做外贸的都有哪些网站,wordpress企业站模板,苏州建站免费模板,网站对联广告图片文章目录一、综述二、灰色预测简介三、GM#xff08;1, 1#xff09;模型四、使用灰色系统建模的前提 —— 准指数规律检验五、对于GM(1, 1)的检验六、GM#xff08;1, 1#xff09;模型的拓展七、什么时候使用灰色预测八、神经网络模型一、综述
本文首先介绍了灰色预测模…
文章目录一、综述二、灰色预测简介三、GM1, 1模型四、使用灰色系统建模的前提 —— 准指数规律检验五、对于GM(1, 1)的检验六、GM1, 1模型的拓展七、什么时候使用灰色预测八、神经网络模型一、综述
本文首先介绍了灰色预测模型然后简要介绍了神经网络在预测中的应用。数据预测在数学建模中是一类常见的问题准确地对数据进行预测是解决问题的关键。
二、灰色预测简介
白色系统灰色系统黑色系统系统中的信息是已知的系统中一些信息已知一些信息未知系统中的信息都是未知的
灰色预测就是根据原始已知的数据来寻找系统变动的规律然后建立相应的微分方程模型从而对事物进行预测。
三、GM1, 1模型
在 GM(1, 1) 模型中第一个 ‘1’ 代表微分方程是 1 阶的后面的 ‘1’ 代表只有一个变量。 GM(1, 1) 原理介绍 设 x(0)(x(0)(1),x(0)(2),⋯,x(0)(n))x^{(0)} (x^{(0)}(1), x^{(0)}(2), \cdots, x^{(0)}(n))x(0)(x(0)(1),x(0)(2),⋯,x(0)(n)) 是最初的非负数据序列 灰色预测模型处理的数据一定要是非负的对其进行一次累加得到新的生成数据列 x(1)x^{(1)}x(1) x(1)(x(1)(1),x(1)(2),⋯,x(1)(n))x^{(1)} (x^{(1)}(1), x^{(1)}(2), \cdots, x^{(1)}(n))x(1)(x(1)(1),x(1)(2),⋯,x(1)(n)) 其中x(1)(m)∑i1mx(0)(i),m1,2,⋯,nx^{(1)}(m) \sum_{i 1}^{m}x^{(0)}(i), m 1, 2, \cdots, nx(1)(m)∑i1mx(0)(i),m1,2,⋯,n 令 z(1)z^{(1)}z(1) 为数列 x(1)x^{(1)}x(1) 的紧邻均值生成数列即 z(1)(z(1)(2),z(1)(3),⋯,z(1)(n))z^{(1)} (z^{(1)}(2), z^{(1)}(3), \cdots, z^{(1)}(n))z(1)(z(1)(2),z(1)(3),⋯,z(1)(n)) 其中 z(1)(m)δx(1)(m)(1−δ)x(1)(m−1),m2,3,⋯,nz^{(1)}(m) \delta x^{(1)}(m) (1 - \delta)x^{(1)}(m - 1), m 2, 3, \cdots, nz(1)(m)δx(1)(m)(1−δ)x(1)(m−1),m2,3,⋯,n并且 δ0.5\delta 0.5δ0.5 称方程 x(0)(k)az(1)(k)bx^{(0)}(k) az^{(1)}(k) bx(0)(k)az(1)(k)b 为 GM(1, 1) 模型的基本形式 (k2,3,⋯,n)(k 2, 3, \cdots, n)(k2,3,⋯,n)。其中bbb 表示灰作用量−a-a−a 表示发展系数 可以将其看作 ykxby kx bykxb 从而利用多元回归中的 OLS 方法可以得到 a^\hat{a}a^ 和 b^\hat{b}b^ 因此 x(0)(k)−a^z(1)(k)b^,(k2,3,⋯,n)x^{(0)}(k) -\hat{a}z^{(1)}(k) \hat{b}, (k 2, 3, \cdots, n)x(0)(k)−a^z(1)(k)b^,(k2,3,⋯,n) x(0)(k)−a^z(1)(k)b^⇒x(1)(k)−x(1)(k−1)−a^z(1)(k)b^x^{(0)}(k) -\hat{a}z^{(1)}(k) \hat{b} \Rightarrow x^{(1)}(k) - x^{(1)}(k - 1) -\hat{a}z^{(1)}(k) \hat{b}x(0)(k)−a^z(1)(k)b^⇒x(1)(k)−x(1)(k−1)−a^z(1)(k)b^ 又因为x(1)(k)−x(1)(k−1)∫k−1kdx(1)(t)dtdtx^{(1)}(k) - x^{(1)}(k - 1) \int_{k - 1}^{k}\frac{dx^{(1)}(t)}{dt}dtx(1)(k)−x(1)(k−1)∫k−1kdtdx(1)(t)dt z(1)(k)x(1)(k)x(1)(k−1)2≈∫k−1kx(1)dtz^{(1)}(k) \frac{x^{(1)}(k) x^{(1)}(k - 1)}{2} ≈ \int_{k - 1}^{k}x^{(1)}dtz(1)(k)2x(1)(k)x(1)(k−1)≈∫k−1kx(1)dt 因此∫k−1kdx(1)(t)dtdt≈−a^∫k−1kx(1)(t)dt∫k−1kb^dt∫k−1k[−a^x(1)(t)b^]\int_{k - 1}^{k}\frac{dx^{(1)}(t)}{dt}dt ≈ -\hat{a}\int_{k - 1}^{k}x^{(1)}(t)dt \int_{k - 1}^{k}\hat{b}dt \\ \int_{k - 1}^{k}[-\hat{a}x^{(1)}(t) \hat{b}]∫k−1kdtdx(1)(t)dt≈−a^∫k−1kx(1)(t)dt∫k−1kb^dt∫k−1k[−a^x(1)(t)b^]便可以的带微分方程dx(1)(t)dt−a^x(1)(t)b^\frac{dx^{(1)}(t)}{dt} -\hat{a}x^{(1)}(t) \hat{b}dtdx(1)(t)−a^x(1)(t)b^这就是 GM(1, 1) 模型的白化方程 取初始值 x^(1)∣t1x(0)(1)\hat{x}^{(1)}|_{t 1} x^{(0)}(1)x^(1)∣t1x(0)(1)于时可以求出其对应的解为x^(1)(m1)[x(0)(1)−b^a^]e−a^mb^a^,m1,2,⋯,n−1\hat{x}^{(1)}(m 1) [x^{(0)}(1) - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}]e^{-\hat{a}m} \frac{\hat{b}}{\hat{a}}, m 1, 2, \cdots, n - 1x^(1)(m1)[x(0)(1)−a^b^]e−a^ma^b^,m1,2,⋯,n−1 由于 x(1)(m)∑i1mx(0)(i),m1,2,⋯,nx^{(1)}(m) \sum_{i 1}{m}x^{(0)}(i), m 1, 2, \cdots, nx(1)(m)∑i1mx(0)(i),m1,2,⋯,n因此x^(0)(m1)x^(1)(m1)−x^(1)(m)(1−ea^)[x(0)(1)−b^a^]e−a^m,m1,2,⋯,n−1\hat{x}^{(0)}(m 1) \hat{x}^{(1)}(m 1) - \hat{x}^{(1)}(m) \\ (1 - e^{\hat{a}})[x^{(0)}(1) - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}]e^{-\hat{a}m}, m 1, 2, \cdots, n - 1x^(0)(m1)x^(1)(m1)−x^(1)(m)(1−ea^)[x(0)(1)−a^b^]e−a^m,m1,2,⋯,n−1
四、使用灰色系统建模的前提 —— 准指数规律检验
定义原始序列 x(0)x^{(0)}x(0) 的光滑比 ρ(k)x(0)(k)x(1)(k−1)\rho(k) \frac{x^{(0)}(k)}{x^{(1)}(k - 1)}ρ(k)x(1)(k−1)x(0)(k)要使 x(1)x^{(1)}x(1) 具有准指数规律只需要保证 ρ(k)∈(0,0.5)\rho(k) \in (0, 0.5)ρ(k)∈(0,0.5) 即可。 注意在实际建模中我们要计算出 ρ(k)∈(0,0.5)\rho(k) \in (0, 0.5)ρ(k)∈(0,0.5) 的占比占比越高越好。一般前两期ρ(2)\rho(2)ρ(2) 和 ρ(3)\rho(3)ρ(3) 可能不符合要求我们要关注的是后面的期数 同时所有数据光滑比 0.5 的占比一般要达到 60%除去前两期后光滑比 0.5 的占比一般要达到 90%
五、对于GM(1, 1)的检验
使用 GM(1, 1) 模型对未来数据进行预测是我们需要先检验 GM(1, 1) 模型对原数据的拟合程度。一般有残差检验和级比偏差检验两种方法。 残差检验 绝对残差ε(k)x(0)(k)−x^(0)(k),k2,3,⋯,n\varepsilon(k) x^{(0)}(k) - \hat{x}^{(0)}(k), k 2, 3, \cdots, nε(k)x(0)(k)−x^(0)(k),k2,3,⋯,n 相对残差εr(k)∣x(0)(k)−x^(0)(k)∣x(0)(k)×100%,k2,3,⋯,n\varepsilon_r(k) \frac{|x^{(0)}(k) - \hat{x}^{(0)}(k)|}{x^{(0)}(k)} \times 100\%, k 2, 3, \cdots, nεr(k)x(0)(k)∣x(0)(k)−x^(0)(k)∣×100%,k2,3,⋯,n 平均相对残差εˉr1n−1∑k2n∣εr(k)∣\bar{\varepsilon}_r \frac{1}{n - 1}\sum_{k 2}^{n}|\varepsilon_r(k)|εˉrn−11∑k2n∣εr(k)∣ 如果 εˉr20%\bar{\varepsilon}_r 20\%εˉr20% 则认为 GM(1, 1) 对原数据的拟合达到一般要求。 如果 εˉr10%\bar{\varepsilon}_r 10\%εˉr10% 则认为 GM(1, 1) 对原数据的拟合效果非常不错。 级比偏差检验 首先由 x(0)(k−1)x^{(0)}(k - 1)x(0)(k−1) 和 x(0)(k)x^{(0)}(k)x(0)(k) 计算出原始数据的级比 σ(k)\sigma(k)σ(k)σ(k)x(0)(k)x(0)(k−1)(k2,3,⋯,n)\sigma(k) \frac{x^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k - 1)} (k 2, 3, \cdots, n)σ(k)x(0)(k−1)x(0)(k)(k2,3,⋯,n) 再根据预测出来的发展系数 −a^-\hat{a}−a^ 计算出相应的级比偏差和平均级比偏差η(k)∣1−1−0.5a^10.5a^1σ(k)∣,ηˉ∑k2nη(k)(n−1)\eta(k) |1 - \frac{1 - 0.5\hat{a}}{1 0.5\hat{a}}\frac{1}{\sigma(k)}|, \bar{\eta} \sum_{k 2}^{n}\frac{\eta(k)}{(n - 1)}η(k)∣1−10.5a^1−0.5a^σ(k)1∣,ηˉk2∑n(n−1)η(k) 如果 ηˉ0.2\bar{\eta} 0.2ηˉ0.2则认为GM(1, 1) 对原数据的拟合达到一般要求。 如果 ηˉ0.1\bar{\eta} 0.1ηˉ0.1则认为 GM(1, 1) 对原数据的拟合效果非常不错。
六、GM1, 1模型的拓展
除了上面介绍到的 GM(1, 1) 模型还可以将 GM(1, 1) 模型做一个拓展得到 新信息GM(1, 1) 模型和新陈代谢GM(1, 1) 模型 新信息GM(1, 1)模型 设 x(0)(n1)x^{(0)}(n 1)x(0)(n1) 为最新信息将 x(0)(n1)x^{(0)}(n 1)x(0)(n1) 置入 X^{(0)}称用 X(0)(x(0)(1),x(0)(2),⋯,x(0)(n1))X^{(0)} (x^{(0)}(1), x^{(0)}(2), \cdots, x^{(0)}(n 1))X(0)(x(0)(1),x(0)(2),⋯,x(0)(n1)) 建立的模型为新信息GM(1, 1)模型。 简单来说新信息GM(1, 1)模型就是将预测后的数据加入到原始数据序列中构成一个新的数据序列然后利用这个新的数据序列来对后面的期数进行预测。 新陈代谢GM(1, 1)模型 置入最新信息 x(0)(n1)x^{(0)}(n 1)x(0)(n1)去掉最老信息 x(0)(1)x^{(0)}(1)x(0)(1)称用 X(0)(x(0)(2),⋯,x(0)(n),x(0)(n1))X^{(0)} (x^{(0)}(2), \cdots, x^{(0)}(n), x^{(0)}(n 1))X(0)(x(0)(2),⋯,x(0)(n),x(0)(n1)) 建立的模型为新陈代谢GM(1, 1)模型 同样新陈代谢GM(1, 1)模型就是将预测后的新数据加入到原始数据序列中然后删除最原始的哪个数据从而构成一个新的数据序列。再利用这个新的数据序列对后面的期数进行预测。
一般来说GM(1,1), 新信息GM(1, 1)以及新陈代谢GM(1, 1)这三个模型中**新陈代谢GM(1, 1)**模型的效果最好。我们可以使用误差平方和 SSE 来观测这三个模型的好坏取 SSE 最小的模型即可。
七、什么时候使用灰色预测
数据是以年份度量而且是非负的。月份或者季度就可以使用时间序列模型了数据能够经过准指数规律检验数据不能太长也不能太短一般大于3期小于10期。
同时我们还可以将数据分为训练组和试验组使用不同模型对数据进行建模从而判断哪种模型的预测效果最好。 1如果只有4期数据则直接使用上述提到的三种模型进行建模最后求一个平均值即可。 2如果有 4 并且 7 组数据则设置 2 组试验组其余的为训练组进行建模选取效果最好的模型。 3如果有 7 并且 10 组数据则设置 3 组试验组其余的为训练组进行建模选取效果最好的模型。
八、神经网络模型
可以参考这篇文章神经网络
如果有错误的话还请斧正~~~
