 2 3 y[1] x[0]h[1] x[1]h[0] x[2]h[-1] 1 \cdot 1 2 \cdot 1 3 \cdot 0 1 2 3 y[1]x[0]h[1]x[1]h[0]x[2]h[−1]1⋅12⋅13⋅0123 n 2 n 2 n2 y [ 2 ] x [ 0 ] h [ 2 ] x [ 1 ] h [ 1 ] x [ 2 ] h [ 0 ] 1 ⋅ 0 2 ⋅ 1 3 ⋅ 1 0 2 3 5 y[2] x[0]h[2] x[1]h[1] x[2]h[0] 1 \cdot 0 2 \cdot 1 3 \cdot 1 0 2 3 5 y[2]x[0]h[2]x[1]h[1]x[2]h[0]1⋅02⋅13⋅10235 n 3 n 3 n3 y [ 3 ] x [ 0 ] h [ 3 ] x [ 1 ] h [ 2 ] x [ 2 ] h [ 1 ] 1 ⋅ 0 2 ⋅ 0 3 ⋅ 1 0 0 3 3 y[3] x[0]h[3] x[1]h[2] x[2]h[1] 1 \cdot 0 2 \cdot 0 3 \cdot 1 0 0 3 3 y[3]x[0]h[3]x[1]h[2]x[2]h[1]1⋅02⋅03⋅10033
所以 y [ n ] [ 1 , 3 , 5 , 3 ] y[n] [1, 3, 5, 3] y[n][1,3,5,3]。
4. 卷积的物理意义
卷积在物理和工程中有重要的意义 系统响应 在线性时不变LTI系统中输入信号 x [ n ] x[n] x[n] 通过系统 h [ n ] h[n] h[n]系统的冲激响应生成输出 y [ n ] y[n] y[n]。卷积描述了输入如何被系统“过滤”或“变换”。例如音频信号通过扬声器输入信号 x [ n ] x[n] x[n] 和扬声器的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 卷积后得到输出。 加权平均 卷积可以看作一种加权平均 h [ n ] h[n] h[n] 决定了每个输入点的权重。例如平滑滤波器如均值滤波器通过卷积去除信号中的噪声。 信号混合 卷积描述了两个信号的“叠加”效应例如在概率论中两个独立随机变量的概率密度函数的卷积给出了和的概率密度。
5. 卷积的性质
卷积有以下重要性质 交换律 f ∗ g g ∗ f f * g g * f f∗gg∗f 即 ( x ∗ h ) [ n ] ( h ∗ x ) [ n ] (x * h)[n] (h * x)[n] (x∗h)[n](h∗x)[n]。这意味着 h [ n − m ] h[n - m] h[n−m] 可以看作 x [ n − m ] x[n - m] x[n−m]。 结合律 ( f ∗ g ) ∗ h f ∗ ( g ∗ h ) (f * g) * h f * (g * h) (f∗g)∗hf∗(g∗h) 卷积可以按任意顺序分组计算。 分配律 f ∗ ( g h ) ( f ∗ g ) ( f ∗ h ) f * (g h) (f * g) (f * h) f∗(gh)(f∗g)(f∗h) 卷积对加法具有分配性。 频域性质卷积定理 时域的卷积对应于频域的乘积 DFT ( x ∗ h ) DFT ( x ) ⋅ DFT ( h ) \text{DFT}(x * h) \text{DFT}(x) \cdot \text{DFT}(h) DFT(x∗h)DFT(x)⋅DFT(h)对于线性卷积需要补零以避免混叠之前已讨论。
6. 卷积的计算方法
卷积可以通过以下方式计算
6.1 时域直接计算
直接使用定义公式 y [ n ] ∑ m x [ m ] h [ n − m ] y[n] \sum_{m} x[m] h[n - m] y[n]m∑x[m]h[n−m]
复杂度对于长度 M M M 和 L L L 的信号复杂度为 O ( M ⋅ L ) O(M \cdot L) O(M⋅L)。适用场景短信号或需要直观理解时。
6.2 频域计算使用 FFT
根据卷积定理
补零 x [ n ] x[n] x[n] 和 h [ n ] h[n] h[n] 到长度 N ≥ M L − 1 N \geq M L - 1 N≥ML−1。计算 X [ k ] DFT ( x [ n ] ) X[k] \text{DFT}(x[n]) X[k]DFT(x[n]) H [ k ] DFT ( h [ n ] ) H[k] \text{DFT}(h[n]) H[k]DFT(h[n])。频域点乘 Y [ k ] X [ k ] ⋅ H [ k ] Y[k] X[k] \cdot H[k] Y[k]X[k]⋅H[k]。逆 DFT y [ n ] IDFT ( Y [ k ] ) y[n] \text{IDFT}(Y[k]) y[n]IDFT(Y[k])。
复杂度使用 FFT复杂度为 O ( N log N ) O(N \log N) O(NlogN)通常比直接计算快。适用场景长信号。
6.3 滑动窗口法
手动计算时可以用滑动窗口的方式直观但效率较低。
7. 卷积的实际应用
卷积在多个领域有广泛应用
信号处理 滤波用卷积实现低通、高通滤波器如平滑信号、去除噪声。混响音频信号通过卷积添加混响效果。 图像处理 边缘检测用卷积核如 Sobel 核检测图像边缘。模糊用高斯核进行卷积实现图像模糊。 通信系统 通道效应信号通过通信信道时信道的冲激响应与输入信号卷积。OFDM使用循环卷积处理循环前缀。 概率论 两个独立随机变量的和的概率密度是它们概率密度的卷积。 机器学习 卷积神经网络CNN卷积操作用于特征提取捕捉图像的空间结构。
8. 总结
卷积是一种描述两个函数“混合”的数学运算在时域表现为滑动加权平均在频域表现为点乘卷积定理。它在信号处理、图像处理、通信系统等领域有广泛应用。线性卷积适用于非周期信号而循环卷积适用于周期信号两者通过补零可以互相转换。计算卷积可以直接在时域进行也可以通过 FFT 在频域高效实现。
参考资料
【卷积】直观形象的实例10分钟彻底搞懂
【卷积神经网络】8分钟搞懂CNN动画讲解喜闻乐见
