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前言
本文为概率论习题集专栏的切比雪夫不等式专题习题解析，针对习题篇中的10道题目提供详细解答。希望通过这些解析帮助大家深入理解切比雪夫不等式的应用和意义。
一、基础概念题解析
习题1解析： 错误。切比雪夫不等式适用于任何具有有限方…切比雪夫不等式专题习题解析
前言
本文为概率论习题集专栏的切比雪夫不等式专题习题解析，针对习题篇中的10道题目提供详细解答。希望通过这些解析帮助大家深入理解切比雪夫不等式的应用和意义。
一、基础概念题解析
习题1解析： 错误。切比雪夫不等式适用于任何具有有限方差的随机变量，包括离散型和连续型随机变量。它只要求随机变量的期望和方差存在有限值。 错误。切比雪夫不等式给出的是概率的上界： P ( ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε ) ≤ D ( X ) ε 2 P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} P(∣X−E(X)∣≥ε)≤ε2D(X)，或等价地，给出概率的下界： P ( ∣ X − E ( X ) ∣ ε ) ≥ 1 − D ( X ) ε 2 P(|X-E(X)| \varepsilon) \geq 1-\frac{D(X)}{\varepsilon^2} P(∣X−E(X)∣ε)≥1−ε2D(X)。 正确。由切比雪夫不等式， P ( ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ 2 σ ) ≤ D ( X ) ( 2 σ ) 2 = σ 2 4 σ 2 = 1 4 = 0.25 P(|X-E(X)| \geq 2\sigma) \leq \frac{D(X)}{(2\sigma)^2} = \frac{\sigma^2}{4\sigma^2} = \frac{1}{4} = 0.25 P(∣X−E(X)∣≥2σ)≤(2σ)2D(X)=4σ2σ2=41=0.25。 正确。当 D ( X ) → 0 D(X) \to 0 D(X)→0时，由切比雪夫不等式，对于任意 ε 0 \varepsilon 0 ε0， P ( ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε ) ≤ D ( X ) ε 2 → 0 P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \to 0 P(∣X−E(X)∣≥ε)≤ε2D(X)→0，即 P ( ∣ X − E ( X ) ∣ ε ) → 1 P(|X-E(X)| \varepsilon) \to 1 P(∣X−E(X)∣ε)→1。这意味着随机变量X几乎必然等于其期望值。 习题2解析： P ( ∣ X − 10 ∣ ≥ 6 ) ≤ D ( X ) 6 2 = 9 36 = 0.25 P(|X-10| \geq 6) \leq \frac{D(X)}{6^2} = \frac{9}{36} = 0.25 P(∣X−10∣≥6)≤62D(X)=369=0.25 P ( 7 ≤ X ≤ 13 ) = P ( ∣ X − 10 ∣ 3 ) ≥ 1 − D ( X ) 3 2 = 1 − 9 9 = 0 P(7 \leq X \leq 13) = P(|X-10| 3) \geq 1-\frac{D(X)}{3^2} = 1-\frac{9}{9} = 0 P(7≤X≤13)=P(∣X−10∣3)≥1−32D(X)=1−99=0 这里得到的下界为0，实际上不具有信息量。这表明切比雪夫不等式在某些情况下可能不够紧。实际上，正确的计算应该是： P ( 7 ≤ X ≤ 13 ) = P ( ∣ X − 10 ∣ ≤ 3 ) ≥ 1 − D ( X ) 3 2 = 1 − 9 9 = 0 P(7 \leq X \leq 13) = P(|X-10| \leq 3) \geq 1-\frac{D(X)}{3^2} = 1-\frac{9}{9} = 0 P(7≤X≤13)=P(∣X−10∣≤3)≥1−32D(X)=1−99=0 由于此处边界情况（ ∣ X − 10 ∣ = 3 |X-10| = 3 ∣X−10∣=3）的概率通常为0（对连续变量），所以也可以写成： P ( 7 X 13 ) = P ( ∣ X − 10 ∣ 3 ) ≥ 1 − 9 9 = 0 P(7 X 13) = P(|X-10| 3) \geq 1-\frac{9}{9} = 0 P(7X13)=P(∣X−10∣3)≥1−99=0 P ( ∣ X − 10 ∣ ≥ 3 ) ≤ D ( X ) 3 2 = 9 9 = 1 P(|X-10| \geq 3) \leq \frac{D(X)}{3^2} = \frac{9}{9} = 1 P(∣X−10∣≥3)≤32D(X)=99=1 这个上界为1，显然不够紧，因为任何概率都不会超过1。 二、计算应用题解析
习题3解析： 寿命在700小时到1300小时之间的灯泡比例： P ( 700 ≤ X ≤ 1300 ) = P ( ∣ X − 1000 ∣ ≤ 300 ) ≥ 1 − D ( X ) 30 0 2 = 1 − 90000 90000 = 0 P(700 \leq X \leq 1300) = P(|X-1000| \leq 300) \geq 1-\frac{D(X)}{300^2} = 1-\frac{90000}{90000} = 0 P(700≤X≤1300)=P(∣X−1000∣≤300)≥1−3002
