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我们有一个数字序列包含 n 个不同的数字#xff0c;如何求出这个序列中的最长递增子序列长度#xff1f;比如 2, 9, 3, 6, 5, 1, 7 这样一组数字序列#xff0c;它的最长递增子序列就是 2, 3, 5, 7#xff0c;所以最长递增子序列的长度是 4。
回溯法
数组长度为n如何求出这个序列中的最长递增子序列长度比如 2, 9, 3, 6, 5, 1, 7 这样一组数字序列它的最长递增子序列就是 2, 3, 5, 7所以最长递增子序列的长度是 4。
回溯法
数组长度为n每一步考虑当前元素要不要加入到最长递增子序列中。如果加上去最后的长度是多少如果不加该元素最后的长度又是多少。这是一个多阶段决策最优化问题。可以用回溯法解决。 public class IncreaseArray {private int[] nums new int[]{2,9,3,6,5,1,7};private int n nums.length;private int maxLen 0;/**** param i* 当前处理的元素下标* param lastIdx* 最后一个进入到最长递增子序列的元素下标用于比较*/private void f(int i,int lastIdx,int len){if(in){maxLen Math.max(maxLen,len);return;}if(lastIdx -1 || nums[i]nums[lastIdx]){//加入到最长递增子数组中f(i1,i,len1);}//不加入到最长递增子数组中f(i1,lastIdx,len);}private int maxIncreaseArrayLength(){f(0,-1,0);return maxLen;}}备忘录模式
画递归树查看是否有重复子问题。每个节点状态用(i,j,len)表示。i表示到达地i个元素 j表示加入到最长递增子序列的最后一个元素的下标len表示当前状态下最长递增子序列的长度。 从树中能看出(3,2,1) (3,2,2) 只需要留下 (3,2,2)这个节点就行。因为这个节点的长度最长而且长度是1还是2与后面递增子序列的添加没有影响。我们的目标又是求最长的递增子序列的长度所以留 (3,2,2)这个节点就行。
所以我们可以用备忘录模式来解决。 private int fV2(int i,int lastIdx,int[][] memo){if(in){return 0;}if(memo[lastIdx1][i]0) return memo[lastIdx1][i];int value 1;if(lastIdx -1 || nums[i]nums[lastIdx]){//加入到最长递增子数组中value 1fV2(i1,i,memo);}//不加入到最长递增子数组中int value1 fV2(i1,lastIdx,memo);memo[lastIdx1][i] Math.max(value,value1);return memo[lastIdx1][i];}private int maxIncreaseArrayLengthV2(){int[][] memo new int[n][n];for(int[] array : memo){Arrays.fill(array,-1);}return fV2(0,-1,memo);}动态规划
从上面的分析中我们知道当处理第i个元素的时候要求得第i个元素最长递增子序列的长度是多少与前面步骤中递增子序列以哪个元素结尾有关系。那么前面步骤中递增子序列可能的结尾是第0个元素第1个元素第2个元素…第i-1个元素。如果我们能分别知道以这些元素结尾的最长递增子序列的长度就可以推导出以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。
我们用max_lcs[i]来记录以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。 那么设j0,1,2…i-1当nums[i]nums[j]的时候max_lcs[j]1就是一个可能的值。从这些值中取最大值就是max_lcs[i]的值。
max_lcs[i]max(max_lcs[j]1),0ji nums[i]nums[j]。最后再从max_lcs数组中查找最大值就是答案。 private int maxIncreaseArrayLengthDp(){if(numsnull || nums.length 0) return 0;int[] dp new int[n];//表示以第i个元素作为结尾的最长递增子序列的最大长度int maxLen 1;for(int i0;in;i){int value 1;for(int ji-1;j0;j--){if(nums[i]nums[j]){value Math.max(value,dp[j]1);}}dp[i] value;maxLen Math.max(maxLen,dp[i]);}return maxLen;}写在后面这道题目在回溯法中知道当处理第i个元素的时候与前面步骤中递增子序列以哪个元素结尾有关系。得出这个关系很重要。而且能够将状态转移表简化为max_lcs这个一位数组也是关键。
