帝国cms网站搬家教程,网站建设平台计划书,网站开发如何报价,网页制作工具分类文章目录 实数项级数收敛1. 定义、性质2. 实数项级数的Cauchy收敛准则3. 正项级数的收敛判别法3.1 控制收敛定理#xff08;比较判别法#xff09;3.2 Cauchy判别法#xff1a;3.3 dAlembert#xff08;达朗贝尔#xff09;判别法3.4 Raabe#xff08;拉贝#xff09;判… 文章目录 实数项级数收敛1. 定义、性质2. 实数项级数的Cauchy收敛准则3. 正项级数的收敛判别法3.1 控制收敛定理比较判别法3.2 Cauchy判别法3.3 dAlembert达朗贝尔判别法3.4 Raabe拉贝判别法3.5 积分判别法3.6 单调有界数列必收敛应用到级数上 4. 绝对收敛的级数5. 振荡型级数的收敛判别 本篇文章适合个人复习翻阅不建议新手入门使用 实数项级数收敛
1. 定义、性质
定义实数项级数收敛 设实数项级数 ∑ i 1 ∞ a i \sum\limits_{i1}^{\infty}a_i i1∑∞ai设部分和 x n ∑ i 1 n a i x_n\sum\limits_{i1}^na_i xni1∑nai 若 { x n } \{x_n\} {xn}收敛则称级数 ∑ i 1 ∞ a i \sum\limits_{i1}^{\infty}a_i i1∑∞ai 收敛记 ∑ i 1 ∞ a i lim n → ∞ x n \sum\limits_{i1}^{\infty}a_i\lim\limits_{n\to\infty}x_n i1∑∞ain→∞limxn 若 { x n } \{x_n\} {xn}发散则称级数 ∑ i 1 ∞ a i \sum\limits_{i1}^{\infty}a_i i1∑∞ai 发散
例子
调和级数 ∑ n 1 ∞ 1 m \sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{1}{m} n1∑∞m1 是发散级数 证明思路只需注意到 ∑ j 1 n − 1 1 j 1 1 ( 1 2 1 3 ) ( 1 4 1 5 1 6 1 7 ) ⋯ ( 1 2 k − 1 1 2 k − 1 1 ⋯ 1 2 k − 1 ) 1 × 1 2 2 × 1 4 ⋯ 2 k − 1 × 1 2 k k 2 \begin{split} \sum\limits_{j1}^{n-1}\frac{1}{j} \frac{1}{1}(\frac{1}{2}\frac{1}{3})(\frac{1}{4}\frac{1}{5}\frac{1}{6}\frac{1}{7})\cdots\\ (\frac{1}{2^{k-1}}\frac{1}{2^{k-1}1}\cdots\frac{1}{2^k-1})\\1\times\frac{1}{2}2\times\frac{1}{4}\cdots2^{k-1}\times \frac{1}{2^k}\\ \frac{k}{2} \end{split} j1∑n−1j111(2131)(41516171)⋯(2k−112k−111⋯2k−11)1×212×41⋯2k−1×2k12k几何级数等比级数 ∑ n 1 ∞ q n − 1 \sum\limits_{n1}^{\infty}q^{n-1} n1∑∞qn−1 当 ∣ q ∣ 1 |q|1 ∣q∣1 时收敛 p p p 级数 ∑ n 1 ∞ 1 n p \sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{1}{n^p} n1∑∞np1 当 p 1 p1 p1 时收敛
2. 实数项级数的Cauchy收敛准则
级数 ∑ k 0 ∞ a k \sum\limits_{k0}^{\infty}a_k k0∑∞ak收敛当且仅当 ∀ ε 0 , ∃ N 0 , ∀ n ≥ N , p ∈ N ≥ 0 , ∣ ∑ n ≤ k ≤ n p ∣ a k ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists N0,\forall n\geq N,p\in \mathbb{N}_{\geq 0},|\sum\limits_{n\leq k\leq np}|a_k|\varepsilon ∀ε0,∃N0,∀n≥N,p∈N≥0,∣n≤k≤np∑∣ak∣ε注上述准则说明 ∑ k 0 ∞ a k \sum\limits_{k0}^{\infty}a_k k0∑∞ak收敛的必要条件是 a n → 0 a_n\to 0 an→0
3. 正项级数的收敛判别法
称每一项 a n a_n an 均大于0的级数 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 为正项级数
以下均为正项级数 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 的收敛判别法
3.1 控制收敛定理比较判别法
设正项级数 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 和 ∑ n 0 ∞ b n \sum\limits_{n0}^{\infty}b_n n0∑∞bn设对任意 n ≥ 0 n\geq 0 n≥0都有 a n ≤ b n a_n\leq b_n an≤bn如果 ∑ n 0 ∞ b n \sum\limits_{n0}^{\infty}b_n n0∑∞bn 收敛那么 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 也收敛
注等价叙述是若 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an发散那么 ∑ n 0 ∞ b n \sum\limits_{n0}^{\infty}b_n n0∑∞bn也发散
3.2 Cauchy判别法
设 r l i m ‾ n → ∞ a n n r\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} rn→∞limnan r 1 r1 r1 则收敛 r 1 r1 r1 则发散 r 1 r1 r1 则判别法失效
证明思路 利用上极限的等价刻画去证
推论 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 收敛则 ∑ n 0 ∞ a n 2 \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n^2 n0∑∞an2 收敛反之未必
3.3 d’Alembert达朗贝尔判别法
设 r ‾ l i m ‾ n → ∞ a n 1 a n , r ‾ l i m ‾ n → ∞ a n 1 a n \overline{r}\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n1}}{a_n},\underline{r}\varliminf\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n1}}{a_n} rn→∞limanan1,rn→∞limanan1 r ‾ 1 \overline{r}1 r1 则收敛 r ‾ 1 \underline{r}1 r1 则发散 r ‾ ≥ 1 \overline{r}\geq 1 r≥1 或 r ‾ ≤ 1 \underline{r}\leq 1 r≤1则判别法失效
证明思路 利用上极限的等价刻画去证
注Cauchy判别法比d’Alembert判别法适用范围更广但d’Alembert判别法的条件更容易得到
3.4 Raabe拉贝判别法
设 r lim n → ∞ n ( a n a n 1 − 1 ) r\lim\limits_{n\to\infty}n(\frac{a_n}{a_{n1}}-1) rn→∞limn(an1an−1) r 1 r1 r1则收敛 r 1 r1 r1则发散
注当Cauchy判别法和d’Alembert判别法均失效的时候可能采取Raabe判别法会有效
3.5 积分判别法
设 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq 0 f(x)≥0且在任意有限区间 [ a , A ] [a,A] [a,A] 上 Riemann 可积则 ∫ a ∞ f ( x ) d x \int_a^{\infty}f(x)\mathrm{d}x ∫a∞f(x)dx 与 ∑ n 1 ∞ μ n \sum\limits_{n1}^{\infty}\mu_n n1∑∞μn 同时收敛或发散其中 μ n ∫ a n a n 1 f ( x ) d x \mu_n\int_{a_n}^{a_{n1}}f(x)\mathrm{d}x μn∫anan1f(x)dx a n a_n an 是以 a a a 为首项的单调递增趋于正无穷的实数列
3.6 单调有界数列必收敛应用到级数上 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 是正项级数那么 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 收敛当且仅当存在常数M使得对任意 k k k S k ∑ n 0 k a n ≤ M S_k\sum\limits_{n0}^ka_n\leq M Skn0∑kan≤M
4. 绝对收敛的级数
定义绝对收敛 设级数 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an若 ∑ n 0 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n0}^{\infty}|a_n| n0∑∞∣an∣ 收敛则 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 收敛此时称 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 是绝对收敛的
证明Cauchy收敛准则易证
若 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 收敛但 ∑ n 0 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n0}^{\infty}|a_n| n0∑∞∣an∣ 不收敛则称 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 条件收敛
定义级数的正部和负部 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n^ n0∑∞an ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 中的所有正项加和得到的级数 ∑ n 0 ∞ a n − \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n^- n0∑∞an− ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 中的所有负项变号加和得到的级数
命题 若 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 绝对收敛则 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n^ n0∑∞an 和 ∑ n 0 ∞ a n − \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n^- n0∑∞an− 均收敛 若 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 条件收敛则 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n^ n0∑∞an 和 ∑ n 0 ∞ a n − \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n^- n0∑∞an− 均发散
证明思路 结论1注意到 0 ≤ x n , x n − ≤ ∣ x n ∣ 0\leq x_n^,x_n^-\leq |x_n| 0≤xn,xn−≤∣xn∣ 结论2反证法注意到 ∣ x n ∣ x n x n − |x_n|x_n^x_n^- ∣xn∣xnxn−
命题 绝对收敛的级数任意调换各项的顺序仍绝对收敛且值不变
证明思路 用到先特殊再一般的技巧先考虑正项级数的情形再对一般情形进行正部和负部的拆分
命题 若 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an 条件收敛则对任意 a ∈ R ∪ { ∞ } a\in\mathbb{R}\cup \{\infty\} a∈R∪{∞}存在一个调换过 ∑ n 0 ∞ a n \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an各项顺序的级数 ∑ n 0 ∞ a n ′ \sum\limits_{n0}^{\infty}a_n n0∑∞an′使得 ∑ n 0 ∞ a n ′ a \sum\limits_{n0}^{\infty}a_na n0∑∞an′a
5. 振荡型级数的收敛判别
形如 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 a n ( a n 0 ) \sum\limits_{n1}^{\infty}(-1)^{n1}a_n(a_n0) n1∑∞(−1)n1an(an0) 的级数称为振荡级数或称交错级数
直观上振荡型级数说的是级数各项有正有负求和的时候可以相互抵消故可能收敛
命题Abel 求和公式 设复数列 { a k } k ≥ 1 \{a_k\}_{k\geq 1} {ak}k≥1 和 { b k } k ≥ 1 \{b_k\}_{k\geq 1} {bk}k≥1则 ∑ k 1 n a k b k S n b n ∑ k 1 n − 1 S k ( b k − b k 1 ) \sum\limits_{k1}^na_kb_kS_nb_n\sum\limits_{k1}^{n-1}S_k(b_k-b_{k1}) k1∑nakbkSnbnk1∑n−1Sk(bk−bk1) 其中 S n ∑ k 1 n a k S_n\sum\limits_{k1}^na_k Snk1∑nak 表示部分和
证明 只需将 a k a_k ak 替换为 S k − S k − 1 S_k-S_{k-1} Sk−Sk−1然后合并同类项即可
注该公式即为离散版本的分部积分公式
命题Dirichlet判别法 设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak},{bk} S n S_n Sn 表示 { a k } \{a_k\} {ak} 的部分和若 { b k } \{b_k\} {bk} 是单调数列且 lim k → ∞ b k 0 \lim\limits_{k\to\infty}b_k0 k→∞limbk0存在 M M M使得对任意 n ≥ 1 n\geq 1 n≥1 ∣ S n ∣ ≤ M |S_n|\leq M ∣Sn∣≤M
则级数 ∑ k 1 n a k b k \sum\limits_{k1}^{n}a_kb_k k1∑nakbk 收敛
证明思路级数的Cauchy收敛准则 不妨假设 { b k } \{b_k\} {bk} 单调递减由 abel 求和法任取 m ≥ n m\geq n m≥n有 ∣ ∑ k n 1 m a k b k ∣ ∣ ( S m b m − S n b n ) ∑ k n m − 1 S k ( b k − b k 1 ) ∣ ≤ M ∣ b m − b n ∣ ∣ M ∣ ∣ ∑ k n m − 1 ( b k − b k 1 ) ∣ 2 M ( b n − b m ) ε \begin{split} |\sum\limits_{kn1}^ma_kb_k||(S_mb_m-S_nb_n)\sum\limits_{kn}^{m-1}S_k(b_k-b_{k1})|\\ \leq M|b_m-b_n||M||\sum\limits_{kn}^{m-1}(b_k-b_{k1})|\\ 2M(b_n-b_m)\varepsilon \end{split} ∣kn1∑makbk∣∣(Smbm−Snbn)kn∑m−1Sk(bk−bk1)∣≤M∣bm−bn∣∣M∣∣kn∑m−1(bk−bk1)∣2M(bn−bm)ε
推论Abel判别法 设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak},{bk}若 { b k } \{b_k\} {bk} 单调有界级数 ∑ k 1 ∞ a k \sum\limits_{k1}^{\infty}a_k k1∑∞ak 收敛
则级数 ∑ k 1 ∞ a k b k \sum\limits_{k1}^{\infty}a_kb_k k1∑∞akbk 收敛
证明思路 设 b lim k → ∞ b k b\lim\limits_{k\to\infty}b_k bk→∞limbk则有 ∑ k 1 ∞ a k b k ∑ k 1 ∞ a k ( b k − b ) b ∑ k 1 ∞ a k \sum\limits_{k1}^{\infty}a_kb_k\sum\limits_{k1}^{\infty}a_k(b_k-b)b\sum\limits_{k1}^{\infty}a_k k1∑∞akbkk1∑∞ak(bk−b)bk1∑∞ak 等号右端第一个级数用Dirichlet判别法立得
定义Leibniz级数 称满足 lim n → ∞ a n 0 \lim\limits_{n\to\infty}a_n0 n→∞liman0 的振荡级数 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 a n \sum\limits_{n1}^{\infty}(-1)^{n1}a_n n1∑∞(−1)n1an 为Leibniz 级数
性质 0 ≤ ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 a n ≤ a 1 0\leq \sum\limits_{n1}^{\infty}(-1)^{n1}a_n\leq a_1 0≤n1∑∞(−1)n1an≤a1 ∑ n k 1 ∞ ( − 1 ) n 1 a n ≤ a k 1 \sum\limits_{nk1}^{\infty}(-1)^{n1}a_n\leq a_{k1} nk1∑∞(−1)n1an≤ak1
Leibniz 判别法Dirichlet判别法的推论 Leibniz 级数必然收敛 参考书 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
