怎么建网站不用买空间,上位机软件开发教程,建设一个社交网站需要多少钱,盐城做网站spider net现代谱估计的原理及MATLAB仿真AR参数模型法#xff08;参数模型功率谱估计#xff09;、MVDR法#xff08;最小方差无失真响应法#xff09;、MUSIC法#xff08;多重信号分类法#xff09; 文章目录 前言一、AR参数模型1 原理2 MATLAB仿真 二、MVDR法1 原理2 MATLAB仿真… 现代谱估计的原理及MATLAB仿真AR参数模型法参数模型功率谱估计、MVDR法最小方差无失真响应法、MUSIC法多重信号分类法 文章目录 前言一、AR参数模型1 原理2 MATLAB仿真 二、MVDR法1 原理2 MATLAB仿真 三、MUSIC法1 原理2 MATLAB仿真 四、3种方法的对比五、MATLAB源代码 前言 \;\;\;\;\; 现代功率谱估计方法包括AR参数模型法参数模型功率谱估计、MVDR法最小方差无失真响应法、MUSIC法多重信号分类法。本文在总结各种方法的原理后在MATLAB平台上完成了仿真完成了对信号频率的估计仿真不同大小的阶数对信号频率估计的影响以及这三种方法之间的对比。 提示以下是本篇文章正文内容转载请附上链接
一、AR参数模型
1 原理 \;\;\;\;\; AR的全称是auto-regressive自回归参数模型。该模型功率谱估计的基本思想是认为随机过程 u ( n ) u(n) u(n)就是白噪声通过LTI离散时间系统得到的响应利用观测样本值估计出模型的参数即得到频率响应 H ( ω ) H(\omega) H(ω),也就得到了随机过程 u ( n ) u(n) u(n)的功率谱 S ( ω ) ∣ H ( ω ) ∣ 2 σ 2 S(\omega)\mid H(\omega)\mid^2\sigma^2 S(ω)∣H(ω)∣2σ2。 \;\;\;\;\; 设 v ( n ) v(n) v(n)是零均值、方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的白噪声。则 p p p 阶 AR( p p p) 模型的输人 v ( n v(n v(n)和输出 u ( n ) u(n) u(n)满足如下差分方程 u ( n ) − ∑ k 1 p a k u ( n − k ) v ( n ) u(n)-\sum_{k1}^pa_ku(n-k)v(n) u(n)−k1∑paku(n−k)v(n)那么AR模型的正则方程式可表示为 r u ( 0 ) a 1 r u ( − 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ a p r u ( − p ) σ 2 r_u(0)a_1r_u(-1)\cdotp\cdotp\cdotpa_pr_u(-p)\sigma^2 ru(0)a1ru(−1)⋅⋅⋅apru(−p)σ2 和 [ r u ( 0 ) r u ( − 1 ) ⋯ r u ( − p 1 ) r u ( 1 ) r u ( 0 ) ⋯ r u ( − p 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r u ( p − 1 ) r u ( p − 2 ) ⋯ r u ( 0 ) ] [ a 1 a 2 ⋮ a p ] [ − r u ( 1 ) − r u ( 2 ) ⋮ − r u ( p ) ] \begin{bmatrix}r_u(0)r_u(-1)\cdotsr_u(-p1)\\r_u(1)r_u(0)\cdotsr_u(-p2)\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\r_u(p-1)r_u(p-2)\cdotsr_u(0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-r_u(1)\\-r_u(2)\\\vdots\\-r_u(p)\end{bmatrix} ru(0)ru(1)⋮ru(p−1)ru(−1)ru(0)⋮ru(p−2)⋯⋯⋱⋯ru(−p1)ru(−p2)⋮ru(0) a1a2⋮ap −ru(1)−ru(2)⋮−ru(p) 上式可简单地表示为 R p θ p − r p {\boldsymbol{R}}_p\boldsymbol{\theta}_p-\boldsymbol{r}_p Rpθp−rp 其中 r p [ r u ( 1 ) r u ( 2 ) ⋯ r u ( p ) ] T \boldsymbol r_{p}\begin{bmatrix}r_{u}(1)r_{u}(2)\cdotsr_{u}(p)\end{bmatrix}^{\mathrm{T}} rp[ru(1)ru(2)⋯ru(p)]T。因矩阵 R ρ {\boldsymbol{R}}_{\rho} Rρ 是非奇异的对上式两边左乘 R p − 1 {\boldsymbol{R}}_p^{-1} Rp−1有 θ p − R p − 1 r p \boldsymbol{\theta}_p-{\boldsymbol{R}}_p^{-1}\boldsymbol r_{p} θp−Rp−1rp 将 θ p \boldsymbol{\theta}_p θp 代人含有 σ 2 \sigma^2 σ2的那个式子中即可得到 σ 2 \sigma^2 σ2。 \;\;\;\;\; 随机过程 u ( n ) u(n) u(n)的功率谱可由下式给出 S A R ( ω ) σ 2 ∣ 1 ∑ k 1 p a k e − j ω k ∣ 2 S_{\mathrm{AR}}(\omega)\frac{\sigma^2}{\left|1\sum_{k1}^pa_k\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega k}\right|^2} SAR(ω)∣1∑k1pake−jωk∣2σ2
2 MATLAB仿真 \;\;\;\;\; 仿真采用的信号为复正弦信号。参数设置和仿真结果如下 \;\;\;\;\; 从以上结果可看出阶数为8时20MHz和22MHz的两个信号不能被区分但当阶数为16时20MHz和22MHz的两个信号可以被区分所以估计信号频率时阶数的选择十分重要。
二、MVDR法
1 原理 \;\;\;\;\; 最小方差无失真响应(MVDR , minimum variance distortionless response)算法是另一类信号频率估计方法。考虑有 M M M 个权系数的横向滤波器如下图所示。 \;\;\;\;\; 滤波器的输入为随机过程 x ( n ) x(n) x(n) 输出为 y ( n ) ∑ i 0 M − 1 w i ∗ x ( n − i ) y(n)\sum_{i0}^{M-1}w_i^*x(n-i) y(n)i0∑M−1wi∗x(n−i)其中 , w i ,w_i ,wi 表示横向滤波器的权系数。定义输人信号向量和权向量分别为 x ( n ) [ x ( n ) x ( n − 1 ) ⋯ x ( n − M 1 ) ] T w [ w 0 w 1 ⋯ w M − 1 ] T \begin{aligned}\boldsymbol{x}(n)\begin{bmatrix}x(n)x(n-1)\cdotsx(n-M1)\end{bmatrix}^\mathrm{T}\\\boldsymbol{w}\begin{bmatrix}w_0w_1\cdotsw_{M-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}\end{aligned} x(n)[x(n)x(n−1)⋯x(n−M1)]Tw[w0w1⋯wM−1]T 则输出可表示为 y ( n ) w H x ( n ) x T ( n ) w ∗ y(n)\boldsymbol w^\mathrm{H}\boldsymbol x(n)\boldsymbol x^\mathrm{T}(n)\boldsymbol w^* y(n)wHx(n)xT(n)w∗ 信号 y ( n ) y(n) y(n)的平均功率可以表示为 P E { ∣ y ( n ) ∣ 2 } E { w H x ( n ) x H ( n ) w } w H R w P \mathbb{E} \{ \mid y( n) \mid ^2\} \mathbb{E} \{ \boldsymbol w^\mathrm{H} \boldsymbol x( n) \boldsymbol x^\mathrm{H} ( n) \boldsymbol w\} \boldsymbol w^\mathrm{H} \boldsymbol {Rw} PE{∣y(n)∣2}E{wHx(n)xH(n)w}wHRw其中矩阵 R ∈ C M × M \boldsymbol R\in\mathbb{C}^{M\times M} R∈CM×M为向量 x ( n ) \boldsymbol x(n) x(n)的 M M M 维自相关矩阵即 R E { x ( n ) x H ( n ) } [ r ( 0 ) r ( 1 ) ⋯ r ( M − 1 ) r ( − 1 ) r ( 0 ) ⋯ r ( M − 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r ( 1 − M ) r ( 2 − M ) ⋯ r ( 0 ) ] \begin{gathered}\boldsymbol RE\{\boldsymbol x(n)\boldsymbol x^H(n)\}\begin{bmatrix}r(0)r(1)\cdotsr(M-1)\\r(-1)r(0)\cdotsr(M-2)\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\r(1-M)r(2-M)\cdotsr(0)\end{bmatrix}\end{gathered} RE{x(n)xH(n)} r(0)r(−1)⋮r(1−M)r(1)r(0)⋮r(2−M)⋯⋯⋱⋯r(M−1)r(M−2)⋮r(0) \;\;\;\;\; 当权向量取 w ^ M V D R R ^ − 1 a ( ω ) a H ( ω ) R ^ − 1 a ( ω ) \hat{w}_{\mathrm{MVDR}}\frac{\hat{\boldsymbol R}^{-1}\boldsymbol{a}(\omega)}{\boldsymbol{a}^{\mathrm{H}}(\omega)\boldsymbol{\hat{R}}^{-1}\boldsymbol{a}(\omega)} w^MVDRaH(ω)R^−1a(ω)R^−1a(ω) 则 MVDR 谱估计为 P ^ M V D R ( ω ) 1 a H ( ω ) R ^ − 1 a ( ω ) \hat{P}_{\mathrm{MVDR}}(\omega)\frac1{\boldsymbol a^{\mathrm{H}}(\omega)\hat{\boldsymbol R}^{-1}\boldsymbol a(\omega)} P^MVDR(ω)aH(ω)R^−1a(ω)1 其中 a ( ω ) [ 1 e − j ω ⋯ e − j ω ( M − 1 ) ] T \boldsymbol{a}(\omega)\begin{bmatrix} 1 \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega} \cdots \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega(M-1)} \end{bmatrix}^\mathrm{T} a(ω)[1e−jω⋯e−jω(M−1)]T 有信号的频率处会呈现出一个峰值。
2 MATLAB仿真 \;\;\;\;\; 仿真采用的信号为复正弦信号。参数设置和仿真结果如下 \;\;\;\;\; 从以上结果可看出阶数为16时20MHz和22MHz的两个信号不能被区分但当阶数为32时20MHz和22MHz的两个信号可以被区分。
三、MUSIC法
1 原理 \;\;\;\;\; 信号频率估计的多重信号分类(MUSIC,multiple signal classification)算法该算法于1979年由R.O.MUSIC算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性构造空间谱函数通过谱峰搜索估计信号频率。 \;\;\;\;\; 根据 N N N 个观测样本值 x ( 0 ) , x ( 1 ) , . . . , x ( N − 1 ) x(0),x(1),...,x(N-1) x(0),x(1),...,x(N−1)估计自相关矩 R ^ ∈ C M × M \hat{\boldsymbol{R}}\in\mathbb{C}^{M\times M} R^∈CM×M。对 R ^ \hat{\boldsymbol R} R^ 进行特征分解得到 M − K M-K M−K 个最小特征值对应的特征向量即得到噪声子空间的向量构造矩阵 G \boldsymbol G G。 G [ u K 1 u K 2 ⋯ u M ] \boldsymbol G\begin{bmatrix}\boldsymbol u_{K1} \boldsymbol u_{K2} \cdots \boldsymbol u_M\end{bmatrix} G[uK1uK2⋯uM] 在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]内改变 ω \omega ω计算下式的值 峰值位置就是信号频率的估计值。 P ^ M U S I C ( ω ) 1 a H ( ω ) G G H a ( ω ) 1 ∑ i K 1 M ∣ a H ( ω ) u i ∣ 2 \hat{P}_{\mathrm{MUSIC}}(\omega)\frac{1}{\boldsymbol{a}^{\mathrm{H}}(\omega)\boldsymbol{G}\boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{a}(\omega)}\frac{1}{\sum_{iK1}^{M}\mid\boldsymbol{a}^{\mathrm{H}}(\omega)\boldsymbol{u}_{i}\mid^{2}} P^MUSIC(ω)aH(ω)GGHa(ω)1∑iK1M∣aH(ω)ui∣21
2 MATLAB仿真 \;\;\;\;\; 仿真采用的信号为复正弦信号。参数设置和仿真结果如下 \;\;\;\;\; 从以上结果可看出阶数为8时20MHz和22MHz的两个信号不能被区分但当阶数为16时20MHz和22MHz的两个信号可以被区分。
四、3种方法的对比 \;\;\;\;\; 参数设置如下扫描点数和FFT点数相同仿真结果如下。 \;\;\;\;\; 从以上结果可看出MVDR信号频率估计的分辨率最低其次是AR参数模型MUSIC法的谱分辨率最高。
五、MATLAB源代码
现代谱估计AR参数模型法和MVDR法和MUSIC法超详细的MATLAB代码
